2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解題技巧方法第四章第7節(jié)三角形的“四心”及其向量性質(zhì)教師版

三角形的“四心”及其向量性質(zhì)學(xué)問與方法1.【重心的概念及向量性質(zhì)】如圖1所示，G為的重心，則：（1）概念：三邊中線的交點(diǎn)，即圖1中D、E、F分別為所在邊的中點(diǎn)；（2）重心分中線的比例性質(zhì)：；（3）坐標(biāo)：設(shè)，，，則的重心G的坐標(biāo)為；（4），其中；（5）與奔馳定理結(jié)合：設(shè)G為的重心，則.2.【外心的概念及向量性質(zhì)】如圖2所示，O為的外心，則：（1）概念：外接圓的圓心，三角形的三邊的中垂線的交點(diǎn)，；（2）；（3）與奔馳定理結(jié)合：若是銳角或直角三角形，則.3.【內(nèi)心的概念及向量性質(zhì)】如圖3所示，I為的內(nèi)心，則：（1）概念：內(nèi)切圓的圓心，三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)；（2），其中；（3）與奔馳定理結(jié)合：4.【垂心的概念及向量性質(zhì)】如圖4所示，H為的垂心，則：（1）概念：三角形的三邊上的高的交點(diǎn)；（2）若不是直角三角形，則（3）；（4）與奔馳定理結(jié)合：若不是直角三角形，則.提示：三角形“四心”的結(jié)論較多，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的時(shí)候，最好能抓住各心的規(guī)律，例如，心的關(guān)鍵特征是1:1:1，內(nèi)心需重點(diǎn)關(guān)注，外心則抓住點(diǎn)乘和投影，而垂心往往要分析余弦投影.典型例題【例1】已知點(diǎn)O是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則O肯定是的（）A.重心 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心【解析】如圖，，設(shè)D為的中點(diǎn)，則，由重心分中線比例性質(zhì)知，所以O(shè)為的重心.【答案】A變式1已知O、A、B、C是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，A、B、C不共線，若點(diǎn)P滿意，其中，則點(diǎn)P的軌跡肯定經(jīng)過的（）A.重心 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心【解析】，當(dāng)時(shí)，，P為的重心，所以點(diǎn)P的軌跡肯定經(jīng)過的重心.【答案】A變式2已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿意，則點(diǎn)P的軌跡肯定經(jīng)過的（）A.重心 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心【解析】由正弦定理，，所以，從而，設(shè)，則，所以，設(shè)D為中點(diǎn)，如圖，則，明顯，又，所以，故點(diǎn)P的軌跡是射線，而射線必定經(jīng)過的重心，故選A.【答案】A【例2】已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿意，則點(diǎn)P的軌跡肯定經(jīng)過的（）A.重心 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心【解析】，故選C.【答案】C【例3】設(shè)G為的重心，若，，，則_______【解析】解法1：不難發(fā)覺，是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，如圖，因?yàn)镚為的重心，所以，故，又，所以，設(shè)D、E分別為、的中點(diǎn)，則，，由重心分中線的比例性質(zhì)，，，從而.解法2：如圖，D、E、F分別為所在邊的中點(diǎn)，作于K，則，所以，從而，故在上的投影為，所以.【答案】4變式1設(shè)I為的內(nèi)心，若，，，則_______【解析】解法1：不難發(fā)覺，是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，如圖，設(shè)圓I與、、分別相切于點(diǎn)D、E、F，設(shè)圓I的半徑為r，則，明顯四邊形是正方形，所以，從而，，易證，，所以，，故，從而，，解法2：按解法1求得的內(nèi)切圓半徑，由圖可知在上的投影即為，所以.【答案】變式2設(shè)O為的外心，若，，則_______.【解析】如圖，設(shè)D、E分別為、中點(diǎn)，則，，所以【答案】【例4】在中，，，，O為的內(nèi)心，若，則（）A. B. C. D.【解析】，因?yàn)镺為的內(nèi)心，所以，從而，解得：，，所以.【答案】C【例5】若P為銳角的外心，，若，則（）A. B. C. D.【解析】：，因?yàn)镻為的外心，所以，從而，故，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，故，從而或，若，則，所以，沖突，故，即，所以，由題意，，所以，故，，從而，又，所以，從而，故.【答案】A強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★★）在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若點(diǎn)O滿意，則O肯定是的（）A.重心 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心【解析】由內(nèi)心的向量性質(zhì)知O為的內(nèi)心，選C.【答案】C2.（★★★）已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿意，則點(diǎn)P的軌跡肯定經(jīng)過的（）A.重心 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心【解析】，所以，由垂心的向量性質(zhì)知選C.【答案】D3.（★★★）已知O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，且，，則（）A. B. C.10 D.5【解析】如圖，設(shè)、、的中點(diǎn)分別為D、E、F，因?yàn)?，所以，從而，，故O是的外心，所以，從而.【答案】B4.（★★★）M是所在平面上一點(diǎn)，若，則M是的（）A.重心 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心【解析】同理可得，，所以M是的垂心.【答案】D5.（★★★）設(shè)G為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，且，則實(shí)數(shù)（）A. B.3 C. D.2【解析】G為的重心，如圖，設(shè)D為中點(diǎn)，則，所以.【答案】B6.（★★★）已知O為內(nèi)一點(diǎn)，且，若，且，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【解析】O為的重心，因?yàn)?，所以，又，所以，從而，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)是正三角形，所以的最小值為.【答案】B7.（★★★★）設(shè)I為的內(nèi)心，若，，，且，則______.【解析】由題意，，，由奔馳定理的內(nèi)心形式，，本題中，，，，所以，解得：，，所以.【答案】8.（★★★★）已知O為的垂心，且，則角A=_______.【解析】由奔馳定理的垂心形式，，所以，可設(shè)，則，，明顯，否則A、B、C全為鈍角，因?yàn)椋?，從而，結(jié)合可解得：，所以.【反思】本題也可用三角形中的正切恒等式來建立關(guān)于x的方程.【答案】9.（★★★★）在中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則的面積為______.【解析】因?yàn)?，所以A、M、P三點(diǎn)共線，且，從而，又，所