高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題技巧方法總結(jié)

中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)

1.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？

（定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域）

相同函數(shù)的推斷方法：①表達(dá)式相同；②定義域一樣（兩點(diǎn)必需同時(shí)具備）

2.求函數(shù)的定義域看麻些常見(jiàn)類(lèi)型？

例：函數(shù)y=，，4一2的定義域是（答：（0，2）U（2,3）U（3,4））

lg（x-W

函數(shù)定義域求法：

?分式中的分母不為零；

?偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零;

?指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；

對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。

?正切函X€R,且XW%萬(wàn)+5,%€Z

?余切函=（xeR且XH左4,左€Z）

?反三角函數(shù)的定義域

［-1,11

函數(shù)y=arcsinx的定義域是［-1,1］,值域是--,函數(shù)y=arccosx的定義域是［—1,1］,值

域是［0,n］,函數(shù)y=arctgx的定義域是R,值域是2'2'.,函數(shù)y=arcctgx的定義域是R,值域

是（0,TT）.

當(dāng)以上幾個(gè)方面有兩個(gè)或兩個(gè)以上同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，先分別求出滿意每一個(gè)條件的自變量的范圍，再取他們的交

集，就得到函數(shù)的定義域。

3.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f（x）的定義域是［a,b\b>-a>0,則函數(shù)〃*）=/（》）+/（-幻的定

義域是o（答：［a,-a］）

復(fù)合函數(shù)定義域的求法：已知y=/（x）的定義域?yàn)椋奂?〃］,求y=/［g（x）］的定義域，可由機(jī)4g解出x

的范圍，即為y=/［g（x）］的定義域。

例若函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)閪,2,則/（log?%）的定義域?yàn)椤?/p>

分析：由函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)椋?2可知：^.<x<2；所以y=/（log?x）中有g(shù)<log?2。

解：依題意知：-<logx<2

22

解之，得V2<x<4

/（log2%）的定義域?yàn)閗l&Wx?4}

4、函數(shù)值域的求法

1、干脆視察法

對(duì)于一些比較簡(jiǎn)潔的函數(shù)，其值域可通過(guò)視察得到。

例求函數(shù)y=，的值域

X

2、配方法

配方法是條二次函數(shù)值域最基本的方法之一。

例'求函數(shù)y=--2x+5,xe［-1,2］的值域。

3、判別式法

對(duì)二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類(lèi)題型有時(shí)也可以用其他方法進(jìn)行

化簡(jiǎn)，不必拘泥在判別式上面

下面，我把這一類(lèi)型的具體寫(xiě)出來(lái)，希望大家能夠看懂

y=」^型：直接用不等式性質(zhì)

k+x2

b.y=_,3-型，先化簡(jiǎn),再用均值不等式

x+mx+n

x11

/rl=

例：y=Tl+TxT2-r1-z2

x+x—

X

y=x：+m，x+n，型通常用判別式

x+mx+n

x2+mx+n可

d.y=-----------型

x+n

法一:用判別式

法二:用換元法，把分母替換掉

x2+x+1(x+1)2-(x+D+l

例:y=---------=------------—--(-x-+--1-)-H--------1>2—1=1

x+1x+1x+1

4、反函數(shù)法

干脆求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其原函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域。

例求函數(shù)y=且以值域。

5x+6

5、函數(shù)有界性法

干脆求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定函數(shù)的值域。我們所說(shuō)的單調(diào)性,

最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。

川十7刻?！?2sin0—12sin9—］內(nèi)人/士工一

例求函數(shù)—,y=———y=-------不的值域。

e+11+sm。1+cos。

ex1+y八

y=-----nex=——->0

e'+l\-y

2sin6—11+V

y-n|sin昨I產(chǎn)區(qū)1,

1+sin。2-y

2sin^-l

y-n2sin^-l=y(l+cos。)

1+cos0

2sin6-ycos。=1+y

(4+丁sin(。+x)=1+y,即sin(。+x)=J+

■7477

又由卜in（。+x）|<1知J+）.<1

解不等式，求出y,就是要求的答案

喜常和導(dǎo)數(shù)結(jié)是最近高考考的較多的一個(gè)內(nèi)容

例求函數(shù)y=2'-'+log3H萬(wàn)（2WXW10）的值域

7、換元法

通過(guò)簡(jiǎn)潔的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)潔函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角

函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)

揮作用。

例求函數(shù)y=x+GT的值域。

8數(shù)形結(jié)合法

其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這

類(lèi)題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)潔，一目了然，賞心悅目。

例:已知點(diǎn)P(x.y)在圓x4y2=1上，

⑴一匕的取值范圍

x+2

(2)y-2疝勺取值范圍

解:(1)令」一=幺則y=k(x+2),是一條過(guò)(-2,0)的直線.

x-2

d<R(d為圓心到直線的距離,R為半徑)

(2)令y-2x=b,即y—2x—6=0,也是直線dd<??

例求函數(shù)y=g-2)2+J(X+8)2的值域。

BR.A

-Q0

解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：y=Ix-2|+|x+8|

上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P(x)到定點(diǎn)A(2),B(-8)間的距離之和。

由上圖可知：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，

y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，

y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10

故所求函數(shù)的值域?yàn)椋海?0,+8)

例求函數(shù)y=Jx'_6x+13+G+4x+5的值域

解：原函數(shù)可變形為：y=/(%—3)2+(0—2)2+J(%+2)2+(0+1)2

上式可看成X軸上的點(diǎn)P(X,0)到兩定點(diǎn)A(3,2),B(-2,-1)的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P

為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，yinin=IAB|=J(3+2?+(2+U=屈,

故所求函數(shù)的值域?yàn)椋刍兀?8)。

注：求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)

9、不等式法

利用基本不等式a+b22V^,a+b+c233屆(a,b,cGR),求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是

和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。

例:2

x92+-(x>0)

X

=x2+—+—>3^lx2x—x—=3

XXvXX

(應(yīng)用公式a+b+c23%^時(shí)，注意使3者的乘積變成常數(shù))

X2(3-2X)(0<X<1.5)

x+x+3-2x

二xx?(3-2x)<()3=1

3

(應(yīng)用公式abc<(*￡)3時(shí)，應(yīng)注意使3者之和變成常數(shù))

10.倒數(shù)法

有時(shí)，干脆看不出函數(shù)的值域時(shí)，把它倒過(guò)來(lái)之后，你會(huì)發(fā)覺(jué)另一番境況

例求函數(shù)尸巖的值域

y]x+2

y

x+3

x+2w0時(shí),

1x+2+1/~1、八八j1

-=—/.=Jx+2H—/“，：,N2=>0<y<一

yJx+2>/x+22

x+2=0時(shí)，y=0

0<y<-

2

多種方法綜合運(yùn)用

總之，在具體求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，首先要細(xì)致、細(xì)致視察其題型特征，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，一?/p>

優(yōu)先考慮干脆法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

5.求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？

切記：做題，特殊是做大題時(shí)，肯定要留意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當(dāng)

年的錯(cuò)誤，與到手的滿分失之交臂

如：f(jx+=+x,求f(x).

令t=工L貝亞NO

x=t~—1

.,.f(t)=e'2-,+t2-1

/.f(x)=ex2_|+x2-l(x>0)

6.反函數(shù)存在的條件是什么？

(一一對(duì)應(yīng)函數(shù))

求反函數(shù)的步驟駕馭了嗎？

(①反解x；②互換x、y；③注明定義域)

1+x(x>0)

如：求函數(shù)f(x)=,)的反函數(shù)

-x2(X<0)

x-1(x>1)

(答：fT(x)='")

-V-x(x<0)

在更多時(shí)候，反函數(shù)的求法只是在選擇題中出現(xiàn)，這就為我們這些喜愛(ài)偷懶的人供應(yīng)了大便利。請(qǐng)看這個(gè)例

題：

(2004.全國(guó)理)函數(shù)y="N+1(x21)的反函數(shù)是(B)

A.y=x-2A+2(K1)B.y=4-2/2(x》1)

C.y=x—2x(x<1)D.\/-x~2x(x21)

當(dāng)然，心情好的同學(xué)，可以自己漸漸的計(jì)算，我想，一番心血之后，假如不出現(xiàn)計(jì)算問(wèn)題的話，答案還是

可以做出來(lái)的。惋惜，這個(gè)不合我胃口，因?yàn)槲乙幌驊猩T了，不習(xí)慣計(jì)算。下面請(qǐng)看一下我的思路：

原函數(shù)定義域?yàn)閄〉=1,那反函數(shù)值域也為y>=1.解除選項(xiàng)C,D.現(xiàn)在看值域。原函數(shù)至于為y>=1,則反函

數(shù)定義域?yàn)閤>=1,答案為B.

我題目已經(jīng)做完了，似乎沒(méi)有動(dòng)筆(除非你拿來(lái)寫(xiě)*書(shū))。思路能不能明白呢？

7.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

反函數(shù)性質(zhì)：

1、反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域(可擴(kuò)展為反函數(shù)中的x對(duì)應(yīng)原函數(shù)中的y)

2、反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域(可擴(kuò)展為反函數(shù)中的y對(duì)應(yīng)原函數(shù)中的x)

3、反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關(guān)于直線=x對(duì)稱(chēng)(難怪點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(y,x)關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)；

②保存了原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

③設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,aeA,beC,則f(a)=boL(b)=a

f-l[f(a)]=r'(b)=a,f[r'(b)]=f(a)=b

由反函數(shù)的性質(zhì)，可以快速的解出許多比較麻煩的題目，如

(04.上海春季高考)已知函數(shù)f(x)=log式±+2),貝IJ方程尸(x)=4的解、=.

X

8.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

(取值、作差、判正負(fù))

推斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：

(1)定義法：

依據(jù)定義，設(shè)隨意得X3X2,找出f(xJ,f(X2)之間的大小關(guān)系

可以變形為求/(、)—八々)的正負(fù)號(hào)或者也2與1的關(guān)系

王一馬f(x2)

(2)參照?qǐng)D象：

①若窗￡f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a,0)的對(duì)稱(chēng)區(qū)間具有相同的單調(diào)性；(特例:

奇函數(shù))

②若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a,0)的對(duì)稱(chēng)區(qū)間里具有相反的單調(diào)性。(特

例：偶函數(shù))

⑶利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：

①函數(shù)f(x)與f(x)+c(c是常數(shù))是同向改變的

②函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當(dāng)c>0時(shí)，它們是同向改變的；當(dāng)cVO時(shí)，它們是反向改變的。

③假如函數(shù)f1(x),f2(x)同向改變，則函數(shù)函(x)+f2(x)和它們同向改變;(函數(shù)相加)

④假如正值函數(shù)f1(x),f2(x)同向改變,則函數(shù)正(x)f2(x)和它們同向改變;假如負(fù)值函數(shù)數(shù)⑵與f2(x)

同向改變，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向改變；(函數(shù)相乘)

⑤函數(shù)f(x)與上在f(x)的同號(hào)區(qū)間里反向改變。

f(x)

⑥若函數(shù)u=0(x),x[a,B]與函數(shù)y=F(u),ue[6(a),?(B)]或uw[Q(B),6(a)]同向改變，

則在[a,B]上復(fù)合函數(shù)y=F[(t)(x)]是遞增的；若函數(shù)u=0(x),x[a,0]與函數(shù)y=F(u),u￡[cf(a),

Q(B)]或uW[Q(B),?(a)]反向改變，則在[a,B]上復(fù)合函數(shù)y=F[0(x)]是遞減的。(同增異減)

⑦若函數(shù)y=f(x)是嚴(yán)格單調(diào)的，則其反函數(shù)x=f-'(y)也是嚴(yán)格單調(diào)的，而且，它們的增減性相同。

f(gg(xf[g(Xf(x)+g(f(x)*g(

)))]X)X)都是

正數(shù)

增增增增增

增減減//

戒增減//

減減增減減

如：求丫=1。8](-*2+2*)的單調(diào)區(qū)間

2

(設(shè)u=-x?+2x,由u>0貝!j0<x<2

且logiuj,u=-(x-l)2+1,如圖：

當(dāng)xe(O,1］時(shí)，uT,又log|uJ,.,.yJ

2

當(dāng)xe［L2)時(shí)，uJ,又log〕uJ,，yT

2

....)

9.如何利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間(a,b)內(nèi)，若總有f(x)20則f(x)為增函數(shù)。(在個(gè)別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性)，反之也對(duì)，若r(x)40呢？

如：已知a>0,函數(shù)￡儀)=*3-。在［1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，貝如的最大值是()

A.0

B.1

C.2

D.3

(令f'(x)=3x2-a0

貝Ux<一行或x>

由已知f(x)在［1,+8)上為增函數(shù)，則《41，即a43

，a的最大值為3)

10.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))

若f(-x)=-f(x)總成立of(x)為奇函數(shù)=函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

若f(-x)=f(x)總成立of(x)為偶函數(shù)=函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

留意如下結(jié)論：

(1)在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函

數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

(2)若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn)，則f(0)=0。

如：若為奇函數(shù)‘貝恢?jǐn)?shù)”

(：f(x)為奇函數(shù)，xeR,又OeR,.?.f(0)=0

即骨產(chǎn)。,

a=1)

又如：f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，當(dāng)X6(0,1)時(shí)，f(x)=———，

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

9-x

(令X￡(-l,0),則一X￡(0,1),f(-x)=—~-

又f(x)為奇函數(shù)，...f(x)=-/—=一一J

4-+11+4

Txe(-l,0)

▽\4X+1x=0

乂f(0)=0,..f(x)=)、

2X

----XG(0,1)

11.推斷函數(shù)奇偶性的方法

一、定義域法

一個(gè)函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它是函數(shù)為奇(偶)函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義

域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

二、奇偶函數(shù)定義法

在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的前提下，計(jì)算/(-x),然后依據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義推斷其奇偶性.

這種方法可以做如下變形

f(x)+f(-x)=0奇函數(shù)

f(x)-f(-x)=0偶函數(shù)

界=1偶函數(shù)

f(-X)

獸=-1奇函數(shù)

f(-x)

三、復(fù)合函數(shù)奇偶性

f(g)g(x)f[g(xf(x)+g(f(x)*g(

)]X)X)

奇奇奇奇偶

奇偶偶非奇非奇

偶

偶奇偶非奇非奇

偶

偶偶偶偶偶

12.你熟識(shí)周期函數(shù)的定義

嗎？

(若存在實(shí)數(shù)T(TWO),在定義域內(nèi)總有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期

函數(shù)，T是一個(gè)周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),則

(答：f(x)是周期函數(shù)，T=2a為f(x)的一個(gè)周期)

我們?cè)谧鲱}的時(shí)候，常常會(huì)遇到這樣的狀況：告知你f(x)+f(x+t)=O,我們要立刻反應(yīng)過(guò)來(lái)，這時(shí)說(shuō)這個(gè)函

/(Ar)+/(x+Z)=0

數(shù)周期2t推導(dǎo)：/(x+r)+/(x+2/)=0=>/(x)=/(X+2，)

同時(shí)可能也會(huì)遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說(shuō)f(a-x)=f(a+x).其實(shí)這都是說(shuō)同樣一個(gè)意思：函數(shù)千(x)

關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸可以由括號(hào)內(nèi)的2個(gè)數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說(shuō)

f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)。

如：

又如：若/(x)圖象有兩條對(duì)稱(chēng)軸x=a,x=h

BP/(a+x)=/(a-x),f(b+x)=f(b-x)

/(x)=/(2a—x)

>=>/(2?-x)=/(2Z?-x)

f(x)=f(2b-x)

令1=2a-x,則2b-x=」+2b-2a,/(a=f(t+2b-2a)

即f(x)-f(x+2b-2a')

所以，函數(shù)”x)以216-a|為周期(因不知道a/的大小關(guān)系

為保守起見(jiàn)，我加了一個(gè)絕對(duì)值

13.你駕馭常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)聯(lián)想點(diǎn)(x,y),(-x,y)

f(x)與-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)聯(lián)想點(diǎn)(x,y),(x,-y)

f(x)與-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)聯(lián)想點(diǎn)(x,y),(-X,-y)

f(x)與fT(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)聯(lián)想點(diǎn)(x,y),(y,x)

f(x)與f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)聯(lián)想點(diǎn)(x,y),(2a-x,y)

f(x)與-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng)聯(lián)想點(diǎn)(x,y),(2a-x,0)

將y=f(x)圖象左移a(a>0)個(gè)單位)y=f(x+a)上移b(b>0)個(gè)單位)y=f(x+a)+b

右移a(a>0)個(gè)單位y=f(x-a)下移b(b>0)個(gè)單位y=f(x+a)-b

(這是書(shū)上的方法，雖然我從來(lái)不用，但可能大家接觸最多，我還是寫(xiě)出來(lái)吧。對(duì)于這種題目，其實(shí)根本

不用這么麻煩。你要推斷函數(shù)y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以干脆令y-b=O,x+a=O,畫(huà)出點(diǎn)的坐標(biāo)。看

點(diǎn)和原點(diǎn)的關(guān)系，就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。)

留意如下“翻折”變換：

f(x)——>|/")|把x軸下方的圖像翻到上面

f(x)——>/(|x|)把y軸右方的圖像翻到上面

如：f(x)=log2(x+1)

作出y=|log2(x+1)|及丫=log2|x+的圖象

y=log2x

14.你嫻熟駕馭常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

x=a

(1)一次函數(shù)：y=kx+b(kHO)(k為斜率，b為直線與y軸的交點(diǎn))

VL-

(2)反比例函數(shù)：y=—(kwO)推廣為y=b+——*/0)是中心0，缶，b)

的雙曲線。

(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aN0)=a(x+2)+”薩^圖象為拋物線

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(《，?聲

,對(duì)稱(chēng)軸

4ac—K-

開(kāi)口方向：3>0,向上，函數(shù)Ymin=-------

根的關(guān)系：x=—二--

2a

bc..\T

+X

玉2=__，玉X%2=—,1玉-X|=—

aa2\a\

二次函數(shù)的兒種表達(dá)形式：

f(x)=ax2+bx+c(一般式)

/(x)=Q(X-"?)2+〃(頂點(diǎn)式，(m,n)為頂點(diǎn)

/(x)=a(x-x1)(x-x2)(Xj,無(wú)2是方程的2個(gè)根)

/(x)=4(X-%])(1-/)+〃(函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(xp/?)(x2,/z)

應(yīng)用：①“三個(gè)二次”(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系——二次方程

ax2+bx+c=0,△>()時(shí)，兩根X1、x2為二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸

的兩個(gè)交點(diǎn)，也是二次不等式ax?+bx+c>0(v0)解集的端點(diǎn)值。

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。

區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸左邊(〃<-■—)fmax=fmin=f(n)

2a

區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸右邊(M>)/max=/(/?),/min=f(/n)

2a

區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸2邊(〃<<in)

2a

4cic—b~

fmin=------,fmax=max(/(w),/(?))

4a

也可以比較m,n和對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系，距離越遠(yuǎn)，值越大

(只討論a>0的情況)

③求區(qū)間定(動(dòng))，對(duì)稱(chēng)軸動(dòng)(定)的最值問(wèn)題。

④一元二次方程根的分布問(wèn)題。

A>0

如：二次方程ax?+bx+c=0的兩根都大于-上>>k

2a

f(k)>0

一根大于k,一根小于k<=>f(k)<0

A>0

bfl

在區(qū)間(m,n)內(nèi)有2根o2a

f(m)>0

在區(qū)間(m,n)內(nèi)有1根=/(，〃)/(〃)<0

(4)指數(shù)函數(shù)：y=a、(a>0,a71)

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,ar1)

由圖象記性質(zhì)！(留意底數(shù)的限定！)

y

y=ax(a>l)

(0<a<lYx>/$/y=logax(a>l)

/\\

/|(0<a<l)\

(6)“對(duì)勾函數(shù)"y=x+-(k>0)

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)分是什么？(均值不等式肯定要留意等號(hào)成立的條

件)

15.你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？

指數(shù)運(yùn)算：a°=l(a*O),a-P=4(awO)

ap

min

a11=(a>0),an=(a>0)

Vam

對(duì)數(shù)運(yùn)算:log?(MxN)=log?M+log”N(M>0,N>0)

bga￡=lOgaM—lOgaN,log,VKl=Log,M

Nn

對(duì)數(shù)恒等式：a,ogaX=x

對(duì)數(shù)換底公式：log”b="gf'nlogb"=—log?b

log(.a"m

,1

log〃x='；-----

log/

16.如何解抽象函數(shù)問(wèn)題？

(賦值法、結(jié)構(gòu)變換法)

如：⑴xeR,f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),證明f(x)為奇函數(shù)。

(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-X,....)

(2)xwR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數(shù)。

(先令x=y=-t=>f[(-t)(-t)]=f(t,t)

.*.f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

，f(T)=f(t)……)

(3)證明單調(diào)性：f(X2)=q(X2—xJ+X2]=……

(對(duì)于這種抽象函數(shù)的題目，其實(shí)簡(jiǎn)潔得都可以干脆用死記了

1'代丫=*,

2、令x=0或1來(lái)求出f(0)或f(1)

3、求奇偶性，令丫=—x；求單調(diào)性：令x+y=x.

幾類(lèi)常見(jiàn)的抽象函數(shù)

1.正比例函數(shù)型的抽象函數(shù)

f(x)=kx(A#=0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y)

2.易函數(shù)型的抽象函數(shù)

f(x)=x----------------f(xy)=f(x)f(y)；f(—)=^^~

y/(y)

3.指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)

f(x)=a-------------------f(x+y)=f(x)f(y)；f(x—y)=^^-

/(y)

4.對(duì)數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)

f(x)=Iogax(a>0且a學(xué)M)----f(x?力=f(x)+f(y)；f(—)=f(x)—f(y)

y

5.三角函數(shù)型的抽象函數(shù)

_/U)+/(y)

f(x)=tgxf(x+y)

尸(x)=cotx------------------------

例1已知函數(shù)尸(x)對(duì)隨意實(shí)數(shù)X、y均有升(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí)，Hx)>0,f(-1)

=一2求尸(x)在區(qū)間上的值域.

分析：先證明函數(shù)五(x)在R上是增函數(shù)(留意到｛3=f[(X2—%)+X1="XLM)+汽(*));

再依據(jù)區(qū)間求其值域.

例2已知函數(shù)五(x)對(duì)隨意實(shí)數(shù)*、y均有尸(x+力+2=f(%)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí)，Hx)>2,f(3)

=5,求不等式“才一2a—2)<3的解.

分析：先證明函數(shù)五(x)在R上是增函數(shù)(仿例1);再求出尸(1)=3；最終脫去函數(shù)符號(hào).

例3已知函數(shù)升(x)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x、y都有尸(孫)=f(x)f(y),且升(-1)=1,f(27)=9,當(dāng)

0WxV1時(shí)，f(x)。[0,1].

(1)推斷尸(x)的奇偶性；

(2)推斷尸(x)在[0,+8]上的單調(diào)性，并給出證明；

(3)若aNO且大(a+1)W?求a的取值范圍.

分析：(1)令"=一1;

(2)利用f(X,)="土?X?)=尸(±)fJ)；

*2

(3)0WaW2.

例4設(shè)函數(shù)尸(x)的定義域是(-8,+8),滿意條件：存在％羊至，使得F(x,)羊尸(也)；對(duì)任

何x和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求：

(1)f(0)；

⑵對(duì)隨意值x,推斷尸(x)值的符號(hào).

分析：(1)令X=y=0；(2)令y=x￥0.

例5是否存在函數(shù)五(x),使下列三個(gè)條件：①/(x)〉0,xGN；②尸(a+b)=尸(a)f(b),a、bG

N-,③尸(2)=4.同時(shí)成立？若存在，求出五(x)的解析式，若不存在，說(shuō)明理由.

分析：先猜出尸(*)=2'；再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

例6設(shè)尸(x)是定義在(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，滿意尸(x-P=尸(外+f(y),f(3)=1,

求

f(1)：

(2)若F(x)+f(x-8)W2,求x的取值范圍.

分析：⑴利用3=1X3；

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式.

例7設(shè)函數(shù)y=尸(x)的反函數(shù)是y=g(x).假如f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a),g

(b)是否正確，試說(shuō)明理由.

分析：設(shè)尸(a)=m,f(b)=n,則g(勿)=a,g(.ri')=b,

進(jìn)而m+n=尸(a)+尸(b)=f(ab)=f[g(m)g

例8已知函數(shù)尸(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿意以下三個(gè)條件：

①X、x2是定義域中的數(shù)時(shí)，有五(x—M)=/(3(2)+1；

②/(a)=-1(a>0,a是定義域中的一個(gè)數(shù))；

③當(dāng)0VxV2a時(shí)，f(.x)<0.

試問(wèn)：

(1)f(x)的奇偶性如何？說(shuō)明理由；

(2)在(0,4a)上，f(x)的單調(diào)性如何？說(shuō)明理由.

分析：⑴利用f[-(XLXD]=-f[(%—xD],判定五(*)是奇函數(shù)；

(3)先證明尸(x)在(0,2a)上是增函數(shù)，再證明其在(2a,4a)上也是增函數(shù).

對(duì)于抽象函數(shù)的解答題，雖然不行用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數(shù)問(wèn)題，

對(duì)應(yīng)的特殊模型不是我們熟識(shí)的基本初等函數(shù).因此，針對(duì)不同的函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)變通，去尋求特殊模型，

從而更好地解決抽象函數(shù)問(wèn)題.

例9已知函數(shù)f(x)(x=#0)滿意式(xy)=f(x)+f(y),

(1)求證：f(1)=f(-1)=0；

(2)求證：f(x)為偶函數(shù)；

(3)若升(*)在(0,+8)上是增函數(shù)，解不等式式(x)+f(x-1)W0.

2

分析：函數(shù)模型為：尸(x)=log』x|(a>0)

(1)先令x=y=1,再令x=y=—1；

(2)令V=-1;

(3)由F(x)為偶函數(shù)，貝I]f(x)=尸(|x|).

例10已知函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y滿意f(0)/0,f(x+v)=f(x)-f(y),且當(dāng)x<0時(shí)，f

(x)>1,求證：

(1)當(dāng)x>0時(shí)，0<尸(*)<1；

(2)尸(x)在x6R上是減函數(shù).

分析：(1)先令x=y=0得尸(0)=1,再令y=-x；

(3)受指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的啟發(fā)：

由f(x+y)=尸(x)f(y)可得f(x-y)=.，

f(y)

進(jìn)而由*VX2,有&2=尸(*—*，＞1.

練習(xí)題：

1.已知：f(x+y)=f(x)+f(y)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x、y都成立，貝lj()

(⑷f(wàn)(0)=0(B)f(0)=1

(C)f(0)=0或1(D)以上都不對(duì)

2.若對(duì)隨意實(shí)數(shù)x、y總有，(燈)=f3+尸(力，則下列各式中錯(cuò)誤的是()

(/)f(1)=0(B)f(-)=f(x)

(C)f(-)=f(x)-f(y)(D)f(x)=nf(x)

y

3.已知函數(shù)尸(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)X、y滿意：f(0)左0,r(x+v)=f(x)f(y),且當(dāng)xVO時(shí)，f(x)>

1,則當(dāng)x>0時(shí)，*x)的取值范圍是()

(⑷(1,+8)(B)(一8,1)

(C)(0,1)(D)(-1,+8)

4.函數(shù)/(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且對(duì)定義域內(nèi)不同的用、濟(jì)都有

_/Ui)-/U)

f(%-X2)2則”x)為()

1+/Ui)/U2)

3)奇函數(shù)非偶函數(shù)(B)偶函數(shù)非奇函數(shù)

(O既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(D)非奇非偶函數(shù)

5.已知不恒為零的函數(shù)f(x)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x、y滿意f(x+力+齊(x—v)=2"(x)+f(y)],則函數(shù)

尸(x)是()

(⑷奇函數(shù)非偶函數(shù)(B)偶函數(shù)非奇函數(shù)

(O既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(D)非奇非偶函數(shù)

參考答案：

1.A2.B3.C4.A5.B

函數(shù)典型考題

1.若函數(shù)/(x)=(加-1)1+(加一2)x+(〃J-7加+12)為偶函數(shù)，則加的值是(B)

A.1B.2C.3D.4

2.已知函數(shù)/(x)是定義域在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(一。，0)上單調(diào)遞減，求滿意

/(X2+2X+3)>/(—V—4x-5)的x的集合.

.解：?/(x)在R上為偶函數(shù)，在(-oo,0)上單調(diào)遞減

.?J(x)在(0,+oo)上為增函數(shù)又/(-X2-4X-5)=/(X2+4X+5)

x2+2x+3=(x+l)2+2>0,x2+4x+5=(x+2)2+1>0

由f(x2+2x+3)>f(x2+4x+5)得X2+2X+3>x2+4x+5

：.x<-l解集為.

3.若於)是偶函數(shù)，它在［0,+a>)上是減函數(shù)，且/(Igx)次1),則x的取值范圍是(C)

11,1

A.(―,1)B.(0,—).(1,+00)C.(―,10)D.(0,1)(10,+00)

4.若a、b是隨意實(shí)數(shù)，且〃>"則(D)

A.cr>h2B..<1C.Ig(a-b)>0D.^j<^J

5.設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且3"=4〃=6°,則下列正確的是(B)

⑷十~++⑻i-i+j(0i=i+j(D)?E+菅

6.對(duì)于函數(shù)/(犬)=改2+fex+(/?-l)(awO).

(I)當(dāng)。=1,/?=一2時(shí)，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；

(H)若對(duì)隨意實(shí)數(shù)b,函數(shù)/(x)恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

7.二次函數(shù)y=ox：+〃x+c中，a-c<0,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(C)

A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D無(wú)法確定

8.若函數(shù)/(x)=——狽一匕的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3,則函數(shù)g(x)=b/—的零點(diǎn)是⑴)

A.-1和一2B.1和2C.■!■和』D.和-1

2323

9.下面四個(gè)結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象肯定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象肯定通過(guò)原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱(chēng)；④既是奇函

數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)肯定是/(x)=0(xWR),其中正確命題的個(gè)數(shù)是(D)

A4B3C2D1

x2

10.已知函數(shù)f(x2-3)=lg———，

x-6

(l)f(x)的定義域；(2)推斷f(x)的奇偶性