人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)必修1(第一冊)學(xué)案：4. 5. 3 函數(shù)模型的應(yīng)用

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能利用已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題.2.能自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題.

3.了解建立擬合函數(shù)模型的步驟，并了解檢驗(yàn)和調(diào)整的必要性.

知識梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

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知識點(diǎn)一幾類已知函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)『解析』式

一次函數(shù)模型y（x）=Qx+優(yōu)b為常數(shù),〃W0）

k

反比例函數(shù)模型Ax）=~+b（k,6為常數(shù)且左WO）

二次函數(shù)模型J[x）=ax2-\-bx-\-c（a,b,c為常數(shù)，QWO）

指數(shù)型函數(shù)模型“x）=Z?0r+c（〃，b,c為常數(shù)，6W0,〃>0且aWl）

對數(shù)型函數(shù)模型fix）=b\ogax+c（afb,c為常數(shù)，〃>0且

幕函數(shù)型模型火x）=〃P+仇4,b為常數(shù)，〃W0）

知識點(diǎn)二應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程

1.審題一弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；

2.建模將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相

應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

3.求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型；

4.還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題.

■思考辨析判斷正誤

1.在選擇實(shí)際問題的函數(shù)模型時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.（X）

2.利用函數(shù)模型求實(shí)際應(yīng)用問題的最值時，要特別注意取得最值時的自變量與實(shí)際意義是否

相符.（J）

3.用函數(shù)模型預(yù)測的結(jié)果和實(shí)際結(jié)果必須相等，否則函數(shù)模型就無存在意義了.（X）

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

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一、指數(shù)型函數(shù)模型

例1目前某縣有10。萬人，經(jīng)過x年后為y萬人.如果年平均增長率是1.2%,請回答下列

問題：（已知：1.1267,1.012“"1.1402,lgl.2?0.079,lgl.012?0.005）

⑴寫出y關(guān)于x的函數(shù)『解析』式；

(2)計算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；

⑶計算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(精確到1年).

解(1)當(dāng)x=l時，y=100+100X1.2%=100(1+1.2%)；

當(dāng)x=2時，y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)X1.2%=100(1+1.2%)2；

當(dāng)x=3時，y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2X1.2%=100(1+1.2%)3；

故y關(guān)于x的函數(shù)『解析』式為y=100(l+1.2%)x(xeN*).

(2)當(dāng)元=10時，100X(1+1.2%)10=100X1.01210^112.7.

故10年后該縣約有112.7萬人.

⑶設(shè)x年后該縣的人口總數(shù)為120萬，

BP100X(1+1.2%/=120,

we,12°“

解傳X=k>gL012mJ—16.

故大約16年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬.

反思感悟在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復(fù)利、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)

型函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸閥=N(l+p)，(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的

形式.

跟蹤訓(xùn)練1一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g,按每年10%衰減.(已知：1g0.5^0.3010,

lg0.9^0.0458)

⑴求t年后，這種射放性元素的質(zhì)量co的表達(dá)式；

(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期(結(jié)果精確到0.1).

解(1)最初的質(zhì)量為500g.

經(jīng)過1年，?=500(1-10%)=500X0.9；

經(jīng)過2年，0=500X0.92；

所以，年后，o=500X09.

⑵由題意得500X09=250,即

09=0.5,兩邊取以10為底的對數(shù)，得

lg09=lg0.5,即Mg0.9=lg0.5,

所以片黑"66

即這種放射性元素的半衰期為6.6年.

二、對數(shù)型函數(shù)模型

例2我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕

子的飛行速度可以表示為函數(shù)O=51og24,單位是m/s,其中。表示燕子的耗氧量.

(1)計算，當(dāng)燕子靜止時的耗氧量是多少個單位?

(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？

解(1)由題意知，當(dāng)燕子靜止時，它的速度。=0,代入題中公式，可得0=51og2&,解得。

=10個單位.

QQ

(2)將耗氧量0=80代入題中公式，得u=51og2j^=51og28=15(in/s).

反思感悟有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)關(guān)系式，要求根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)

關(guān)系式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入關(guān)系式求值，然后根據(jù)值回答其

實(shí)際意義.

跟蹤訓(xùn)練2“學(xué)習(xí)曲線”可以用來描述學(xué)習(xí)某一任務(wù)的速度，假設(shè)函數(shù)t=-1441g(l—溫

中，f表示達(dá)到某一英文打字水平所需的學(xué)習(xí)時間，N表示每分鐘打出的字?jǐn)?shù).則當(dāng)N=40

時，t=.(已知lg5七0.699,lg3?=0.477)

『答案』36.72

『解析』當(dāng)N=40時，t=-1441g(l=-]441g1=-144(lg5-21g3)?36.72.

三、建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題

例3某紀(jì)念章從2019年1月6日起開始上市.通過市場調(diào)查，得到該紀(jì)念章每枚的市場價

M單位：元)與上市時間x(單位：天)的數(shù)據(jù)如下：

上市時間X天41036

市場價y元905190

(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)結(jié)合散點(diǎn)圖，從下列函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場價y與

上市時間x的變化關(guān)系并說明理由：@y=ax+b；?y=ax2+bx+c；③y=alogfrX；

(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格.

解(1),.,隨著時間x的增加，y的值先減后增，而所給的三個函數(shù)中y=ax+b和y=alog成

顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，

/.用函數(shù)'="2+法+0描述該紀(jì)念章的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系.

(2)把點(diǎn)(4,90),(10,51),(36,90)分別代入〉=?2+云+。中，

r1

16a+4Z?+c=90,〃=不

得|100Q+10A+C=51,解得《[八

b——10,

」296〃+36匕+。=90,(

.??)=*—10x+126="。-20)2+26.

???當(dāng)x=20時，y有最小值26.

故該紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)為20天，最低的價格為26元.

反思感悟建立函數(shù)模型應(yīng)遵循的三個原則

(1)簡化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡化，抓主要因素，主要變量，盡量建立較低階、

較簡便的模型.

(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正

確結(jié)論.

(3)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，

能回到具體問題中解決問題.

跟蹤訓(xùn)練3蘆薈是一種經(jīng)濟(jì)價值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又

可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占有很大的市場.某人準(zhǔn)備進(jìn)軍蘆薈市場，栽培蘆

薈，為了了解行情，進(jìn)行市場調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本。(單位：元/10kg)與上

市時間f(單位：天)的數(shù)據(jù)情況如表：

t50110250

Q150108150

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間f的變化關(guān)系:

Q=at-\-b,Q=at--\-bt-\-c,Q=bt,Q—aiogbt,并說明理由；

(2)利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時的上市天數(shù)及最低種植成本.

解(1)由所提供的數(shù)據(jù)可知，刻畫蘆薈種植成本。與上市時間f的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是

常數(shù)函數(shù)，若用函數(shù)。=m+b,Q=a-bt,Q=alog〃中的任意一個來反映時都應(yīng)有“W0,且

上述三個函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不符合，所以應(yīng)選用二次函數(shù)。=d+

從+c進(jìn)行描述.將表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入函數(shù)。=aP+R+c,可得：

'150=2500a+506+c,

<108=12100a+1106+c,

,150=62500a+250b+c,

.小

解傳”―麗1，b,~~23'c~4~25

所以，刻畫蘆薈種植成本。與上市時間f的變化關(guān)系的函數(shù)。=念1》—今3+寫425.

_3

—2

(2)當(dāng)/=-----r=150(天)時，蘆薈種植成本最低為

2X200

13425

Q=^X1502-TX150+-^-=100(%/10kg).

4UU乙乙

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

1.一輛汽車在某段路途中的行駛路程S關(guān)于時間/變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應(yīng)的

函數(shù)模型是（）

A.分段函數(shù)B.二次函數(shù)

C.指數(shù)型函數(shù)D.對數(shù)型函數(shù)

考點(diǎn)函數(shù)擬合問題

題點(diǎn)函數(shù)擬合問題

『答案』A

2.某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如下表:

X123???

…

y138

則下面的函數(shù)關(guān)系式中，擬合效果最好的是（）

A.y=2x—1B.y=x?1

C.y=2x~lD.y=1.5N—2.5X+2

考點(diǎn)函數(shù)擬合問題

題點(diǎn)函數(shù)擬合問題

『答案』D

3.國內(nèi)郵寄1000g以內(nèi)的包裹的郵資標(biāo)準(zhǔn)如下表：

運(yùn)送距離x（km）04W500500〈尤W10001000<xW15001500<x^2000…

郵資y（元）5.006.007.008.00…

如果某人在西安要郵寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他應(yīng)付的郵資是（）

A.5.00元B.6.00元C.7.00元D.8.00元

『答案』C

4.據(jù)統(tǒng)計，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴