2025屆新高考數(shù)學培優(yōu)專練專題39利用項的系數(shù)求參數(shù)教師版

專題39利用項的系數(shù)求參數(shù)一、單選題1．在的綻開式中，若含項的系數(shù)為，則正實數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出的綻開式的通項，然后可建立方程求解.【詳解】的綻開式的通項為令，則，所以，解得或（舍）故選：B2．設常數(shù).若的二項綻開式中項的系數(shù)為－15，則（）A．－2 B．2 C．3 D．－3【答案】D【分析】利用通項公式求出項的系數(shù)且等于-15，建立關(guān)于的方程，求解即可.【詳解】的二項綻開式的通項公式為，.令，得，所以綻開式中項的系數(shù)為，解得.故選：D.【點睛】本題考查了二項綻開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.3．綻開式中x的系數(shù)為80，則a等于（）A．-3 B．3 C．-2 D．2【答案】C【分析】求出綻開式的通項公式，令，可計算出的值．【詳解】綻開式的通項公式為的系數(shù)為，解得.故選：C【點睛】本題考查二項式綻開式的應用，考查學生計算實力，屬于基礎(chǔ)題．4．的綻開式中項的系數(shù)為4，則（）A．0 B．2 C． D．-2【答案】D【分析】項為，由已知可求得選項.【詳解】由題意，項為，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查二項式綻開式的特定項的系數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.5．的綻開式的常數(shù)項為，則實數(shù)（）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】B【分析】先求出二項式綻開式的通項公式，然后令的次數(shù)為0，求出的值，從而列方程可求出的值【詳解】的綻開式的通項，令，得，所以，解得，故選：B.【點睛】此題考查二項式定理的應用，利用二項式綻開式的通項公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題6．二項式的綻開式中的系數(shù)是，則（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用已知和通項可求得.【詳解】綻開式的通項為，因為的系數(shù)是，所以，即，，解得，故選：B.【點睛】本題考查了二項式定理，二項式系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.7．已知二項式的綻開式的其次項的系數(shù)為，則（）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】依據(jù)其次項系數(shù)，可求出；由定積分基本性質(zhì)，求其原函數(shù)為，進而通過微積分基本定理求得定積分值．【詳解】綻開式的其次項為所以系數(shù)，解得所以故選：A【點睛】本題考查了二項式定理和微積分基本定理的綜合應用，通過方程確定參數(shù)的取值，綜合性強，屬于中檔題．8．已知的綻開式中的系數(shù)為，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】依據(jù)二項式定理的綻開式：以及多項式相乘即可求解.【詳解】的綻開式中的系數(shù)為，則，即，所以.故選：B【點睛】本題考查了二項式定理的綻開式的通項公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.9．使得的綻開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A． B． C． D．【答案】B【解析】二項式綻開式的通項公式為，若綻開式中有常數(shù)項，則，解得，當r取2時，n的最小值為5，故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應用．10．若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，則中對應二次項的系數(shù)相等即可.【詳解】解：令，則，∴，故選：A.【點睛】考查求二項綻開式中某一項的系數(shù)，基礎(chǔ)題.11．若的綻開式中的系數(shù)之和為，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由，進而分別求出綻開式中的系數(shù)及綻開式中的系數(shù)，令二者之和等于，可求出實數(shù)的值.【詳解】由，則綻開式中的系數(shù)為，綻開式中的系數(shù)為，二者的系數(shù)之和為，得.故選：B.【點睛】本題考查二項式定理的應用，考查學生的計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.12．已知的綻開式中的系數(shù)為15，則（）A． B．1 C．1或 D．或【答案】D【分析】依據(jù)二項綻開式的通項公式分別求出綻開式中的系數(shù)即可得到的綻開式中的系數(shù)，解方程即可求出的值．【詳解】因為綻開式的通項公式為，所以其綻開式中的系數(shù)為，的系數(shù)為，即的綻開式中的系數(shù)為．依題意可得，，解得或．故選：D．【點睛】本題主要考查利用二項綻開式的通項公式求指定項的系數(shù)，并利用系數(shù)求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．13．的綻開式中，的系數(shù)是20，則（）A．2 B． C．4 D．1【答案】B【分析】對多項式綻開得,再探討的通項,當和時,可得的系數(shù)為,再解關(guān)于的方程，即可得答案.【詳解】因為,而綻開式的通項公式為綻開式的通項公式為.所以的綻開式中的系數(shù)為，解得.故選：B.【點睛】本題考查二項綻開式中指定項的系數(shù)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實力和運算求解實力，求解時留意系數(shù)的符號.14．已知的綻開式中全部項的系數(shù)和為，則綻開式中的常數(shù)項為（）A．80 B． C．40 D．【答案】B【分析】令，由綻開式中全部項的系數(shù)和為，列出方程并求出的值，得出綻開式中常數(shù)項為中的系數(shù)與的的系數(shù)之和，然后利用二項綻開式的通項公式求解.【詳解】解：由題可知，的綻開式中全部項的系數(shù)和為，令，則全部項的系數(shù)和為，解得：，，則綻開式中的常數(shù)項為：中的系數(shù)與的的系數(shù)之和，由于綻開式的通項公式為：，當時，即時，中的系數(shù)為：，當時，無整數(shù)解，所以綻開式中的常數(shù)項為.故選：B.【點睛】本題考查二項式定理的應用，考查利用賦值法求二項綻開式全部項的系數(shù)和，以及二項綻開式的通項公式，屬于中檔題.15．已知綻開式中含項的系數(shù)為，則正實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)二項式定理可確定綻開式的通項，由此可確定含的項分別對應的的取值，進而確定系數(shù).【詳解】綻開式的通項公式為：.綻開式中含的項的系數(shù)為：，解得：或.為正實數(shù)，.故選：.【點睛】本題考查利用二項式定理求解指定項的系數(shù)，關(guān)鍵是能夠嫻熟駕馭二項綻開式的通項.16．的綻開式中的常數(shù)項為14，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】先探討的常數(shù)項和的系數(shù)，再依據(jù)題意求解即可.【詳解】解：綻開式的通項公式為，故其常數(shù)項為，包含的項為，所以綻開式的常數(shù)項為.當為奇數(shù)時，有，解得；當為偶數(shù)時，有，解得（舍）故正整數(shù)的值為.故選：B.【點睛】本題考查二項式定理的應用，是中檔題.二、多選題17．若的綻開式中的系數(shù)是，則（）A． B．全部項系數(shù)之和為1C．二項式系數(shù)之和為 D．常數(shù)項為【答案】ABC【分析】首先依據(jù)綻開式中的系數(shù)是得到，從而推斷A正確，令得到全部項系數(shù)之和為，從而推斷B正確，依據(jù)二項式系數(shù)之和為，從而推斷C正確，依據(jù)的常數(shù)項為，從而推斷D錯誤.【詳解】對選項A，的綻開式中項為，所以，解得，故A正確；由A知：，令，全部項系數(shù)之和為，故B正確；對選項C，二項式系數(shù)之和為，故C正確；對選項D，的常數(shù)項為，故D錯誤.故選：ABC【點睛】本題主要考查二項式的定理的各項系數(shù)之和，項的系數(shù)之和，常數(shù)項，屬于中檔題.18．已知的綻開式中各項系數(shù)的和為2，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．綻開式中常數(shù)項為160C．綻開式系數(shù)的肯定值的和1458D．若為偶數(shù)，則綻開式中和的系數(shù)相等【答案】ACD【分析】中，給賦值1求出各項系數(shù)和,列出方程求出，利用二項綻開式的通項公式求出通項，進而可得結(jié)果.【詳解】對于A，令二項式中的為1得到綻開式的各項系數(shù)和為，，故A正確；對于B，，綻開式的通項為，當綻開式是中常數(shù)項為：令,得可得綻開式中常數(shù)項為：，當綻開式是中常數(shù)項為：令,得(舍去)故的綻開式中常數(shù)項為.故B錯誤；對于C，求其綻開式系數(shù)的肯定值的和與綻開式系數(shù)的肯定值的和相等，令，可得：綻開式系數(shù)的肯定值的和為：.故C正確；對于D，綻開式的通項為，當為偶數(shù)，保證綻開式中和的系數(shù)相等①和的系數(shù)相等，綻開式系數(shù)中系數(shù)為：綻開式系數(shù)中系數(shù)為：此時和的系數(shù)相等，②和的系數(shù)相等，綻開式系數(shù)中系數(shù)為：綻開式系數(shù)中系數(shù)為：此時和的系數(shù)相等，③和的系數(shù)相等，綻開式系數(shù)中系數(shù)為：綻開式系數(shù)中系數(shù)為：此時和的系數(shù)相等，故D正確；綜上所在，正確的是：ACD故選：ACD.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項綻開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.19．已知的綻開式中，的系數(shù)為56，則實數(shù)的取值可能為（）A．-1 B．4 C．5 D．6【答案】AD【分析】利用多項式的乘法法則得到系數(shù)由三部分組成，利用二項綻開式的通項公式求出各項的系數(shù)，列出方程求出的值．【詳解】解：因為，所以的綻開式中的系數(shù)是，故，解得或-1.故選：AD【點睛】本題考查利用二項綻開式的通項公式解決二項綻開式的特定項問題，屬于中檔題．三、填空題20．的綻開式中的系數(shù)為4，則的綻開式中常數(shù)為______．【答案】8【分析】利用已知條件得關(guān)于的方程，求得，再利用二項綻開式的通項公式，得的綻開式中的常數(shù)項．【詳解】的綻開式中項為，因為的綻開式中的系數(shù)為4，所以，解得．所以的綻開式中常數(shù)項為．故答案為：8【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查求二項式與二項式（或多項式）的積的綻開式中的常數(shù)項，解得本題的關(guān)鍵是由的綻開式中的系數(shù)為，先求出參數(shù)，再由二項式的綻開式的公式可得的綻開式中常數(shù)項為，屬于中檔題.21．若對隨意，都有，（為正整數(shù)），則的值等于_______.【答案】4【分析】將式子變形后，重新組合，變?yōu)殛P(guān)于按的升冪排列的等式，再依據(jù)等式左右兩邊相等，可得到系數(shù)之間的關(guān)系，推出，即可求得結(jié)果.【詳解】,解得：，即.故答案為：4.【點睛】本題考查二項式定理，考查利用綻開式對應項系數(shù)相等求參數(shù)問題，屬于中檔題.22．已知，若，則實數(shù)m＝________.【答案】【分析】先利用二項式定理寫通項公式，再取即得到第五項系數(shù)，即得到的關(guān)系式求解即可.【詳解】因為的通項公式，故令得，故，.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理的簡潔應用，屬于基礎(chǔ)題.23．若在關(guān)于的綻開式中，常數(shù)項為4，則的系數(shù)是______________．【答案】【分析】將式子轉(zhuǎn)化為兩個式子相加的形式，再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】，綻開式的通項為：，取得到常數(shù)項為，故.分別取和得到的系數(shù)是：.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算實力和應用實力.24．若的綻開式的常數(shù)項為60，則_________.【答案】4【分析】二項綻開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于0，求出的值，即可求得常數(shù)項，再依據(jù)常數(shù)項等于60，求得實數(shù)的值.【詳解】解：∵綻開式的通項公式為：，令，可得，∴綻開式的常數(shù)項為，解得.故答案為：4.【點睛】本題考查二項式定理的應用，二項綻開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.25．綻開式中的常數(shù)項為180，則_________________.【答案】2或【分析】先求出二項式綻開式的通項公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得綻開式中的常數(shù)項的值，再依據(jù)常數(shù)項的值為180，求得的值．【詳解】解：綻開式中的通項公式為，令，求得，可得它的常數(shù)項為，故，故答案為：．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項式綻開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．26．已知的綻開式中常數(shù)項為，則實數(shù)_______.【答案】【分析】依據(jù)二項綻開式的通項公式，得到綻開式的第項為，令，依據(jù)題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】因為綻開式的第項為，令，則，又的綻開式中常數(shù)項為，所以，即，即，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查由指定項的系數(shù)求參數(shù)，熟記二項式定理即可，屬于常考題型.27．已知的綻開式中的系數(shù)為30，則為______.【答案】2【分析】依據(jù)二項式定理通項公式可得，然后令，最終簡潔計算即可.【詳解】由題可知：的通項公式為令，則，所以故答案為：2【點睛】本題考查二項式定理的應用，本題重點在于二項綻開式的通項公式，細心計算，屬基礎(chǔ)題.28．若的綻開式中的常數(shù)項為60，則a的值為______.【答案】4【分析】利用二項式定理的通項公式即可得出．【詳解】解：的通項公式：，令，解得．，解得．故答案為：4．【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．29．設二項式的綻開式中的系數(shù)為，常數(shù)項為，若，則的值是______.【答案】【分析】先求二項綻開式的通項公式，求出，再由，求出.【詳解】二項式綻開式的通項公式為，化簡得令，得綻開式中的系數(shù)為令，得綻開式中常數(shù)項為由可得.又，所以.故答案為：．【點睛】本題考查了二項綻開式，利用通項公式求出指項項的系數(shù)是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.30．已知關(guān)于的方程的實數(shù)根的個數(shù)為，若，則的值為______.【答案】【分析】利用圖象法推斷出關(guān)于的方程的實數(shù)根的個數(shù)，由此求得，利用，結(jié)合二項式綻開式求得.【詳解】當時，畫出和的圖象如下圖所示，由圖可知兩個函數(shù)圖象有個交點，所以關(guān)于的方程的實數(shù)根個數(shù)為1，所以.所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查方程的根的個數(shù)推斷，考查二項式綻開式，屬于中檔題.31．的綻開式中含的項的系數(shù)為8，則__________.【答案】2【分析】依據(jù)二項式定理，得到二項綻開式的通項，再由題中條件，列出方程，即可得出結(jié)果.【詳解】因為二項式綻開式的通項為：，令，解得，所以.故答案為：2.【點睛】本題主要考查由指定項的系數(shù)求參數(shù)，熟記二項式定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.32．若的綻開式中的系數(shù)為20，則的值為______.【答案】【分析】求得二項綻開式的通項為，求得的系數(shù)，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，二項式的綻開式的通項為，

所以的系數(shù)為，令，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了二項式的應用，其中解答中熟記二項綻開式的通項，結(jié)合題意，列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題.33．已知的綻開式中第項為常數(shù)項，則該式中全部項系數(shù)的和為__________.【答案】【分析】寫出二項綻開式的第項，依據(jù)題意求出的值，然后令可求得該式中全部項系數(shù)的和.【詳解】的綻開式中第項為，由題意可得，得.因此，該式中全部項系數(shù)的和為.故答案為：.【點睛】本題考查利用綻開式中的常數(shù)項求參數(shù)，同時也考查了二項式各項系數(shù)和的計算，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.四、雙空題34．在的綻開式中，若a＝2，則x項的系數(shù)為________；若全部項的系數(shù)之和為－32，則實數(shù)a的值為________.【答案】4－4【分析】先求的通項，依據(jù)通項和綻開式的乘積可得答案.【詳解】因為a=2，所以二項式為，的綻開式的通項為，所以x項的系數(shù)為；令x=1，則全部項的系數(shù)之和為a·23=8a=-32，所以a=.故答案為：①4；②.【點睛】本題考查二項式定理，解答本題時，利用二項綻開式的通項求綻開式中某一項的系數(shù)，利用x=1得到全部項的系數(shù)之和，建立方程求解a的值.35．已知二項式的各項系數(shù)和為243，則___________，綻開式中常數(shù)項為___________.【答案】580【分析】利用賦值法，令即可求；再利用二項式綻開式的通項公式：可求常數(shù)項.【詳解】二項式的各項系數(shù)和為243，令，可得，解得.由，只需，解得，所以常數(shù)項為.故答案為：5；80【點睛】本題考查了由二項式綻開式的系數(shù)和求參數(shù)值、二項式綻開式的通項公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.36．早在11世紀中葉，我國宋代數(shù)學家賈憲在其著作《釋鎖算數(shù)》中就給出了二、三、四、五、六次冪的二項式系數(shù)表．已知的綻開式中的系數(shù)為，則實數(shù)________；綻開式中各項系數(shù)之和為________．（用數(shù)字作答）【答案】21【分析】利用通項公式求出a的值；令，可以求出各項系數(shù)之和．【詳解】由題可知，，則，故．令，綻開式中各項系數(shù)之和為．故答案為：(1).2；(2).1【點睛】本題考查利用二項綻開式的通項公式并由指定項的系數(shù)求參數(shù)，還考查了利用賦值法求二項綻開式得各項系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題．37．已知綻開式的前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則______，其綻開式中的有理項依次為______．【答案】8，，．【分析】先求出綻開式的前三項系數(shù)，依據(jù)成等差數(shù)列建立等量關(guān)系，即可求出，然后寫出通項，令指數(shù)為整數(shù)，即可求出有理項.【詳解】依據(jù)題意，前三項系數(shù)依次為，，，因為前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則有，整理得，解得，設第項為綻開式的有理項，于是，當時，為有理項，又且，于是，共有三項，即依次為，，．故答案為：8；，，．【點睛】本題命制是以二項式定理為背景，考查的是二項式定理的綻開式通項公式的運用，同時考查了考生的等價轉(zhuǎn)換、運算求解實力．五、解答題38．已知的綻開式中第5項的系數(shù)與第3項系數(shù)之比為，（1）求綻開式中的常數(shù)項；（2）求綻開式中系數(shù)最大的項.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依據(jù)二項綻開式的通項公式，得到綻開式的第項為，依據(jù)題意，列出方程求解，得出，再令，即可得出結(jié)果；（2）先設第項系數(shù)最大，即最大，由此列出不等式組求解，得出，即可確定結(jié)果.【詳解】（1）二項式的綻開式的第項為，因為綻開式中第5項的系數(shù)與第3項系數(shù)之比為，即，則，即，解得；則，令，得；所以常數(shù)項為第三項，；（2）設第項系數(shù)最大，即最大，即，則，即，解得，又，，即系數(shù)最大的項為第8項，.【點睛】本題主要考查求二項綻開式的常數(shù)項，考查求系數(shù)最大的項，熟記二項式定理即可，屬于?？碱}型.39．已知中，且.（1）求m的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用二項式綻開式的通項公式即可求解.（2）利用賦值法令得出全部項的系數(shù)和，再令，兩式作差即可求解.【詳解】（1）因為，，依題意得：，所以，得.（2）令得：.①令得：.②由①—②得：，即.故答案為：；【點睛】本題考查了二項式綻開式的通項公式、賦值法求二項式綻開式的各項系數(shù)和，考查了基本計算實力，屬于基礎(chǔ)題.40．已知二項式．（1）若該二項式的綻開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求正整數(shù)n的值；（2）在（1）的條件下，求綻開式中項的系數(shù)．【答案】（1）；（2）7.【分析】（1）利用二項綻開式的通項公式求出綻開式的前3項，利用等差數(shù)列得到關(guān)系式，即可求出n的值．（2）利用通項，令x的指數(shù)為4，求出r，然后求出所求結(jié)果．【詳解】（1），由題知，故，從而或，由于，故.（2）由上知其通項公式為，即令得，故項的系數(shù)為．【點睛】本題考查二項式定理及其應用，留意項的系數(shù)的探討關(guān)鍵是弄清晰二項綻開式的通項，本題屬于中檔題.41．在的綻開式中，前3項的系數(shù)的和為73.（1）求的值及綻開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求綻開式中的有理項.【答案】（1），；（2）和.【分析】（1）依據(jù)前3項系數(shù)和，建立方程求出，結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．（2）求出綻開式的通項公式，結(jié)合的次數(shù)進行求解即可．【詳解】（1）依題意得：，即，得或.綻開式中二項式系數(shù)最大的項為第四項，即.（2）綻開式的通項公式為：，綻開式的通項公式為：，當時，，此時為有理項，當時，，此時不是有理項，當時，，此時不是有理項，當時，，此時不是有理項，當時，，此時為有理項，當時，，此時不是有理項，當時，，此時不是有理項，綻開式中的有理項為和240．【點睛】本題主要考查二項式定理?有理項等基礎(chǔ)學問，考查視察實力?運算求解實力?推理實力和函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.42．已知的綻開式中，第4項的系數(shù)與第5項的系數(shù)之比為.（1）求n值；（2）求綻開式中的常數(shù)項.【答案】（1）；（2）180.【分析】（1）先求得二項式綻開式的通項公式，依據(jù)第4項的系數(shù)與第5項的系數(shù)之比列方程，解方程求得的值.（2）利用二項式綻開式的通項公式，求得綻開式中的常數(shù)項.【詳解】（1），所以，，所以，解得；（2），其中，令，解得，所以綻開式中的常數(shù)項為.【點睛】本小題主要考查二項式綻開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.43．已知二項式（1）求二項式綻開式中各項系數(shù)之和；（2）若二項式綻開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求n的值；（3）在的條件下寫出它綻開式中的有理項.【答案】（1）；（2）；（2），，．【分析】（1）由二項式系數(shù)即為該項的系數(shù)，再由二項式系數(shù)的性質(zhì)，即可得到；（2）由綻開式中的通項，得到各項的二項式系數(shù)，再由等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合組合數(shù)公式，化簡整理，解方程即可求出；（3）寫出通項，化