第01講 菱形的性質(zhì)（原卷版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（9年級北師大版）

第01講菱形的性質(zhì)1.理解菱形的概念.2.掌握菱形的性質(zhì)定理一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點(diǎn)：菱形的定義的兩個要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件.二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點(diǎn)就是對稱中心.要點(diǎn)：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積由兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題.考點(diǎn)一：菱形的性質(zhì)例1．關(guān)于菱形，下列說法錯誤的是（）A．對角線垂直 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．對角線互相平分例2．關(guān)于菱形一定具有的性質(zhì)，下列說法錯誤的是（

）A．對角線互相平分B．對角線互相垂直C．鄰邊相等 D．對角線相等例3．下列性質(zhì)中，菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）對邊平行且相等 B．對角線互相平分 C．每條對角線平分一組對角 D．對角互補(bǔ)考點(diǎn)二：利用菱形的性質(zhì)求角度例4．如圖，菱形中，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例5．如圖，在菱形中，對角線、相交于點(diǎn)O，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例6．如圖所示，在菱形中，對角線與交于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，則(

)A． B． C． D．例7．如圖，在菱形中，，點(diǎn)E在上，若，則（

）A． B． C． D．例8．如圖，菱形，,點(diǎn)是對角線上一點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．考點(diǎn)三：利用菱形的性質(zhì)求長度例9．如圖，在菱形中，，，則菱形的周長是（

）A．10 B．15 C．20 D．30例10．如圖，在菱形中，周長為16，，則的長等于（

）A． B．4 C． D．2例11．如圖，在菱形中，，，，垂足為點(diǎn)H，則的長為（

）A．3 B．4 C． D．5例12．如圖，菱形的邊長為10，，則點(diǎn)到的距離等于（）A．5 B．6 C．8 D．1例13．在菱形中，若，周長為16，則這個菱形的兩條對角線長分別為（

）A．2， B．4， C．4，4 D．，考點(diǎn)四：利用菱形的性質(zhì)求面積例14．若菱形形的一條對角線長，另一條對角線，則它的面積是_____________．例15．菱形的周長是，一個內(nèi)角為，則菱形的面積為________．例16．如圖，在菱形中，對角線，相交于點(diǎn)，，，過作的平行線交的延長線于點(diǎn)，則的面積為_____________．例17．如圖，四邊形是菱形，是兩條對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當(dāng)菱形的兩條對角線的長分別為5和12時，則陰影部分的面積為_____．考點(diǎn)五：利用菱形的性質(zhì)求坐標(biāo)例18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的四個頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，且菱形邊長為2，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例19．如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，菱形的對角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)，則，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．點(diǎn)），點(diǎn) B．點(diǎn)，點(diǎn)C．點(diǎn)，點(diǎn) D．點(diǎn)，點(diǎn)）考點(diǎn)六：利用菱形的性質(zhì)證明例20．如圖，點(diǎn)，分別在菱形的邊，上，且．求證：．例21．如圖所示，在菱形中，對角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作對角線的垂線交的延長線于點(diǎn)，求證：四邊形是平行四邊形例22．如圖，菱形中，E是對角線上的一點(diǎn)，連接、，求證：．例23．如圖，已知菱形的對角線、相交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求菱形的面積．一、單選題1．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中錯誤的是(

)A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC2．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將菱形紙片沿著線段剪成兩個全等的圖形，則的度數(shù)是（

）A．40° B．60° C．80° D．100°3．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，連接CE交對角線BD于點(diǎn)F．若∠DEF＝∠DFE，則這個菱形的面積為（）A．16 B．6 C．12 D．304．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是菱形，，點(diǎn)是中點(diǎn)，是對角線上一點(diǎn)，且，則的值是（

）A．3 B． C． D．5．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．二、填空題6．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）菱形中，對角線，，則菱形的邊長為____________．7．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的邊長為2，，對角線與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，則的長為_________．8．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=80°，延長BC到E，在∠DCE內(nèi)作射錢CM，使得∠ECM=30°，過點(diǎn)D作DF⊥CM，垂足為F．若DF=，則BD的長為______（結(jié)果保留很號）．一、單選題1．菱形不具備的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．對角線一定相等 C．對角線平分對角 D．是中心對稱圖形2．如圖，已知菱形的兩條對角線與長分別是和，則這個菱形的面積是（

）A． B． C． D．3．如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，則菱形ABCD的面積是（）A．18 B．18 C．36 D．364．如圖，菱形的邊長為2，，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．如圖，在菱形中，E、F分別是、的中點(diǎn)，若，則菱形的周長為（

）A．4 B．8 C．16 D．206．如圖，菱形中，，點(diǎn)E、F分別在邊、上，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．如圖，菱形的對角線相交于點(diǎn)O．E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，若，則菱形的周長為（）A．8 B．16 C．8 D．168．如圖，菱形的對角線交于點(diǎn)O，交的延長線于E，，則的面積為（

）A．11 B．12 C．14 D．159．如圖，菱形的兩條對角線交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，若，則的長是（

）A． B． C． D．410．如圖，在菱形中，，，點(diǎn)P是菱形內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．二、填空題11．如果一個菱形的一條邊長為，那么這個菱形的周長為_________．12．如圖，在菱形中，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交對角線于點(diǎn)F，點(diǎn)G為的中點(diǎn)．若，則_______°．13．菱形的對角線，則菱形的高為_______．14．如圖，菱形的對角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，，則菱形的面積為______．15．如圖，在菱形中，，．點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)C，D重合，連接，過點(diǎn)A作，且，連接，則四邊形的面積為______．16．如圖，菱形的對角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，若菱形的面積為16，則的長為____．17．如圖1，菱形紙片的邊長為，，將菱形沿，GH折疊，使得點(diǎn)B，D兩點(diǎn)重合于對角線上的點(diǎn)P（如圖2）．若，則六邊形的面積為______．

18．如圖，在菱形中，°，在對角線上任取一點(diǎn)Р（端點(diǎn)除外），連接、．在BA的延長線上取一點(diǎn)Q，使．當(dāng)點(diǎn)Р在線段上移動時：①；②當(dāng)點(diǎn)P沿CA方向運(yùn)動時，的度數(shù)先變小，后變大；③；④．其中，說法正確的序號是___________．三、解答題19．如圖，菱形的對角線、相交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，，求、的長．20．如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點(diǎn)O，且．(1)求菱形周長；(2)，求的長．21．如圖，在菱形中，對角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，求四邊形的周長．22．圖1，圖2都是由小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小等邊三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，分別按要求畫出圖形．

(1)在圖1中畫出以為對角線的菱形，C，D均在格點(diǎn)上．(2)在圖2中畫出以為邊的平行四邊形，E，F(xiàn)均在格點(diǎn)上，并使其面積最大．23．如圖，在菱形中，E為對角線上一點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．24．如圖，在菱形中，，是對角線上任意一點(diǎn)，是線段延長線上一點(diǎn)，且，連接．．(1)如圖1，當(dāng)是線段的中點(diǎn)，且時，求的面積；(2)如