備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量與復(fù)數(shù)

第五章平面向量與復(fù)數(shù)5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算1.通過對(duì)力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義.2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.3.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.4.通過實(shí)例分析，掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.理解兩個(gè)平面向量共線的含義.5.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.【教材梳理】1.向量的有關(guān)概念名稱定義說明向量在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量平面向量是自由向量有向線段具有方向的線段叫做有向線段，向量可以用有向線段表示，也可用字母a,b,c，…表示有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度向量的模向量AB的大小稱為向量AB的長度（或稱模），記作AB向量的模是數(shù)量零向量長度為0的向量叫做零向量，記作0單位向量長度等于1個(gè)單位長度的向量，叫做單位向量a是非零向量，則±aa平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量?jī)上蛄靠梢韵嗟纫部梢圆幌嗟?，但不能比較大小相反向量與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a0的相反向量仍是02.向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律（性質(zhì)）加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則交換律：a+b=b+a,并規(guī)定：a+0=0+a=a減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a-數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算λa是一個(gè)向量，其長度：λa=其方向：λ>0時(shí)，與a方向相同；λ<0時(shí)，與a方向相反；λ設(shè)λ，μ∈Rλμa=λ+μa=λa+b3.向量共線定理向量aa≠0與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ【常用結(jié)論】4.加法運(yùn)算的推廣（1）加法運(yùn)算的推廣：A1（2）向量三角不等式：a-b≤a±b≤a+b.兩向量不共線時(shí)，可由“5.線性運(yùn)算重要結(jié)論（1）若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP=（2）若G為△ABC的重心,則GA（3）若OA=λOB+μOCλ，μ為實(shí)數(shù)，則點(diǎn)A（4）如圖,△ABC中,BD=m,CD=n,則AD=nm+nAB+m1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同.(×)（2）a與b是否相等與a，b的方向無關(guān).(√)（3）零向量與任一向量平行.(√)（4）若向量AB與向量CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上.(×)（5）當(dāng)兩個(gè)向量a，b共線時(shí)，一定有b=λaλ∈2.（教材習(xí)題改編）下列說法正確的是(D)A.單位向量都相等 B.若a//b，則C.若a=b，則a=b D.若a[解析]解：對(duì)于A，單位向量的模長相等，但方向不一定相同，所以錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)a//b時(shí)，其模長a與b不一定相等對(duì)于C，當(dāng)a=b時(shí)，不一定有a=b，因?yàn)閍=b需a=b對(duì)于D，a=λbb≠0，則a//3.【多選題】（教材題改編）對(duì)于向量a,b有下列表示，其中向量a,b一定共線的有(ABC)A.a=2e,b=-2eC.a=4e1-25e[解析]解：對(duì)于A，a=-b對(duì)于B，a=-1對(duì)于C，a=4b.故A，B，C對(duì)于D，若a=λb，e1,e2故選ABC.4.（教材題改編）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，則AGA.38AB+34AD B.38[解析]解：由題意，AG=AE+EG考點(diǎn)一平面向量的基本概念例1（1）下列命題正確的是(B)A.任一向量與它的相反向量都不相等B.長度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量C.平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量D.若a≠b，則[解析]解：零向量與它的相反向量相等，A錯(cuò)；由相等向量的定義知，B正確；兩個(gè)向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四邊形ABCD中，AB//CD，且AB=CD，但AB≠CD，故C錯(cuò)；a≠（2）在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，則如圖所示的向量中，相等向量有(AA.1組 B.2組 C.3組 D.4組[解析]解：由相等向量的定義可知，題圖中只有一組向量相等，即CE=EA.【點(diǎn)撥】準(zhǔn)確理解向量的概念，請(qǐng)?zhí)貏e注意以下幾點(diǎn):①a//b，有a與b方向相同或相反兩種情形;②向量的模與數(shù)的絕對(duì)值有所不同，如a=b?a=±b;③零向量的方向是任意的，并不是沒有，零向量與任意向量平行;④對(duì)于任意非零向量a，aa是與a同向的單位向量，這也是求單位向量的方法;⑤向量平行，其所在直線不一定平行，兩向量還可能在一條直線上;⑥只要不改變向量變式1.（1）下列命題正確的是(D)A.若向量a//b，則a與bB.若向量a//b，b//cC.若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等D.若向量a=b，b=c[解析]解：對(duì)于A，向量a//b，不能得到a與b的方向相同，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，向量a//b，b//c，可能b=0，此時(shí)不能得到a//c，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C，兩個(gè)單位向量相互平行，可能方向相反，此時(shí)不能得到兩個(gè)向量相等，故C（2）在如圖所示的向量a,b,c,d,e中（小正方形的邊長為1），分別寫出滿足下列關(guān)系的向量：（Ⅰ）是共線向量的有a和d，e和b；（Ⅱ）方向相反的向量有a和d，b和e；（Ⅲ）模相等的向量有a,c,d..[解析]（Ⅰ）a//d，e//b，故a和d，e和b是共線向量.（Ⅱ）a和d，b和e是方向相反的向量.（Ⅲ）由勾股定理可得，模相等的向量有a,c,d.故填（Ⅰ）a和d，e和b；（Ⅱ）a和d，b和e；（Ⅲ）a,c考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算例2（1）[2022年新高考Ⅰ卷]在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA.記CA=m，CDA.3m-2n B.-2m+[解析]解：如圖，因?yàn)镃D=CA+AD=CA+12DB（2）如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則AB=(DA.AC-AD B.2AC-2AD[解析]解：因?yàn)镃，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以CD//AB，且AB=2CD，所以（3）[2023屆廣東高三上開學(xué)聯(lián)考]在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F分別滿足DE=12EC，BF=13FD，若AB=A.512a-34b B.1112[解析]解：因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，點(diǎn)E,F分別滿足DE=12EC所以EF=AF-AE=AB+BF-AD【點(diǎn)撥】進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算.變式2.（1）[2020年新高考Ⅱ卷]在△ABC中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則CB=(A.2CD+CA B.CD-2CA[解析]解：CB=CA+AB（2）【多選題】如圖，在梯形ABDC中，AB//CD，AB=2CD，AD與BC相交于點(diǎn)OA.AD-AC=1C.OA+2OD=[解析]解:對(duì)于A,AD-AC=CD對(duì)于B,AB+BC+CD對(duì)于C,△OCD∽△OBA，所以CDAB=ODOA=12對(duì)于D,OA=23DA=23（3）如圖，在平行四邊形ABCD中,AB=4FC，BE=2EC，AEA.16 B.-16 C.-1[解析]解：由題意可得，AE=AB+BE=AB+23BC=AB+2考點(diǎn)三向量共線定理及其應(yīng)用命題角度1向量共線問題例3[2022屆江西南昌月考]已知向量a,b不共線，若ka-b與a+2b共線，則實(shí)數(shù)A.-1 B.-12 C.1[解析]解：因?yàn)閗a-b與a+2b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)所以k=λ,2λ=-1【點(diǎn)撥】a//b?a=λbb≠0是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)，注意待定系數(shù)法和方程思想的應(yīng)用；若a與b不共線且λa=μb,則λ=μ=0.對(duì)于兩個(gè)向量共線定理（aa≠0與b共線?存在唯一實(shí)數(shù)λ使得b=λa）中條件“a≠0”的理解：①當(dāng)a=0時(shí)，a與任一向量b都是共線的；②當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，b=λa是不成立的，但變式3.已知向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線，但a+b與c共線，且b+c與a共線，則向量[解析]解：依題意，設(shè)a+b=mc，b+c=na，則有a+b-b+c=mc-na，即a-c=命題角度2三點(diǎn)共線問題例4設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)平面向量，已知PQ=a+kb，QR=2a-b.若P，QA.-12 B.12 C.-2[解析]解：若P，Q，R三點(diǎn)共線，則PQ→=λQR→?a【點(diǎn)撥】三點(diǎn)共線問題可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.變式4.設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)向量，已知BA=a+2b,BC=4aA.A，B，D三點(diǎn)共線 B.B，C，D三點(diǎn)共線C.A，B，C三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線[解析]解：因?yàn)锽A=a+2b，BC=4a-4b，CD=-a+2b，所以AC=AB+BC=3a-6b=-3-a+考點(diǎn)四向量共線性質(zhì)的應(yīng)用例5（1）已知PA=23PB+tPC，若A,B,CA.23 B.25 C.12[解析]解：因?yàn)镻A=23PB+tPC，且A，B，C三點(diǎn)共線，則23+t=1，解得t=13（2）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線與AB，AD所在直線分別交于點(diǎn)M，N，若AB=mAM，AN=nADm>A.22 B.1 C.22 D.[解析]解：因?yàn)锳O=12AB+12AD，又AB=mAM，AN=nAD，故可得AO=m2AM+12nAN，又O,M【點(diǎn)撥】①若OA=λOB+μOC（λ,μ為實(shí)數(shù)）,則A,B,C共線?λ+μ變式5.（1）[2023屆河南名校聯(lián)盟高三上9月聯(lián)考]已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D，滿足AD=mAB+2A.1 B.12 C.13 D.[解析]解：直接應(yīng)用性質(zhì)得m+2m=1?m=13.或者：因?yàn)镈是BC上任一點(diǎn)，所以存在唯一實(shí)數(shù)λ0≤因?yàn)锳D=mAB+2mAC，所以λ（2）點(diǎn)M為△ABC所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且M滿足：AM=13λAB+231-λAC，AC=3，A=π3[解析]解：設(shè)AD=13AB，AE因?yàn)镸滿足AM=13λAB+231-λAC,所以AM=λAD+(1因?yàn)辄c(diǎn)M的軌跡與直線AB，AC圍成封閉區(qū)域的面積為32，所以12AD?AEsinA=32，即12AD?2sinπ3=32【鞏固強(qiáng)化】1.給出下列命題,其中正確的為(B)A.兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量B.兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小C.λa=0（λ為實(shí)數(shù)），則D.λ,μ為實(shí)數(shù)，若λa=μb，則a[解析]解：因?yàn)閮蓚€(gè)向量終點(diǎn)相同，起點(diǎn)若不在一條直線上，則不共線，命題錯(cuò)誤；由于兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小，因此命題正確；若λa=0（λ為實(shí)數(shù)），則a也可以為0，因此命題錯(cuò)誤；若λ,μ為0，盡管有λa=μb，則a2.已知四邊形ABCD，O為任意一點(diǎn)，若OA-OB=OD-OC，那么四邊形A.正方形 B.平行四邊形 C.矩形 D.菱形[解析]解：因?yàn)镺A-OB=OD-OC，所以BA=CD，所以BA//CD，且3.D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量CD=(A.-BC+12BA B.-BC-[解析]解:如圖，CD=CB+BD4.已知向量a，b不共線，c=ka+bk∈R，dA.k=1且c與d同向 B.k=1且cC.k=-1且c與d同向 D.k=-1且c[解析]解：因?yàn)閏//d，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得c=λd，即ka+b=λa-b,所以k=λ，1=-λ，5.設(shè)a，b是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb”是“a+b=A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]解：存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb，說明向量a,b共線，則a,b同向或反向；a+b=a+b，則a,b同向.故“存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λ6.向量a,b,e1，e2，如圖所示，則a-A.2e1-4e2 B.-4[解析]解：如圖，連接向量a,b的終點(diǎn)并指向a的終點(diǎn)，于是得a-b，觀察圖形得a故選C.7.[2023屆湖北“宜荊荊恩”高三起點(diǎn)考試]在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，且BD=2DC，設(shè)AD=x[解析]解：由題意知D是BC邊上的點(diǎn)，且BD=2則AD=AB所以x-y=13-8.已知△OAB中，點(diǎn)D在線段OB上，且OD=2DB，延長BA到C，使BA=AC.（1）用a，b表示向量OC,DC;[答案]解：因?yàn)锳為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)A=12OB+而DC=OC（2）若向量OC與OA+kDC共線，求k[答案]由（1）得，OA+k因?yàn)镺C與OA+kDC共線，設(shè)即2a-根據(jù)平面向量基本定理，得2=解得k=3【綜合運(yùn)用】9.已知△ABC和點(diǎn)M滿足MA+MB+MC=0.若存在實(shí)數(shù)m使得A.1 B.12 C.13 D.[解析]解：由MA+MB+MC=0可得MA+MA+AB+MA+10.直角三角形ABC中，斜邊BC長為2，O是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OP=OA+12ABA.1 B.2 C.52 D.3[解析]解：如圖，取BC邊中點(diǎn)D，連接AD，則12(OP=OA+12AB+11.在△ABC中，D，E為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AD+AE=xABA.有最小值4 B.有最大值4 C.有最大值2 D.有最小值2[解析]解：設(shè)F為DE的中點(diǎn)，如圖所示.則AD+AE=2AF，所以2又因?yàn)锽,C,F三點(diǎn)共線，且F在線段BC上，所以x>0，y>0所以1x+1y=1x+12.已知A，B，C是不在同一直線上的三點(diǎn)，O是平面ABC內(nèi)一定點(diǎn)，P是平面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若OP-OA=λAB+12BC,λ∈0A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心[解析]解：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則OP-OA=λAB+12BC=λAB+BD，所以AP=λAD13.【多選題】已知△ABC的面積為3，在△ABC所在的平面內(nèi)有兩點(diǎn)P，Q，滿足PA+2PC=0，QA=2QBA.PB//CQ B.C.PA?PC>0[解析]解:由PA+2PC=0，QA=2QB，可知點(diǎn)P為AC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)Q為AB對(duì)于A，點(diǎn)P為AC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)B為AQ的中點(diǎn)，所以PB與CQ不平行，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，BP=BA+AP=BA對(duì)于C，，PA?PC=PAPC對(duì)于D，設(shè)△ABC的高為h，則△APQ的高為23h.S△ABC=12ABh=3，即AB【拓廣探索】14.我國古代人民早在幾千年前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.如圖，大正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若AB=a,AD=b，E為BF的中點(diǎn)，則A.45a+25b B.25[解析]解：設(shè)BE=m,則AE=BF=2BE=過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H則EH=2m25AH=2所以AH=45AB所以AE=AH另解：AE=AB+BE=AB+5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1.理解平面向量基本定理及其意義.2.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算.4.能用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件.【教材梳理】1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e2.平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示（1）平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.（2）線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示文字?jǐn)⑹龇?hào)表示加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和.若a=x1,y1，b減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差.若a=x1,y1，b兩點(diǎn)構(gòu)成的向量坐標(biāo)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).若Ax1,y1，Bx2,y2，則數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).若a=x,y，λ∈R（3）平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)a=x1,y1,b=x2,y2【常用結(jié)論】3.平面向量基本定理的推論（1）設(shè)a=λ1e1+λ2e2,b=λ3e1（2）若a與b不共線，且λa+μb（3）教材例1推論：①已知平面上點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，A，B是直線l上給定的兩點(diǎn)，則平面內(nèi)任意一點(diǎn)P在直線l上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)t，使得OP=1-tOA+tOB.特別地，當(dāng)t=②對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)O，P，A，B三點(diǎn)共線?存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使得OP=λOA+4.重要坐標(biāo)公式已知△ABC的頂點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2,Cx1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.(×)（2）若a，b不共線，且λ1a+μ1b=λ2（3）平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示.(√)（4）若a=x1,y1，b=x2（5）向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).(×)2.設(shè)e1，e2是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，則以下各組向量中不能作為基底的是(A.e1+2e2與e2+C.e1-2e2與4e2[解析]解：因?yàn)閑1，e2對(duì)于A，因?yàn)閑1+2e2對(duì)于B，因?yàn)閑2與e1對(duì)于C，因?yàn)閑1-2e2=-12對(duì)于D，因?yàn)閑1-e2與e13.（教材練習(xí)改編）已知點(diǎn)A-1,1，B1,2，C-2A.9,7 B.7,6 C.1[解析]解：依題意得AB=2,1，CD=5,4.（教材題改編）已知向量a=1,-2，b=-1,m，若A.1 B.-1 C.2 D.-[解析]解：由向量a=1,-2，b=-1,m，a//b考點(diǎn)一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例1設(shè)O0,0，A0,3，B6,0A.5 B.22 C.25 D.[解析]解：設(shè)Px,y，則BP=x-6,y，AP所以x-6=-2x,y=-則OP=2,2，OP【點(diǎn)撥】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧：①向量的坐標(biāo)運(yùn)算常建立在向量的線性運(yùn)算的基礎(chǔ)之上，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)考慮坐標(biāo)運(yùn)算；②解題過程中，常利用“向量相等，則其坐標(biāo)相同”這一原則，通過列方程（組）進(jìn)行求解.變式1.設(shè)點(diǎn)A-1,2，B2,3，C3,-1[解析]解：由題意，可得AB=3,1所以2AB-設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為x,y，則AD可得x+1=3所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為2,16.故填2考點(diǎn)二平面向量基本定理及其應(yīng)用例2（1）[2023屆河北衡水部分學(xué)校高三9月聯(lián)考]在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，且AE=3EC，若DE=λA.0 B.1 C.12 D.-[解析]解：因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以AD=1又因?yàn)锳E=3EC，所以AE=3則λ=-12,μ=14（2）已知AB與AC的夾角為90°，AB=2，AC=1，AM=λAB+μ[解析]解：根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A0,0，B0,2，C1,0，所以AB=0,2，AC=1,0，BC=1,-2.設(shè)Mx,y，則AM=x,【點(diǎn)撥】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量.選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來.變式2.（1）[2023屆浙江嘉興高三上9月測(cè)試]在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BE=2EC，CF=3FD，記AB=aA.-34a+13b B.3[解析]解：因?yàn)锽E=2EC，CF=3FD，所以EC=13BC,CF=3所以EF=EC+CF（2）如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量OA，OB，OC，其中OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，且OA=OB=1，OC=23[解析]解：（方法一）以λOA和μOB為鄰邊作平行四邊形OB1C因?yàn)镺A與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，所以∠B1OC=90°所以O(shè)B1=2，B1C=4，所以O(shè)（方法二）以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A1,0，C23cos30°,23由OC=λOA+μ得λ-12μ=3,32μ考點(diǎn)三共線向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用例3（1）設(shè)平面向量a=2,1，b=x,-2A.5 B.6 C.17 D.26[解析]解：由題意，2×-2-x=0，得x=-4（2）已知梯形ABCD，其中AB//CD，且DC=2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A1,2，B2,[解析]解：因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，DC=2AB，AB//CD，所以DC=2AB則DC=4AB=2所以4-x,2-所以4-x=2,2-y=-2,解得x=【點(diǎn)撥】?jī)善矫嫦蛄抗簿€的充要條件有兩種形式：①若a=x1,y1，b=x2,y2，則a//bb≠0變式3.（1）已知向量a=2,tanθ，b=1,-1A.2 B.-3 C.3 D.-[解析]解：由題意可得tanθ=-則tanπ4-θ（2）[2023屆廣西高三上開學(xué)考試]已知向量AB=7,6，BC=-3,m，AD=-1,2m[解析]解：AC=AB因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以AC//AD，則2m×4=-m+6思想方法·以數(shù)輔形在平面向量中的應(yīng)用典例已知P為邊長為2的正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則PC?PB+PDA.-1 B.-3 C.-12[解析]解：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)Px,y,則A0,0,B2,0,C2,2,D0,2，所以PC=2-x,【點(diǎn)撥】向量是溝通幾何和代數(shù)的橋梁，有垂直背景的試題中，直觀不易處理時(shí)，常可利用向量的正交分解解題，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想中的“以數(shù)輔形”.如條件中的圖形是矩形（正方形）、等腰（等邊）三角形、等腰或直角梯形等，因?yàn)榇藭r(shí)建系確定坐標(biāo)更為容易.與圓相關(guān)的問題則常建好系后利用圓的參數(shù)方程求解.但是要注意靈活應(yīng)用，不可把簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化.變式.[2020年北京卷]已知正方形ABCD的邊長為2，若點(diǎn)P滿足AP=12AB+AC，則PB?PD=-1[解析]解：分別以AB,AD為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，則A0,0，B2,0，C2,因?yàn)锳P=1所以P2,1，所以PB?PD=-2×0+1×-1=-【鞏固強(qiáng)化】1.下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是(B)A.a=1,2，b=0,C.a=3,2，b=9,[解析]解：在平面內(nèi)，根據(jù)向量基底的定義知，兩個(gè)向量不共線即可作為基底.故選B.2.已知向量a=-4,3，a+A.-3,1 B.3,-2 C.[解析]解：設(shè)b=m,n，因?yàn)閍=所以-4+3m=5,3故選B.3.已知點(diǎn)A3,2，B5,1，則與A.255,-55 B.-25[解析]解：因?yàn)锳3,2，B5,1,所以AB=2,-1，則AB4.若向量m與向量n=-2,1為共線向量，且m=35A.-6,3 B.6,-3 C.6,-3或-[解析]解：根據(jù)題意，設(shè)向量m=λ因?yàn)閙=35，即有解得λ=±3所以向量m的坐標(biāo)為6,-3或-6,5.（教材練習(xí)改編）如圖所示，平行四邊形ABCD中，BE=2EC，點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，AE=a,BF=A.34a+12b B.34[解析]解：AC=AE+EC6.[2021年全國乙卷]已知向量a=2,5,b=λ,4,[解析]解：由已知,a//b,則2×4=5λ,故7.已知兩點(diǎn)A1,0，B1,1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，且∠AOC=135°[解析]解：由∠AOC=135°知，點(diǎn)C在射線y=-xx<0上，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為a,-a，a<0，則有a,-a=-8.已知A-2,4，B3,-1，C-3,-4，設(shè)AB=a（1）3a+[答案]解：由已知，得a=5,-5，b=3a（2）滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)[答案]因?yàn)閍=m所以n-6m=（3）M，N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo).[答案]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)镃M=OM所以O(shè)M=3所以M的坐標(biāo)為0,20又CN=ON所以O(shè)N=-2所以N的坐標(biāo)為9,2，故MN【綜合運(yùn)用】9.已知三點(diǎn)Aa,0，B0,b，C2,2，其中a>0，b>A.2 B.4 C.6 D.8[解析]解：因?yàn)樗倪呅蜲ACB是平行四邊形，所以O(shè)A=BC，即aa=2,2-b=0,10.[2022江蘇八校聯(lián)盟第一次適應(yīng)性考試]【多選題】如圖所示，在4×4方格中，點(diǎn)O，A，B，C均為小正方形的頂點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(A.OB=OA+OCC.AC=OB-2[解析]解：設(shè)小方格邊長為1，由題意，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則可得O0,0，A-1,4，B3,5，C4,1，所以O(shè)A=-1,4,OB=3,511.已知在△ABC中，D為邊BC上的點(diǎn)，且BD=3DC，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，BE=mA.1 B.54 C.-2 D.[解析]解：BE=BD又BE=mAB+nAC，所以mAB+nAC=-78AB+38AC.12.已知單位向量OA，OB滿足OA?OB=0.若點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=60A.m+n=1 B.mn=1[解析]解：（方法一）由題意OA⊥OB，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB的方向分別為x軸，y軸的正向建立平面直角坐標(biāo)系，則OA=1,0,OB=0,1，OC=（方法二）設(shè)OC=rr≠0，則OC=12rOA+13.[2023屆河北邢臺(tái)高三上開學(xué)考試]如圖所示，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2AD=2CD=2CB=2，點(diǎn)PA.54 B.45 C.1316[解析]解：（方法一）AP=xAB+yAC+CD=x-（方法二）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A0,0,B2,0,C32,32,D設(shè)BP=λBC0≤λ≤1又AP=x所以2-12λ所以x2+y2=1-12λ【拓廣探索】14.[2022年天津卷]在△ABC中，CA=a,CB=b，D是AC的中點(diǎn)，CB=2BE，試用a,b表示DE為32b[解析]解：（方法一）DE=CE-CD=32b-12a，AB=CB（方法二）如圖所示，建立坐標(biāo)系.E0,0,B1,0,C3,0,Ax,y，DE⊥AB?x+32x-1+y22=0?x+12+y2=4故填32b-125.3平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用1.通過物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.2.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.3.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積,會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角.4.能用坐標(biāo)表示平面向量垂直的條件.5.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實(shí)際問題，體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用.【教材梳理】1.向量的數(shù)量積（1）向量數(shù)量積的定義①向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a,b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA=a,OB=b（如圖所示），則∠AOB=θ0≤θ②向量的平行與垂直：當(dāng)θ=0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ=π時(shí)，a與b反向；如果a與b的夾角是π2，我們說a與b③向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量abcosθ叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a?規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.（2）向量的投影①定義：如圖，設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量，AB=a,CD=b，作如下的變換：過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，則稱上述變換為向量a向向量b投影，A1②計(jì)算：設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量是acos（3）向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則①a?e=②a⊥b?③當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b=ab；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b=-ab.特別地，④a?b≤（4）向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律對(duì)于向量a,b,c和實(shí)數(shù)λ，有①a?b=②λa?b③a+b?（5）數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a=x1,y①a?b=x1x2+y1y2②a⊥b?③x1x2④設(shè)θ是a與b的夾角，則cosθ=a2.平面幾何中的向量方法（1）用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題;③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.（2）常用充要條件①G為△ABC重心的一個(gè)充要條件：GA+②O為△ABC外心的一個(gè)充要條件：OA=③P為△ABC垂心的一個(gè)充要條件：PA【常用結(jié)論】3.數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論（1）a±（2）a+（3）a2+b24.平面向量與平面幾何綜合的有關(guān)結(jié)論（1）若MA，MB為非零向量，則給出MA?MB=0，等價(jià)于已知MA⊥MB；給出MA?MB<0，等價(jià)于已知（2）給出λMAMA+MBMB=MP，等價(jià)于已知（3）在?ABCD中，給出AB+AD?AB-AD=0，等價(jià)于已知?1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.(√)（2）由a?b=0可得a=0（3）a?b=b?c且b（4）a?bc（5）若a?b>0，則a和b的夾角為銳角；若a?b<0，則a2.若a=2,1,b=2,-1,c=0[解析]解：a+b=4,0,所以a+3.（教材題改編）已知單位向量a,b的夾角為60°，ka-b與a垂直，則[解析]解：a?b=1×1×cos60°=12，ka-4.（教材題改編）一條河流的兩岸平行，一艘船從河岸邊的A處出發(fā)到河對(duì)岸.已知船在靜水中的速度v1的大小為v1=10m/s，水流速度v2的大小為v2A.θ=π3 B.θ=π2[解析]解：當(dāng)航線垂直于河岸時(shí)，航程最短.如圖，在△ABC中，AB=10,BC=2所以∠BAC∈0,π6考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的基本概念及運(yùn)算例1（1）[2022年全國甲卷]設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為13，且a=1，b=3[解析]解：由題意可得a?b=1×3×13=（2）在邊長為3的菱形ABCD中，∠DAB=π3，AM=2A.-172 B.-1 C.152[解析]解：DM?DB=AM【點(diǎn)撥】數(shù)量積a?b=abcosθ=x1x2變式1.（1）已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為π3，若向量b1=e1-2[解析]解：b1?b2=e（2）[2023屆廣東佛山禪城區(qū)高三上調(diào)研]已知△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60°，且A.52 B.72 C.8 D.[解析]解：因?yàn)锽M=13BC,AN=因?yàn)椤鰽BC中，AB=2,AC=3,∠A=考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題角度1求平面向量的模例2[2020年全國Ⅰ卷]設(shè)a,b為單位向量，且a+b=1,則[解析]解：因?yàn)閍,b為單位向量，所以a=b=1,所以a+b=a+b2=a2【點(diǎn)撥】求向量模的常用方法是利用公式a2=a2,即變式2.（1）[2023屆廣東廣州高三上8月測(cè)試]已知向量a，b滿足a=b=1，a?a[解析]解：a?a-b=32，所以a2-a?2a-b2=4a2-（2）[2022年全國乙卷]已知向量a，b滿足a=1，b=3，a-2A.-2 B.-1 C.1 D.[解析]解：因?yàn)閍-2b=a-2b2=命題角度2求平面向量的夾角例3[2020年全國Ⅲ卷]已知向量a，b滿足a=5，b=6，a?bA.-3135 B.-1935 C.17[解析]解：因?yàn)閍=5，b=6，a?a+b因此，cos?a,a【點(diǎn)撥】求兩向量a,b的夾角θ,通常采用公式cosθ=a變式3.[2022年新高考Ⅱ卷]已知向量a=3,4,b=1,0,c=A.-6 B.-5 C.5 D.[解析]解：c=3+t,4,cos?a,c?=cos?命題角度3判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系例4（1）[2020年全國Ⅱ卷]已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是(DA.a+2b B.2a+b[解析]解：由已知可得,a?b=abcos60°=1×1×12=12.對(duì)于A，因?yàn)閍+2b?b=（2）[2021年全國乙卷]已知向量a=1,3,b=3,4[解析]解：a-λb=1,3-λ3,故填35【點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)非零向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0，即：兩個(gè)非零向量a=x1,y1變式4.（1）設(shè)非零向量a，b滿足a+b=a-A.a⊥b B.a=b C.a[解析]解：因?yàn)閍+b=a-b，所以a+b2=（2）[2021年全國甲卷]已知向量a=3,1,b=1,0,c=[解析]解：因?yàn)閍=3,1,b=1,0,所以c=a+kb=3+k考點(diǎn)三平面向量與平面幾何例5【多選題】在△ABC中，下列命題為真命題的是(ABDA.O是△ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，且滿足OA?OB=OB?OC=B.O是△ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λAB+AC,λC.O是△ABC內(nèi)一定點(diǎn)，且OA+OB+D.若ABAB+ACAC?BC=0[解析]解：A中,OA?OB=OB?OC?OB?OA-OCB中,OP=OA+λAB+AC?OP-OA=λAB+AC?AP=λAB+ACC中,設(shè)BC的中點(diǎn)為D,由OA→+OB→+OC→=0,可得OA=-2OD,OD中,由ABAB+ACAC?BC=0可知∠BAC的平分線垂直于底邊BC，故△ABC是等腰三角形，由ABAB?AC【點(diǎn)撥】向量與平面幾何的綜合問題，往往要數(shù)形結(jié)合，借助平面幾何的知識(shí)解題.根據(jù)數(shù)量積求?；騾?shù)的值（范圍）問題的一般方法：①基底法;②坐標(biāo)法.變式5.【多選題】已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列正確的是(ABDA.若PA→+3PB→+2PCB.若PA→+PB→+PC→=C.若AB?AC>0D.若AP=13AB+23AC,則[解析]解：對(duì)于A，設(shè)AB的中點(diǎn)為D,BC的中點(diǎn)為E，因?yàn)镻A→+3PB→+2PC→=0,所以PA+PB=-2PB+PC,所以2PD=-4PE,即PD=2EP,對(duì)于B，設(shè)AB的中點(diǎn)為D,由PA→+PB→+PC→=0得,PA+PB=-PC=CP,又PA+PB=2PD,所以CP=2對(duì)于C，因?yàn)锳B?AC>0,所以AB與AC的夾角為銳角，即A為銳角，但此時(shí)B，C有可能是直角或鈍角，故無法判斷△ABC對(duì)于D，因?yàn)锳P=13AB+23AC,所以P為線段BC上靠近C的三等分點(diǎn)，即BP故選ABD.考點(diǎn)四交匯問題例6（1）已知圓x2+y2+4x-5=0的弦AB的中點(diǎn)為-1,1，直線[解析]解：設(shè)M-1,1因?yàn)閗MC=根據(jù)圓的性質(zhì)可知，kAB=-所以AB所在直線方程為y-1=-x+1，即x+y=0，聯(lián)立方程x2+令y=0可得PPA?PB=x1x（2）如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)航行到河對(duì)岸，船航行速度的大小為v1=10km/h,水流速度的大小為v2=4km/h,設(shè)v[解析]解：船垂直到達(dá)對(duì)岸，即v=v1+v2與v2垂直，即v1+v2?v2=0.所以v1【點(diǎn)撥】平面向量相關(guān)的交匯問題，主要體現(xiàn)在平面向量與其他數(shù)學(xué)知識(shí)交匯或在物理中的應(yīng)用.變式6.（1）【多選題】已知向量a=sinα,cosα，bA.若a//b，則B.若a⊥b，則C.若fα=a?D.a-b的最大值為[解析]解:對(duì)于A選項(xiàng)，若a//b，則2sinα-cosα=對(duì)于B選項(xiàng)，若a⊥b，則sinα+2cosα=對(duì)于C選項(xiàng)，fα=a?b=sinα+2cosα=5sinα+φ，其中tanφ=2對(duì)于D選項(xiàng)，a-b2=a2+b2-2a?b=1+5-2sinα（2）已知一個(gè)物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，則力FA.300J B.1002J C.[解析]解：W=F?思想方法·以形助數(shù)在平面向量中的應(yīng)用典例（1）[2021年新高考Ⅰ卷]【多選題】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1cosα,sinα，P2cosβ,-sinβA.OP1=OC.OA?OP3[解析]解：此題從“數(shù)”的角度，結(jié)合向量運(yùn)算、恒等變換等知識(shí)可解，但計(jì)算量不小，故結(jié)合各點(diǎn)參數(shù)形式坐標(biāo)，從“形”入手：把各點(diǎn)標(biāo)記在如圖的單位圓上，注意其中α與β可變.A顯然正確；B顯然不正確；C正確，因?yàn)榈仁絻蛇呄蛄康哪Ｏ嗟惹見A角相等；D不正確，如圖α+2β為鈍角，等式左正右負(fù)（2）設(shè)θ為兩個(gè)非零向量a,b的夾角，且θ=π6，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t，b+ta的最小值為A.14 B.12 C.2 D.[解析]解：（方法一）如圖，當(dāng)t變化時(shí)，ta起點(diǎn)為B，終點(diǎn)在l上運(yùn)動(dòng)，故b+ta最小值為OA=1（方法二）由題意可知，b+ta2=a2t2+2a?bt+b2，令gt=a2t2+2a?（3）已知a,b,e是平面向量,e是單位向量，若非零向量a與e的夾角為π3，向量b滿足b2-4e?b+A.3-1 B.3+1 C.2[解析]解：不妨設(shè)e=1,0,b=x,y，則由b2-4e?b+3【點(diǎn)撥】在平面向量的涉及最值范圍問題的考查中，常利用數(shù)形結(jié)合思想中的“以形助數(shù)”求解，主要是利用線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的幾何意義等解題.變式.（1）[2020年新高考Ⅰ卷]已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則AP?AB的取值范圍是(A.-2,6 B.-6,2[解析]解：（方法一）過P作PH⊥AB于H則AP?AB（方法二）如圖，作出該正六邊形，取中心為O,以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸,AE所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)檎呅蔚倪呴L為2,所以A0,0,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,y所以AP?AB易知xF<xC=xF=-所以-2<所以AP?AB的取值范圍是-2,（2）設(shè)向量a，b滿足a=2，a2=2a?bA.2 B.1 C.12 D.1[解析]解：（方法一）設(shè)a，b夾角為θ，易知bcosθ=1，如圖，C為OA中點(diǎn)，則由投影知點(diǎn)B在l（方法二）由題得a-b=a2+b2-2a?b=4+b2-4=b，因?yàn)閍2=2a?b，所以4=2×2×b（3）已知a，b是單位向量，a?b=0，若向量c滿足c-a-[解析]解：因?yàn)閍，b是單位向量，且a?b=0，不妨設(shè)a=1,0，b=0,1，c=x,y，則c-a-b=x-1【鞏固強(qiáng)化】1.設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得m=λn”是“m?n<A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]解：充分性顯然成立，但必要性不成立，如m與n不共線時(shí).故選A.2.已知向量a，b滿足a=1，a?b=-1A.4 B.3 C.2 D.0[解析]解：因?yàn)閍?2a3.[2023屆湖南長沙雅禮中學(xué)高三上月考]已知b=2a且a?a-b=0A.π6 B.π4 C.π3[解析]解：因?yàn)閎=2a且a?a-b=0，所以a2-a?b=0，即a?4.[2022屆重慶巴蜀中學(xué)高三月考]【多選題】已知向量a=x-4,2,A.當(dāng)a⊥b時(shí)，B.當(dāng)a//b時(shí)，C.當(dāng)t=2時(shí)，a在b上的投影向量為D.當(dāng)a與b的夾角為銳角時(shí)，t的取值范圍為4,+∞[解析]解：當(dāng)a⊥b時(shí)，-4×2+2當(dāng)a//b時(shí)，-4t-4=當(dāng)t=2時(shí)，設(shè)a,b的夾角為θ，則acosθa與b的夾角θ∈[0,π2)時(shí)，a?b=-8+2t>0,t>4,當(dāng)a=λbλ>05.[2023屆湖北重點(diǎn)高中高三10月聯(lián)考]已知向量a，b滿足a=5,25，a?b=6A.5 B.6 C.7 D.8[解析]解：因?yàn)閍=5,25，所以a=5+20=5.又a?b=66.[2021年新高考Ⅱ卷]已知向量a+b+c=0，a=1，[解析]解:由已知可得a+b+c2=a2+7.[2023屆湖北孝感部分學(xué)校高三聯(lián)考]在△ABC中，A=5π6，AB=3，AC=4[解析]解：依題意，可作圖如下.因?yàn)锳D=AB+BD=AB+3BC所以AB?AD=AB?-8.已知向量OA=2,-2,OB=4,1（1）求使AP?BP最小時(shí)點(diǎn)P[答案]解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,0可得AP=x-2,所以AP?BP當(dāng)x=3時(shí)，AP?BP取得最小值-3（2）若∠APB為鈍角，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍[答案]若∠APB為鈍角，則有PA?PB<0，且PA設(shè)Pm,0，則PA=2則2-m4-m由PA，PB共線，可得2-m=-24-m，解得m=【綜合運(yùn)用】9.[2020年全國Ⅲ卷]在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若AC?BC=1，則點(diǎn)CA.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線[解析]解：設(shè)AB=2aa>則A-a,0,Ba,0，設(shè)Cx,y，可得AC=x+a,y,BC=x-a10.已知向量a=cos2α,sinα，b=1,2sinα-1A.74 B.17 C.27[解析]解：a?b=cos2α+2sin2α-sinα=1-211.在△ABC中，向量AB與AC滿足ABAB+ACAC?BC=0，且A.非等腰直角三角形 B.等腰直角三角形C.等邊三角形 D.等腰非等邊三角形[解析]解：ABAB，ACBC分別為向量AB與AC因?yàn)锳BAB+ACAC?BC=0，所以角A的角平分線與BC由cosB=BABA?BCBC=所以C=B=π4所以△ABC是等腰直角三角形.故選12.【多選題】如圖,在△ABC中，BD=λBC,其中λ∈[0,1]A.當(dāng)λ=23時(shí)，AD=23AC+1C.當(dāng)λ=1時(shí)，△ABD的面積最大 D.當(dāng)λ=[解析]解：因?yàn)锽D=λBC，所以AD-AB=λAC-λAB,即AD=由AB?BD=AB?λBC=當(dāng)λ=1時(shí)，BD=BC,D與C重合，△當(dāng)λ=35時(shí)，AD=AB+BD=AB+故選ABC.13.[2023屆重慶高三上9月質(zhì)檢]寫出一個(gè)與向量a=1,-1的夾角為75°的向量b[解析]解：cos75°=cos45°+30°=cos45°cos30°-sin45°×sin【拓廣探索】14.[2022年北京卷]在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.P為△A.[-5,3] B.[-3,5[解析]解：依題意建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則C0,0，A3,因?yàn)镻C=1，所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)Pcosθ,sin所以PA=3-cosθ,-sinθ其中sinφ=35，cosφ=45.因?yàn)?1≤sin5.4復(fù)數(shù)1.通過方程的解,認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.【教材梳理】1.復(fù)數(shù)的概念概念定義復(fù)數(shù)把形如a+bia,b∈R的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi,其中復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合，即C={a復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di?a=c,b=復(fù)數(shù)分類復(fù)數(shù)z=a復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)共軛復(fù)數(shù)一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即如果z=a+bi（a,b∈R復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R,i為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的向量為OZ,則向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值，記作z或a+bi.即z=a+b2.復(fù)數(shù)的幾何意義為方便起見，我們常把復(fù)數(shù)z=a+bi說成點(diǎn)Z或說成向量OZ3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（1）運(yùn)算法則:設(shè)z1=a+①z1±z②z1z2③z1z2=（2）復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義加法復(fù)數(shù)z1+z2是以O(shè)Z1，OZ2減法復(fù)數(shù)z1-z2是從向量OZ2的終點(diǎn)指向向量（3）復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律:對(duì)任意z1,z2,z交換律z1+z結(jié)合律z1+z（4）復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律:對(duì)于任意z1,z2,z交換律z1結(jié)合律z1z2分配律z1z2【常用結(jié)論】4.1±i2=±2i5.i4n=1,i4n+1=i,i4n6.zz=z2=z21.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）方程x2+x+1（2）復(fù)數(shù)z=a+bia（3）兩個(gè)復(fù)數(shù)可以相等，因此兩個(gè)復(fù)數(shù)可以比較大小.(×)（4）原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).(√)（5）復(fù)數(shù)z的模為5,則復(fù)數(shù)2+z的模為7.(2.（教材題改編）設(shè)m∈R，若m2+m-[解析]解：因?yàn)閙2+m-2+m2-1i3.（教材題改編）如圖在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,-2+i,0A.3+i B.3-i C.1-[解析]解：因?yàn)镺C=OA+OB，所以O(shè)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i-2+i=-14.（教材題改編）4+2iA.-3-i B.-3+i C.[解析]解：4+2i1+i考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念例1（1）[2023屆遼寧六校高三上期初]【多選題】已知復(fù)數(shù)z=-10i2A.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限B.復(fù)數(shù)z的虛部為-4C.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z=D.復(fù)數(shù)z的模z=[解析]解：z=-復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故A錯(cuò)誤.復(fù)數(shù)z的虛部為-4，故B正確復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z=-2+4iz=-22+故選BD.（2）【多選題】下列命題不正確的是(BCD)A.若z=m+nim,n∈RB.若z1-z2C.x+D.若實(shí)數(shù)a與ai[解析]解：A顯然正確；對(duì)于B，當(dāng)z1=1,z2=對(duì)于C，只有當(dāng)x,y∈R對(duì)于D，若a=0,則0?i=0【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)問題標(biāo)準(zhǔn)化、實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法.復(fù)數(shù)概念中應(yīng)注意的幾點(diǎn)：①對(duì)于復(fù)數(shù)m+ni，如果m，n∈C（或沒有明確界定m,n∈R）,則不可想當(dāng)然地判定m，n∈R;②易誤認(rèn)為y軸上的點(diǎn)與純虛數(shù)一一對(duì)應(yīng)（注意原點(diǎn)除外）變式1.（1）【多選題】已知i為虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=2i2+iA.復(fù)數(shù)z的虛部是45i B.C.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z=25-45[解析]解：z=2復(fù)數(shù)z的虛部是45,故A錯(cuò)誤z=252+復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z=25-4復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是25,45,在第一象限,故D（2）【多選題】已知z為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是(ABD)A.若z=z，則zB.若z2<0，則C.若z+1=z-D.“z2∈R”是“z∈R[解析]解：設(shè)z=a+bia,b∈R，則z=a-bi，若z=z，則b=0,則z為實(shí)數(shù)，A正確；z2=a2-b2+2abi<0，則ab=0且a2-b2<0，所以考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義例2（1）在復(fù)平面內(nèi)，若z=m21+i-m4+i-[解析]解：因?yàn)閦=m2-4m2-4m<0,m2（2）[2020年全國Ⅱ卷]設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1=z2=2[解析]解：（方法一）如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1，Z2，OP=OZ1+OZ2，由已知OP=3+1=2=OZ1（方法二）設(shè)z1=a+bia∈R,b∈R，z2=c+dic∈R,d∈R，所以z【點(diǎn)撥】①復(fù)數(shù)的兩種幾何意義：一是復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Za,b一一對(duì)應(yīng);二是復(fù)數(shù)z=a+bi與平面向量OZ一一對(duì)應(yīng)，其中a,b∈R.②由幾何意義可知z可表示復(fù)數(shù)變式2.（1）[2021年新高考Ⅱ卷]在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)2-i1-3A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析]解：因?yàn)?-i1-3i=2-i1+（2）若復(fù)數(shù)z滿足1<z<2，則在復(fù)平面內(nèi)，zA.π B.2π C.3π D.[解析]解：由題意得復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是如圖所示的圓環(huán)內(nèi)，小圓的半徑r=1，大圓的半徑R=2，所以圓環(huán)的面積（3）若z∈C，且z+2-2i=A.2 B.3 C.4 D.5[解析]解：設(shè)z=x+yix,y∈R，則z+2-2i=x+2+y-2i=1考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的運(yùn)算例3（1）[2023屆廣東廣州天河區(qū)高三一模]已知復(fù)數(shù)z=2-i1+i，則A.-32 B.-32i C.[解析]解：因?yàn)閦=2所以z=12+32i，則z（2）若復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)z滿足z=3，z+z=2[解析]解：設(shè)z=a+bia,b∈R所以a2+b2=3（3）i是虛數(shù)單位，計(jì)算2i-21[解析]解：因?yàn)?i-11-i2=2i-1=-i+【點(diǎn)撥】①復(fù)數(shù)的計(jì)算除了掌握基本運(yùn)算法則外，最好熟記一些常見算式運(yùn)算的結(jié)果，這對(duì)提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確度都有很大的幫助,詳見本節(jié)【常用結(jié)論】.②除法的關(guān)鍵是“分母實(shí)數(shù)化”.變式3.（1）[2023屆湖南部分學(xué)校高三入學(xué)摸底]若復(fù)數(shù)i4+2iz=A.-2-i B.-2+i C.[解析]解：由題意，可得z=4+3ii4+（2）已知復(fù)數(shù)z滿足z+2z=2+i[解析]解：設(shè)z=a+bia+b所以a+b所以a+2a2+b2所以z=02+12=1或z（3）1+3+i1[解析]解：1+3+i1+2i5=[1+3+i1-2i【鞏固強(qiáng)化】1.[2022年北京卷]若復(fù)數(shù)z滿足iz=3-4iA.1 B.5 C.7 D.25[解析]解：由題意,z=3-4ii=2.[2022年全國乙卷]已知z=1-2i，且z+az+b=A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a[解析]解：z=1+2i所以1+a+b故選A.3.【多選題】若復(fù)數(shù)z滿足zz+2i=A.z的實(shí)部為3 B.z的虛部為1C.zz=10 D.[解析]解：設(shè)z=a+bia,b∈R，因?yàn)閦z+2i=8+6i，所以zz+2iz=8+6i，所以a2+b2-2b+2ai=84.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-i=1，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為x,A.x+12+yC.x2+y-[解析]解：由題意知z=x+yi,則z-i=x+y5.[2023屆江蘇蘇州八校高三上適應(yīng)性檢測(cè)]若1-iz=i2022，其中iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析]解：z=i2022故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為-12,126.已知復(fù)數(shù)z=4+ai1+i，且z[解析]解：因?yàn)閦=4所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為4+a2，a-42又a為整數(shù)，a可取-3，-2，-1，0，1，2，故填0（答案不唯一）.7.關(guān)于x的方程x2-2i-1x[答案]112[解析]解：設(shè)實(shí)根為x0，則x0即x02由復(fù)數(shù)相等的充要條件得x0所以m=-13x028.已知復(fù)數(shù)z1=a2-2-2a+4i，z（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求z1z[答案]解：z1-z2=a2-所以z1=2-8i，（2）若z+1=z-i[答案]z=z1-z2=a2-a-2+a2-2a-3i，設(shè)z=x+yi當(dāng)a=-1時(shí)，z=0當(dāng)a=52時(shí)，z=7【綜合運(yùn)用】9.[2023屆廣西桂林高三上入學(xué)檢測(cè)]已知復(fù)數(shù)z=a+bia,b∈A.3 B.2 C.5 D.3[解析]解：因?yàn)?023=4×所以ai2023+2=-ai2-i10.若復(fù)數(shù)z滿足z-1-i=1，則A.4 B.5 C.6 D.41[解析]解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足z-1-i=1，所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在圓x-z-4-5i的幾何意義是點(diǎn)P到點(diǎn)4故選C.11.設(shè)A，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z=1tanB-A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析]解：因?yàn)锳，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以A+B1tanB-tanA=cos12.【多選題】設(shè)z1,z2,z3為復(fù)數(shù)，z1≠A.若z2=z3，則z2=±z3C.若z2=z3，則z1z2=[解析]解:由復(fù)數(shù)模的概念可知，z2=z3不能得到z2=±z3，如由z1z2=z1z3可得z1z2-z因?yàn)閦1z2=z1z2，z1z3=z1取z1=1+i,z2=1-i故選BC.13.已知z1=z2=z[解析]解：（方法一）由復(fù)數(shù)幾何意義結(jié)合題中等式可知，原點(diǎn)、z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.從而易得z（方法二）設(shè)z1=cosθ+isinθ則z1=2-則2cosθ所以z1=2+故填3.【拓廣探索】14.[2023屆云南三校高三上聯(lián)考]【多選題】已知eix=cosx+isinx（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，A.復(fù)數(shù)eπ2B.復(fù)數(shù)e3C.復(fù)數(shù)eπ3iD.復(fù)數(shù)eiθ[解析]解：對(duì)于A，eπ2i=cosπ2+isinπ對(duì)于B，e3i=cos3+isin3，因?yàn)棣?<3<π，所以cos3對(duì)于C，eπ3i=cosπ3+isinπ3=1對(duì)于D，eiθ=cosθ+isin由于θ∈[0,π]，所以-1≤cos故復(fù)數(shù)eiθθ∈[0,π]故選ABD.時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.AB+PC+BA-A.PQ B.QP C.BQ D.CQ[解析]解：AB+PC+BA2.[2021年浙江卷]已知a∈R,(1+ai)i=3+i（iA.-1 B.1 C.-3 D.[解析]解：因?yàn)?1+ai)i=3+i,所以i+ai2=3+i3.[2023屆湖湘名校高三上9月聯(lián)考]已知平面四邊形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，AC?AD=10,AE=4A.26 B.6 C.22 D.[解析]解：在平面四邊形ABCD中，AC?AD=AE+EC?AE+ED=AE2-EC24.[2023屆山東高三10月聯(lián)考]向量a=1,3，b=（3x-1,x+1），c=5,7A.2 B.52 C.3 D.7[解析]解：由題意，得a+b=3x因?yàn)閍+b//a+c，所以30x=c=m即m+2n=5,3m+25.已知向量a=-1,1,b=1,m,若向量-a與A.3 B.1 C.-1 D.-[解析]解：由題意得，-a=1,-1所以-a=2,所以cosπ4=-a?b-6.[2023屆湖北高三上8月聯(lián)考]在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，則CF=(DA.12AD-34AB B.-1[解析]解：因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，所以CE=-12AD所以CF=CE+EF7.如圖，在△ABC中，AN=23NC，P是BN上一點(diǎn)，若AP=tABA.23 B.25 C.16[解析]解：（方法一）利用B,P,N三點(diǎn)共線，AC=52AN,則AP=tAB+56（方法二）設(shè)BP=mBN,由題意及圖知AP=AB+BP=AB+mBN=AB+mAN-AB=m8.[2023屆湖南岳陽高三上適應(yīng)性考試]已知面積為6的Rt△ABC中，P,Q為斜邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)