專題27 解三角形的應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版

2/2專題27解三角形的應(yīng)用（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】解三角形應(yīng)用舉例 4【考點(diǎn)2】求解平面幾何問題 6【考點(diǎn)3】三角函數(shù)與解三角形的交匯問題 7【分層檢測】 9【基礎(chǔ)篇】 9【能力篇】 12【培優(yōu)篇】 13考試要求：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.知識梳理知識梳理1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2).3.方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.1.不要搞錯(cuò)各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.2.解決與平面幾何有關(guān)的計(jì)算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.真題自測真題自測一、單選題1．（2022·全國·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題）魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距二、填空題3．（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則，.4．（2021·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則.三、解答題5．（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】解三角形應(yīng)用舉例一、單選題1．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺，在的正東方.某次演習(xí)時(shí)，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)，則炮臺與彈著點(diǎn)的距離為（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖.某校開展數(shù)學(xué)建?；顒?，有建模課題組的學(xué)生選擇測量鼎湖峰的高度，為此，他們設(shè)計(jì)了測量方案.如圖，在山腳A測得山頂P得仰角為45°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走了90米到達(dá)B點(diǎn)（A，B，P，Q在同一個(gè)平面內(nèi)），在B處測得山頂P得仰角為60°，則鼎湖峰的山高為（

）米.A． B．C． D．二、多選題3．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在海面上有兩個(gè)觀測點(diǎn)在的正北方向，距離為，在某天10：00觀察到某航船在處，此時(shí)測得分鐘后該船行駛至處，此時(shí)測得，則（

）

A．觀測點(diǎn)位于處的北偏東方向B．當(dāng)天10：00時(shí)，該船到觀測點(diǎn)的距離為C．當(dāng)船行駛至處時(shí)，該船到觀測點(diǎn)的距離為D．該船在由行駛至的這內(nèi)行駛了4．（2024·甘肅蘭州·一模）某學(xué)校開展測量旗桿高度的數(shù)學(xué)建?；顒樱瑢W(xué)生需通過建立模型、實(shí)地測量，迭代優(yōu)化完成此次活動．在以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度的方案有A．在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)，，分別測量旗桿頂端的仰角，，再測量，兩點(diǎn)間距離B．在旗桿對面找到某建筑物（低于旗桿），測得建筑物的高度為，在該建筑物底部和頂部分別測得旗桿頂端的仰角和C．在地面上任意尋找一點(diǎn)，測量旗桿頂端的仰角，再測量到旗桿底部的距離D．在旗桿的正前方處測得旗桿頂端的仰角，正對旗桿前行5m到達(dá)處，再次測量旗桿頂端的仰角三、填空題5．（2024·廣東湛江·二模）財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個(gè)最高點(diǎn)A，點(diǎn)A在大廈底部的射影為點(diǎn)O，兩個(gè)測量基點(diǎn)B、C與O在同一水平面上，他測得米，，在點(diǎn)B處測得點(diǎn)A的仰角為（），在點(diǎn)C處測得點(diǎn)A的仰角為45°，則財(cái)富匯大廈的高度米.6．（2021·山東濱州·二模）最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.反思提升：1.在測量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角.2.準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖.3.運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用.4.測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.5.方向角是相對于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.【考點(diǎn)2】求解平面幾何問題一、單選題1．（2024·山東·二模）在中，設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)甲：，設(shè)乙：是直角三角形，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2．（2021·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）下列命題中，不正確的是（

）A．線性回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心B．若平面平面，平面平面，則平面平面C．若“，則”的逆命題為假命題D．若為銳角三角形，則.二、多選題3．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測）在中，三邊長分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）在正四棱臺中，，，為棱上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．四棱臺的表面積是B．四棱臺的體積是C．的最小值為D．的最小值為三、填空題5．（2023·陜西·模擬預(yù)測）已知在中，，點(diǎn)D，E是邊BC上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在B，E之間，，則.6．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，則四邊形的面積的最大值為．反思提升：平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.【考點(diǎn)3】三角函數(shù)與解三角形的交匯問題一、解答題1．（2024·北京·三模）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分.2．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，，且的外接圓半徑為4.(1)若，，求的面積；(2)若，求的最大值.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）十字測天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晩期的航海領(lǐng)域，主要用于測量太陽等星體的方位，便于船員確定位置．如圖1所示，十字測天儀由桿和橫檔構(gòu)成，并且是的中點(diǎn)，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動．十字測天儀的使用方法如下：如圖2，手持十字測天儀，使得眼睛可以從點(diǎn)觀察．滑動橫檔使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽，此時(shí)視線恰好經(jīng)過點(diǎn)，的影子恰好是．然后，通過測量的長度，可計(jì)算出視線和水平面的夾角（稱為太陽高度角），最后通過查閱地圖來確定船員所在的位置．

(1)在某次測量中，，橫檔的長度為20，求太陽高度角的正弦值．(2)在桿上有兩點(diǎn)，滿足．當(dāng)橫檔的中點(diǎn)位于時(shí)，記太陽高度角為，其中，都是銳角．證明：．4．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）在平面四邊形ABCD中，，，點(diǎn)B，D在直線AC的兩側(cè)，，．(1)求∠BAC；(2)求與的面積之和的最大值．5．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，，，.(1)求A；(2)若，求的取值范圍.6．（2023·陜西榆林·三模）已知分別為的內(nèi)角所對的邊，，且．(1)求；(2)求的取值范圍．反思提升：解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩方面：(1)利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)式進(jìn)行解三角形；(2)解三角形與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，，則（

）A．為銳角三角形 B．為直角三角形C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定2．（2023·陜西寶雞·二模）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）在中，邊上的高等于，則（

）A． B． C． D．4．（2024·吉林·二模）如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為（

）A． B．C． D．二、多選題5．（20-21高三上·河北張家口·階段練習(xí)）在中，角、、的對邊分別是、、．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．，，則的外接圓半徑是4B．若，則C．若，則一定是鈍角三角形D．若，則6．（2023·重慶·三模）如圖，為了測量障礙物兩側(cè)A，B之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)確定AB長度的是（

）A．a(chǎn)，b， B．，，C．a(chǎn)，， D．，，b7．（2024·甘肅蘭州·一模）某學(xué)校開展測量旗桿高度的數(shù)學(xué)建?；顒?，學(xué)生需通過建立模型、實(shí)地測量，迭代優(yōu)化完成此次活動．在以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度的方案有A．在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)，，分別測量旗桿頂端的仰角，，再測量，兩點(diǎn)間距離B．在旗桿對面找到某建筑物（低于旗桿），測得建筑物的高度為，在該建筑物底部和頂部分別測得旗桿頂端的仰角和C．在地面上任意尋找一點(diǎn)，測量旗桿頂端的仰角，再測量到旗桿底部的距離D．在旗桿的正前方處測得旗桿頂端的仰角，正對旗桿前行5m到達(dá)處，再次測量旗桿頂端的仰角三、填空題8．（15-16高三下·河南·階段練習(xí)）如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡的頂上有一高度為的建筑物，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角，在山坡的處測得，沿山坡前進(jìn)到達(dá)處，又測得，根據(jù)以上數(shù)據(jù)得．9．（21-22高二上·河南·期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為．10．（2023·河南·模擬預(yù)測）割圓術(shù)是估算圓周率的科學(xué)方法，由三國時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積，從而得出圓周率為3.1416，在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為．四、解答題11．（2024·安徽淮北·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知(1)試判斷的形狀；(2)若，求周長的最大值.12．（21-22高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°．(1)求∠ACD；(2)若△ABC為銳角三角形，求BC的取值范圍．【能力篇】一、單選題1．（2024·江西南昌·三模）如圖，在扇形OAB中，半徑，，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2022·重慶·三模）在矩形中，，，E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動，且滿足，則的面積可以是（

）A．2 B． C．3 D．4三、填空題3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，則的面積S的取值范圍為．四、解答題4．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知平面四邊形中，．(1)若四點(diǎn)共圓，求；(2)求四邊形面積的最大值．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2021·遼寧丹東·二模）在一座尖塔的正南方地面某點(diǎn)，測得塔頂?shù)难鼋菫?，又在此尖塔正東方地面某點(diǎn)，測得塔頂?shù)难鼋菫?，且，兩點(diǎn)距離為，在線段上的點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋菫樽畲?，則點(diǎn)到塔底的距離為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（202