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湖南邵陽(yáng)市城區(qū)重點(diǎn)名校2024屆中考數(shù)學(xué)最后沖刺模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.如圖,AB為⊙O直徑,已知為∠DCB=20°,則∠DBA為()A.50° B.20° C.60° D.70°2.在下列二次函數(shù)中,其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為的是A. B. C. D.3.據(jù)國(guó)土資源部數(shù)據(jù)顯示,我國(guó)是全球“可燃冰”資源儲(chǔ)量最多的國(guó)家之一,海、陸總儲(chǔ)量約為39000000000噸油當(dāng)量,將39000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為()A.3.9×1010 B.3.9×109 C.0.39×1011 D.39×1094.如圖,在正方形ABCD中,AB=,P為對(duì)角線(xiàn)AC上的動(dòng)點(diǎn),PQ⊥AC交折線(xiàn)A﹣D﹣C于點(diǎn)Q,設(shè)AP=x,△APQ的面積為y,則y與x的函數(shù)圖象正確的是()A. B.C. D.5.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(﹣4,2),B(﹣6,﹣4),以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為,把△ABO縮小,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是()A.(﹣2,1) B.(﹣8,4)C.(﹣8,4)或(8,﹣4) D.(﹣2,1)或(2,﹣1)6.如圖,AD為△ABC的中線(xiàn),點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn),連接DE,則下列結(jié)論中不一定成立的是()A.DC=DE B.AB=2DE C.S△CDE=S△ABC D.DE∥AB7.按如下方法,將△ABC的三邊縮小的原來(lái)的,如圖,任取一點(diǎn)O,連AO、BO、CO,并取它們的中點(diǎn)D、E、F,得△DEF,則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①△ABC與△DEF是位似圖形
②△ABC與△DEF是相似圖形③△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為1:2
④△ABC與△DEF的面積比為4:1.A.1 B.2 C.3 D.48.如圖,⊙O的直徑AB與弦CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E,若DE=OB,∠AOC=84°,則∠E等于()A.42° B.28° C.21° D.20°9.將分別標(biāo)有“孔”“孟”“之”“鄉(xiāng)”漢字的四個(gè)小球裝在一個(gè)不透明的口袋中,這些球除漢字外無(wú)其他差別,每次摸球前先攪拌均勻.隨機(jī)摸出一球,不放回;再隨機(jī)摸出一球.兩次摸出的球上的漢字能組成“孔孟”的概率是()A. B. C. D.10.一組數(shù)據(jù):3,2,5,3,7,5,x,它們的眾數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A.2 B.3 C.5 D.7二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11.二次函數(shù)y=(x﹣2m)2+1,當(dāng)m<x<m+1時(shí),y隨x的增大而減小,則m的取值范圍是_____.12.如圖,在矩形ABCD中,AB=,AD=1,把該矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度得矩形AB′C′D′,點(diǎn)C′落在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,則圖中陰影部分的面積是_____.13.如果一個(gè)三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半,那么我們把這個(gè)三角形叫做半高三角形.已知直角三角形ABC是半高三角形,且斜邊AB=5,則它的周長(zhǎng)等于_____.14.已知一組數(shù)據(jù)4,x,5,y,7,9的平均數(shù)為6,眾數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_____.15.如圖,在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中,分別以各頂點(diǎn)為圓心,以邊長(zhǎng)的一半為半徑,在菱形內(nèi)作四條圓弧,則圖中陰影部分的周長(zhǎng)是___結(jié)果保留16.如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上,AC⊥x軸,BD⊥x軸,垂足C,D分別在x軸的正、負(fù)半軸上,CD=k,已知AB=2AC,E是AB的中點(diǎn),且△BCE的面積是△ADE的面積的2倍,則k的值是______.三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)如圖,已知拋物線(xiàn)y=ax2+2x+8與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且B(4,0).(1)求拋物線(xiàn)的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)如果點(diǎn)P(p,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)|PC﹣PD|取得最大值時(shí),求p的值;(3)能否在拋物線(xiàn)第一象限的圖象上找到一點(diǎn)Q,使△QBC的面積最大,若能,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(8分)如圖,點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn),以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點(diǎn)D,與AC交于點(diǎn)E,連接AD.求證:AD平分∠BAC;若∠BAC=60°,OA=4,求陰影部分的面積(結(jié)果保留π).19.(8分)某校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)籃球、排球共20個(gè).購(gòu)買(mǎi)2個(gè)籃球,3個(gè)排球,共需花費(fèi)190元;購(gòu)買(mǎi)3個(gè)籃球的費(fèi)用與購(gòu)買(mǎi)5個(gè)排球的費(fèi)用相同.籃球和排球的單價(jià)各是多少元?若購(gòu)買(mǎi)籃球不少于8個(gè),所需費(fèi)用總額不超過(guò)800元.請(qǐng)你求出滿(mǎn)足要求的所有購(gòu)買(mǎi)方案,并直接寫(xiě)出其中最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案.20.(8分)用A4紙復(fù)印文件,在甲復(fù)印店不管一次復(fù)印多少頁(yè),每頁(yè)收費(fèi)0.1元.在乙復(fù)印店復(fù)印同樣的文件,一次復(fù)印頁(yè)數(shù)不超過(guò)20時(shí),每頁(yè)收費(fèi)0.12元;一次復(fù)印頁(yè)數(shù)超過(guò)20時(shí),超過(guò)部分每頁(yè)收費(fèi)0.09元.設(shè)在同一家復(fù)印店一次復(fù)印文件的頁(yè)數(shù)為x(x為非負(fù)整數(shù)).(1)根據(jù)題意,填寫(xiě)下表:一次復(fù)印頁(yè)數(shù)(頁(yè))5102030…甲復(fù)印店收費(fèi)(元)0.52…乙復(fù)印店收費(fèi)(元)0.62.4…(2)設(shè)在甲復(fù)印店復(fù)印收費(fèi)y1元,在乙復(fù)印店復(fù)印收費(fèi)y2元,分別寫(xiě)出y1,y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(3)當(dāng)x>70時(shí),顧客在哪家復(fù)印店復(fù)印花費(fèi)少?請(qǐng)說(shuō)明理由.21.(8分)如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,點(diǎn)D在上,點(diǎn)E在弦AB上(E不與A重合),且四邊形BDCE為菱形.(1)求證:AC=CE;(2)求證:BC2﹣AC2=AB?AC;(1)已知⊙O的半徑為1.①若=,求BC的長(zhǎng);②當(dāng)為何值時(shí),AB?AC的值最大?22.(10分)已知:如圖,在△OAB中,OA=OB,⊙O經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)C,與OB交于點(diǎn)D,且與BO的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E,連接EC,CD.(1)試判斷AB與⊙O的位置關(guān)系,并加以證明;(2)若tanE=,⊙O的半徑為3,求OA的長(zhǎng).23.(12分)如圖1,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=13,AD=11,BC=21,E是BC的中點(diǎn),P是AB上的任意一點(diǎn),連接PE,將PE繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PQ.(1)如圖2,過(guò)A點(diǎn),D點(diǎn)作BC的垂線(xiàn),垂足分別為M,N,求sinB的值;(2)若P是AB的中點(diǎn),求點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑弧EQ的長(zhǎng)(結(jié)果保留π);(3)若點(diǎn)Q落在AB或AD邊所在直線(xiàn)上,請(qǐng)直接寫(xiě)出BP的長(zhǎng).24.如圖所示,PB是⊙O的切線(xiàn),B為切點(diǎn),圓心O在PC上,∠P=30°,D為弧BC的中點(diǎn).(1)求證:PB=BC;(2)試判斷四邊形BOCD的形狀,并說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、D【解析】題解析:∵AB為⊙O直徑,∴∠ACB=90°,∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-20°=70°,∴∠DBA=∠ACD=70°.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角,90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.2、A【解析】y=(x+2)2的對(duì)稱(chēng)軸為x=–2,A正確;y=2x2–2的對(duì)稱(chēng)軸為x=0,B錯(cuò)誤;y=–2x2–2的對(duì)稱(chēng)軸為x=0,C錯(cuò)誤;y=2(x–2)2的對(duì)稱(chēng)軸為x=2,D錯(cuò)誤.故選A.1.3、A【解析】
用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí),一般形式為a×10n,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),據(jù)此判斷即可.【詳解】39000000000=3.9×1.故選A.【點(diǎn)睛】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí),要看把原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>10時(shí),n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí),n是負(fù)數(shù).4、B【解析】∵在正方形ABCD中,AB=,∴AC=4,AD=DC=,∠DAP=∠DCA=45o,當(dāng)點(diǎn)Q在AD上時(shí),PA=PQ,∴DP=AP=x,∴S=;當(dāng)點(diǎn)Q在DC上時(shí),PC=PQCP=4-x,∴S=;所以該函數(shù)圖象前半部分是拋物線(xiàn)開(kāi)口向上,后半部分也為拋物線(xiàn)開(kāi)口向下,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象,有一定難度,解題關(guān)鍵是注意點(diǎn)Q在AP、DC上這兩種情況.5、D【解析】
根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k,即可求得答案.【詳解】∵點(diǎn)A(-4,2),B(-6,-4),以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為,把△ABO縮小,∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是:(-2,1)或(2,-1).故選D.【點(diǎn)睛】此題考查了位似圖形與坐標(biāo)的關(guān)系.此題比較簡(jiǎn)單,注意在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于±k.6、A【解析】
根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理判斷即可.【詳解】∵AD為△ABC的中線(xiàn),點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn),
∴DC=BC,DE=AB,∵BC不一定等于AB,∴DC不一定等于DE,A不一定成立;∴AB=2DE,B一定成立;S△CDE=S△ABC,C一定成立;DE∥AB,D一定成立;故選A.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線(xiàn)定理,掌握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊,并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】
根據(jù)位似圖形的性質(zhì),得出①△ABC與△DEF是位似圖形進(jìn)而根據(jù)位似圖形一定是相似圖形得出②△ABC與△DEF是相似圖形,再根據(jù)周長(zhǎng)比等于位似比,以及根據(jù)面積比等于相似比的平方,即可得出答案.【詳解】解:根據(jù)位似性質(zhì)得出①△ABC與△DEF是位似圖形,②△ABC與△DEF是相似圖形,∵將△ABC的三邊縮小的原來(lái)的,∴△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為2:1,故③選項(xiàng)錯(cuò)誤,根據(jù)面積比等于相似比的平方,∴④△ABC與△DEF的面積比為4:1.故選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì),中等難度,熟悉位似圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.8、B【解析】
利用OB=DE,OB=OD得到DO=DE,則∠E=∠DOE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1=∠DOE+∠E,所以∠1=2∠E,同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E,然后利用∠E=∠AOC進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:連結(jié)OD,如圖,∵OB=DE,OB=OD,∴DO=DE,∴∠E=∠DOE,∵∠1=∠DOE+∠E,∴∠1=2∠E,而OC=OD,∴∠C=∠1,
∴∠C=2∠E,∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E,∴∠E=∠AOC=×84°=28°.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí):掌握與圓有關(guān)的概念(
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等).也考查了等腰三角形的性質(zhì).9、B【解析】
根據(jù)簡(jiǎn)單概率的計(jì)算公式即可得解.【詳解】一共四個(gè)小球,隨機(jī)摸出一球,不放回;再隨機(jī)摸出一球一共有12中可能,其中能組成孔孟的有2種,所以?xún)纱蚊龅那蛏系臐h字能組成“孔孟”的概率是.故選B.考點(diǎn):簡(jiǎn)單概率計(jì)算.10、C【解析】分析:眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù),一組數(shù)據(jù)可以有多個(gè)眾數(shù),也可以沒(méi)有眾數(shù);中位數(shù)是指將數(shù)據(jù)按大小順序排列起來(lái)形成一個(gè)數(shù)列,居于數(shù)列中間位置的那個(gè)數(shù)據(jù).根據(jù)定義即可求出答案.詳解:∵眾數(shù)為5,∴x=5,∴這組數(shù)據(jù)為:2,3,3,5,5,5,7,∴中位數(shù)為5,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查的是眾數(shù)和中位數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題型.理解他們的定義是解題的關(guān)鍵.二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11、m>1【解析】由條件可知二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為x=2m,且開(kāi)口向上,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)y隨x的增大而減小,可求得m+1<2m,即m>1.故答案為m>1.點(diǎn)睛:本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),掌握當(dāng)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下時(shí),在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)y隨x的增大而減小是解題的關(guān)鍵.12、【解析】
∵在矩形ABCD中,AB=,∠DAC=60°,∴DC=,AD=1.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:D′C′=,AD′=1,∴tan∠D′AC′==,∴∠D′AC′=60°.∴∠BAB′=30°,∴S△AB′C′=×1×=,S扇形BAB′==.S陰影=S△AB′C′-S扇形BAB′=-.故答案為-.【點(diǎn)睛】錯(cuò)因分析
中檔題.失分原因有2點(diǎn):(1)不能準(zhǔn)確地將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為易求特殊圖形的面積;(2)不能根據(jù)矩形的邊求出α的值.13、5+3或5+5.【解析】
分兩種情況討論:①Rt△ABC中,CD⊥AB,CD=AB=;②Rt△ABC中,AC=BC,分別依據(jù)勾股定理和三角形的面積公式,即可得到該三角形的周長(zhǎng)為5+3或5+5.【詳解】由題意可知,存在以下兩種情況:(1)當(dāng)一條直角邊是另一條直角邊的一半時(shí),這個(gè)直角三角形是半高三角形,此時(shí)設(shè)較短的直角邊為a,則較長(zhǎng)的直角邊為2a,由勾股定理可得:,解得:,∴此時(shí)較短的直角邊為,較長(zhǎng)的直角邊為,∴此時(shí)直角三角形的周長(zhǎng)為:;(2)當(dāng)斜邊上的高是斜邊的一半是,這個(gè)直角三角形是半高三角形,此時(shí)設(shè)兩直角邊分別為x、y,這有題意可得:①,②S△=,∴③,由①+③得:,即,∴,∴此時(shí)這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為:.綜上所述,這個(gè)半高直角三角形的周長(zhǎng)為:或.故答案為或.【點(diǎn)睛】(1)讀懂題意,弄清“半高三角形”的含義是解題的基礎(chǔ);(2)根據(jù)題意,若直角三角形是“半高三角形”,則存在兩種情況:①一條直角邊是另一條直角邊的一半;②斜邊上的高是斜邊的一半;解題時(shí)這兩種情況都要討論,不要忽略了其中一種.14、1.1【解析】【分析】先判斷出x,y中至少有一個(gè)是1,再用平均數(shù)求出x+y=11,即可得出結(jié)論.【詳解】∵一組數(shù)據(jù)4,x,1,y,7,9的眾數(shù)為1,∴x,y中至少有一個(gè)是1,∵一組數(shù)據(jù)4,x,1,y,7,9的平均數(shù)為6,∴(4+x+1+y+7+9)=6,∴x+y=11,∴x,y中一個(gè)是1,另一個(gè)是6,∴這組數(shù)為4,1,1,6,7,9,∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是×(1+6)=1.1,故答案為:1.1.【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)等概念,熟練掌握眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的概念、判斷出x,y中至少有一個(gè)是1是解本題的關(guān)鍵.15、【解析】
直接利用已知得出所有的弧的半徑為3,所有圓心角的和為:菱形的內(nèi)角和,即可得出答案.【詳解】由題意可得:所有的弧的半徑為3,所有圓心角的和為:菱形的內(nèi)角和,故圖中陰影部分的周長(zhǎng)是:6π.故答案為6π.【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算以及菱形的性質(zhì),正確得出圓心角是解題的關(guān)鍵.16、【解析】試題解析:過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)AC的垂線(xiàn)交直線(xiàn)AC于點(diǎn)F,如圖所示.∵△BCE的面積是△ADE的面積的2倍,E是AB的中點(diǎn),∴S△ABC=2S△BCE,S△ABD=2S△ADE,∴S△ABC=2S△ABD,且△ABC和△ABD的高均為BF,∴AC=2BD,∴OD=2OC.∵CD=k,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-,-),∴AC=3,BD=,∴AB=2AC=6,AF=AC+BD=,∴CD=k=.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式以及勾股定理.構(gòu)造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解題的關(guān)鍵.三、解答題(共8題,共72分)17、(1)y=﹣(x﹣1)2+9,D(1,9);(2)p=﹣1;(3)存在點(diǎn)Q(2,1)使△QBC的面積最大.【解析】分析:(1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=ax2+2x+1求得a的值,即可得到該拋物線(xiàn)的解析式,再把所得解析式配方化為頂點(diǎn)式,即可得到拋物線(xiàn)頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)由題意可知點(diǎn)P在直線(xiàn)CD上時(shí),|PC﹣PD|取得最大值,因此,求得點(diǎn)C的坐標(biāo),再求出直CD的解析式,即可求得符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo),從而得到p的值;(3)由(1)中所得拋物線(xiàn)的解析式設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m+1)(0<m<4),然后用含m的代數(shù)式表達(dá)出△BCQ的面積,并將所得表達(dá)式配方化為頂點(diǎn)式即可求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo).詳解:(1)∵拋物線(xiàn)y=ax2+2x+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,0),∴16a+1+1=0,∴a=﹣1,∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+9,∴D(1,9);(2)∵當(dāng)x=0時(shí),y=1,∴C(0,1).設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=kx+b.將點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入得:,解得:k=1,b=1,∴直線(xiàn)CD的解析式為y=x+1.當(dāng)y=0時(shí),x+1=0,解得:x=﹣1,∴直線(xiàn)CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0).∵當(dāng)P在直線(xiàn)CD上時(shí),|PC﹣PD|取得最大值,∴p=﹣1;(3)存在,理由:如圖,由(2)知,C(0,1),∵B(4,0),∴直線(xiàn)BC的解析式為y=﹣2x+1,過(guò)點(diǎn)Q作QE∥y軸交BC于E,設(shè)Q(m,﹣m2+2m+1)(0<m<4),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(m,﹣2m+1),∴EQ=﹣m2+2m+1﹣(﹣2m+1)=﹣m2+4m,∴S△QBC=(﹣m2+4m)×4=﹣2(m﹣2)2+1,∴m=2時(shí),S△QBC最大,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(2,1).點(diǎn)睛:(1)解第2小題時(shí),知道當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)CD上時(shí),|PC﹣PD|的值最大,是找到解題思路的關(guān)鍵;(2)解第3小題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)(m,﹣m2+2m+1)(0<m<4),并結(jié)合點(diǎn)B、C的坐標(biāo)把△BCQ的面積用含m的代數(shù)式表達(dá)出來(lái).18、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】試題分析:(1)連接OD,則由已知易證OD∥AC,從而可得∠CAD=∠ODA,結(jié)合∠ODA=∠OAD,即可得到∠CAD=∠OAD,從而得到AD平分∠BAC;(2)連接OE、DE,由已知易證△AOE是等邊三角形,由此可得∠ADE=∠AOE=30°,由AD平分∠BAC可得∠OAD=30°,從而可得∠ADE=∠OAD,由此可得DE∥AO,從而可得S陰影=S扇形ODE,這樣只需根據(jù)已知條件求出扇形ODE的面積即可.試題解析:(1)連接OD.∵BC是⊙O的切線(xiàn),D為切點(diǎn),∴OD⊥BC.又∵AC⊥BC,∴OD∥AC,∴∠ADO=∠CAD.又∵OD=OA,∴∠ADO=∠OAD,∴∠CAD=∠OAD,即AD平分∠BAC.(2)連接OE,ED.∵∠BAC=60°,OE=OA,∴△OAE為等邊三角形,∴∠AOE=60°,∴∠ADE=30°.又∵,∴∠ADE=∠OAD,∴ED∥AO,∴S△AED=S△OED,∴陰影部分的面積=S扇形ODE=.19、(1)籃球每個(gè)50元,排球每個(gè)30元.(2)滿(mǎn)足題意的方案有三種:①購(gòu)買(mǎi)籃球8個(gè),排球12個(gè);②購(gòu)買(mǎi)籃球9,排球11個(gè);③購(gòu)買(mǎi)籃球2個(gè),排球2個(gè);方案①最省錢(qián)【解析】試題分析:(1)設(shè)籃球每個(gè)x元,排球每個(gè)y元,根據(jù)費(fèi)用可得等量關(guān)系為:購(gòu)買(mǎi)2個(gè)籃球,3個(gè)排球,共需花費(fèi)190元;購(gòu)買(mǎi)3個(gè)籃球的費(fèi)用與購(gòu)買(mǎi)5個(gè)排球的費(fèi)用相同,列方程求解即可;(2)不等關(guān)系為:購(gòu)買(mǎi)足球和籃球的總費(fèi)用不超過(guò)1元,列式求得解集后得到相應(yīng)整數(shù)解,從而求解.試題解析:解:(1)設(shè)籃球每個(gè)x元,排球每個(gè)y元,依題意,得:解得.答:籃球每個(gè)50元,排球每個(gè)30元.(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)籃球m個(gè),則購(gòu)買(mǎi)排球(20-m)個(gè),依題意,得:50m+30(20-m)≤1.解得:m≤2.又∵m≥8,∴8≤m≤2.∵籃球的個(gè)數(shù)必須為整數(shù),∴只能取8、9、2.∴滿(mǎn)足題意的方案有三種:①購(gòu)買(mǎi)籃球8個(gè),排球12個(gè),費(fèi)用為760元;②購(gòu)買(mǎi)籃球9,排球11個(gè),費(fèi)用為780元;③購(gòu)買(mǎi)籃球2個(gè),排球2個(gè),費(fèi)用為1元.以上三個(gè)方案中,方案①最省錢(qián).點(diǎn)睛:本題主要考查了二元一次方程組及一元一次不等式的應(yīng)用;得到相應(yīng)總費(fèi)用的關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.20、(1)1,3;1.2,3.3;(2)見(jiàn)解析;(3)顧客在乙復(fù)印店復(fù)印花費(fèi)少.【解析】
(1)根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn),列代數(shù)式求得即可;
(2)根據(jù)收費(fèi)等于每頁(yè)收費(fèi)乘以頁(yè)數(shù)即可求得y1=0.1x(x≥0);當(dāng)一次復(fù)印頁(yè)數(shù)不超過(guò)20時(shí),根據(jù)收費(fèi)等于每頁(yè)收費(fèi)乘以頁(yè)數(shù)即可求得y2=0.12x,當(dāng)一次復(fù)印頁(yè)數(shù)超過(guò)20時(shí),根據(jù)題意求得y2=0.09x+0.6;
(3)設(shè)y=y1-y2,得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)y與x的函數(shù)關(guān)系式即可作出判斷.【詳解】解:(1)當(dāng)x=10時(shí),甲復(fù)印店收費(fèi)為:0,1×10=1;乙復(fù)印店收費(fèi)為:0.12×10=1.2;當(dāng)x=30時(shí),甲復(fù)印店收費(fèi)為:0,1×30=3;乙復(fù)印店收費(fèi)為:0.12×20+0.09×10=3.3;故答案為1,3;1.2,3.3;(2)y1=0.1x(x≥0);y2=;(3)顧客在乙復(fù)印店復(fù)印花費(fèi)少;當(dāng)x>70時(shí),y1=0.1x,y2=0.09x+0.6,設(shè)y=y1﹣y2,∴y1﹣y2=0.1x﹣(0.09x+0.6)=0.01x﹣0.6,設(shè)y=0.01x﹣0.6,由0.01>0,則y隨x的增大而增大,當(dāng)x=70時(shí),y=0.1∴x>70時(shí),y>0.1,∴y1>y2,∴當(dāng)x>70時(shí),顧客在乙復(fù)印店復(fù)印花費(fèi)少.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用,讀懂題目信息,列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.21、(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(1)①BC=4;②【解析】分析:(1)由菱形知∠D=∠BEC,由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC,據(jù)此得證;(2)以點(diǎn)C為圓心,CE長(zhǎng)為半徑作⊙C,與BC交于點(diǎn)F,于BC延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G,則CF=CG=AC=CE=CD,證△BEF∽△BGA得,即BF?BG=BE?AB,將BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得;(1)①設(shè)AB=5k、AC=1k,由BC2-AC2=AB?AC知BC=2k,連接ED交BC于點(diǎn)M,Rt△DMC中由DC=AC=1k、MC=BC=k求得DM==k,可知OM=OD-DM=1-k,在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2可得答案.②設(shè)OM=d,則MD=1-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,繼而知BC2=(2MC)2=16-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(1-d)2+9-d2,由(2)得AB?AC=BC2-AC2,據(jù)此得出關(guān)于d的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.詳解:(1)∵四邊形EBDC為菱形,∴∠D=∠BEC,∵四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形,∴∠A+∠D=180°,又∠BEC+∠AEC=180°,∴∠A=∠AEC,∴AC=CE;(2)以點(diǎn)C為圓心,CE長(zhǎng)為半徑作⊙C,與BC交于點(diǎn)F,于BC延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G,則CF=CG,由(1)知AC=CE=CD,∴CF=CG=AC,∵四邊形AEFG是⊙C的內(nèi)接四邊形,∴∠G+∠AEF=180°,又∵∠AEF+∠BEF=180°,∴∠G=∠BEF,∵∠EBF=∠GBA,∴△BEF∽△BGA,∴,即BF?BG=BE?AB,∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,∴(BC﹣AC)(BC+AC)=AB?AC,即BC2﹣AC2=AB?AC;(1)設(shè)AB=5k、AC=1k,∵BC2﹣AC2=AB?AC,∴BC=2k,連接ED交BC于點(diǎn)M,∵四邊形BDCE是菱形,∴DE垂直平分BC,則點(diǎn)E、O、M、D共線(xiàn),在Rt△DMC中,DC=AC=1k,MC=BC=k,∴DM=,∴OM=OD﹣DM=1﹣k,在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2得(1﹣k)2+(k)2=12,解得:k=或k=0(舍),∴BC=2k=4;②設(shè)OM=d,則MD=1﹣d,MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2,∴BC2=(2MC)2=16﹣4d2,AC2=DC2=DM2+CM2=(1﹣d)2+9﹣d2,由(2)得AB?AC=BC2﹣AC2=﹣4d2+6d+18=﹣4(d﹣)2+,∴當(dāng)d=,即OM=時(shí),AB?AC最大,最大值為,∴DC2=,∴AC=DC=,∴AB=,此時(shí).點(diǎn)睛:本題主要考查圓的綜合問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).22、(1)AB與⊙O的位置關(guān)系是相切,證明見(jiàn)解析;(2)OA=1.【解析】
(1)先判斷AB與⊙O的位置關(guān)系,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解答本題;(2)根據(jù)題三角形的相似可以求得BD的長(zhǎng),從而可以得到OA的長(zhǎng).【詳解】解:(1)AB與⊙O的位置關(guān)系是相切,證明:如圖,連接OC.∵OA=OB,C為AB的中點(diǎn),∴OC⊥AB.∴AB是⊙O的切線(xiàn);(2)∵ED是直徑,∴∠ECD=90°.∴∠E+∠ODC=90°.又∵∠BCD+∠OCD=90°,∠OCD=∠ODC,∴∠BCD=∠E.又∵∠CBD=∠EBC,∴△BCD∽△BEC.∴.∴BC2=BD?BE.∵,∴.∴.設(shè)BD=x,則BC=2x.又BC2=BD?BE,∴(2x)2=x(x+6).解得x1=0,x2=2.∵BD=x>0,∴BD=2.∴OA=OB=BD+OD=2+3=1
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