2024-2025學年新教材高考數(shù)學空間向量的數(shù)量積運算1練習含解析選擇性必修第一冊

PAGE9-空間向量的數(shù)量積運算（45分鐘100分）一、選擇題(每小題6分,共30分) 1.若a,b均為非零向量,則a·b=|a||b|是a與b共線的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知空間向量a,b滿意a·b=0,|a|=1,|b|=2,則|2a-b|=()A.0 B.22 C.4 D.83.(2013·天水高二檢測)已知四邊形ABCD滿意:AB→·BC→>0,CD→·DA→>0,A.平行四邊形 B.梯形C.平面四邊形 D.空間四邊形4.如圖,在大小為45°的二面角A-EF-D中,四邊形ABFE,CDEF都是邊長為1的正方形,則B,D兩點間的距離是()A.3 B.2 C.1 D.35.(2013·杭州高二檢測)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點E,F分別是棱AB,BB1的中點,則直線EF和BC1所成的角是()A.45° B.60° C.90° D.120°二、填空題(每小題8分,共24分)6.(2013·安陽高二檢測)已知向量a與b的夾角是120°,且|a|=|b|=4,則b·(2a+b)=.7.如圖所示,在幾何體A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,點E為CD的中點,則AE的長為.8.如圖∠BAC=90°,等腰直角三角形ABC所在的平面與正方形ABDE所在的平面相互垂直,則異面直線AD與BC所成角的大小是.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.(1)求BN(2)求cos<BA1→(3)求證:A1B⊥C1M.10.(2013·濟南高二檢測)如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點,(1)求證:MN⊥CD.(2)若∠PDA=45°,求證:MN⊥平面PCD.11.(實力挑戰(zhàn)題)如圖所示,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(點P位于平面ABCD上方),問BC邊上是否存在點Q,使PQ→⊥答案解析1.【解析】選A.a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|?cos<a,b>=1?<a,b>=0,即a,b同向,故是充分條件;當a與b反向時,不能成立,不是必要條件.2.【解析】選B.|2a-b|===4×1-4×0+223.【解析】選D.由題意知,BA→·BC→<0,CB→·CD→<0,4.【解析】選D.BD→=BF→∴BD→

22=(BF=BF→

22+FC→

22+CD→2由題意知,|BF→|=|FCBF→·FC→=|BF→=1×1×(-22)=-2FC→·CD→=∴BD→

22=3+2×(-∴BD=3-5.【解析】選B.設(shè)AB→=a,AC→=b,|a|=|c|=1,則|b|=2,EF→=EB→+BF→=12AB→BC1→=BC→+CC=-a+b+c,∴EF→·BC1→=(12a+12c)·=-12a2+12a·b+12a·c-12a·c+12b·=-12|a|2+12a·b+12b·c+12=-12+12a·b+0+12=12由題意知,<a,b>=45°,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=1×2×cos45°=1,∴EF→·BC1→==1+(2)∴cos<EF→,B=1222∴cos<EF→,BC∴EF與BC1所成的角為60°.6.【解析】b·(2a+b)=2a·b+b2=2|a|·|b|cos120°+|b|2=2×4×4×(-12)+42答案:07.【解析】AE→

2=(AB→+=|AB→|2+|BC→|2+|CE→|2+2(AB→·BC由題意知,|AB→|=|BC且AB→·BC→=AB→·∴AE∴AE的長為3.答案:3【舉一反三】若將題條件中“BC⊥CD”改為“∠BCD=120°”,其他條件不變,結(jié)果如何?【解析】由本題解答知,AE→

22=|AB→|2+|BC→|2+|CE→|2+2(A∵|AB→|=|BCAB→·BC→=BC→·CE→=|BC→|·|CE=1×1×cos60°=12∴AE→

2故AE的長是2.答案:28.【解析】設(shè)正方形ABDE的邊長為1,∵AD→=AB→+AE→,∴AD→·BC→=(AB→+AE=AB→·AC→-AB→

22=0-1+0-0=-1,|AD→=A=1+2×0+1=2|BC→=A=1-2×0+1=2∴cos<AD→,BC→>=∴<AD→,BC→>=120答案:60°9.【解析】(1)由題可知,BA=2,BA⊥AN,∴BN→

22=(=BA→

22+2=(2)2+2×0+12=3,∴BN=3.即BN→的長為(2)∵BA1→=BA→+AA1∴BA1→·CB1→=(BA→+=BA→·CB→+BA→·BB1=|BA→|·|CB→|·=2×1×(-22)+22|BA1=(2)2|CB1=12+2∴cos<BA1→,=36×5(3)∵A1B→=AC1M→=12(∴A1B→·C1M→=12(A1A=12(A1A→·C1A1→+A1A→由題意知,A1A→·C1AAB→·C1A1→=|AB→|·|=2×1×cos135°=-1,AB→·C1B1→=|AB→|·|=2×1×cos45°=1,∴A1B→·C1∴A1B→⊥C1M→,即A10.【證明】(1)設(shè)AB→=a,AD→=b,則MN→=MB→=12AB→+=12AB→+AD→-12(=12AB→+AD→+=12(AD→+AP→)=1∴MN→·CD→=12(b+c=-12(a·b+a·c∵四邊形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,∴a⊥b,a⊥c,∴a·b=a·c=0,∴MN→·∴MN→⊥CD(2)由(1)知,MN⊥CD,MN→=12(b∵PD→=AD→-AP∴MN→·PD→=12(b+c)·=12(|b|2-|c|2∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,又∠PDA=45°,∴PA=AD,∴|b|=|c|,∴MN→·PD→=0,∴MN→⊥∵CD,PD?平面PCD,且CD∩PD=D,∴MN⊥平面PCD.【拓展提升】巧用數(shù)量積證明垂直問題垂直問題有線線垂直、線面垂直、面面垂直三類問題,這三類問題通常會轉(zhuǎn)化為線線垂直問題,證明線線垂直問題又轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0,詳細方法是:(1)先確定兩個向量為兩直線的方向向量.(2)用已知向量(通常是三個已知向量,其模及其夾角已知)表示方向向量.(3)計算兩個方向向量的數(shù)量積,通過線性運算、化簡得出其數(shù)量積為0,得出兩個方向向量垂直.(4)把向量垂直的結(jié)論轉(zhuǎn)化為兩直線垂直.11.【解題指南】由PQ→⊥QD【解析】假設(shè)存在點Q(Q點在邊B