第22講 相似三角形的性質(zhì)與判定（原卷版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（9年級(jí)北師大版）

第22講相似三角形的性質(zhì)與判定1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；2、通過(guò)典型實(shí)例認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，能運(yùn)用圖形相似的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題（如何把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題）.一、相似三角形的性質(zhì)1．相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.3.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.∽，則由比例性質(zhì)可得：4.相似三角形面積的比等于相似比的平方.∽，則分別作出與的高和，則要點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的.二、相似三角形的應(yīng)用1.測(cè)量高度測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比例相等”的原理解決.要點(diǎn)：測(cè)量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測(cè)量法影子測(cè)量法手臂測(cè)量法標(biāo)桿測(cè)量法2.測(cè)量距離測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。1．如甲圖所示，通?？上葴y(cè)量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長(zhǎng)度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長(zhǎng).2．如乙圖所示，可先測(cè)AC、DC及DE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長(zhǎng).要點(diǎn)：1．比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實(shí)際距離;2．太陽(yáng)離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽(yáng)光近似看成平行光線．在同一時(shí)刻，兩物體影子之比等于其對(duì)應(yīng)高的比;3．視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角．考點(diǎn)1：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求三角形的相關(guān)參數(shù)例1．如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比是，那么它們的周長(zhǎng)比是（

）A． B．C． D．例2．相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為4:3，那么它們的對(duì)應(yīng)中線的比為_(kāi)_____．例3．若兩個(gè)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊之比為5:2，則它們的周長(zhǎng)比是______，面積比是______．例4．一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)度之比為2：5：6，另一個(gè)與它相似的三角形最長(zhǎng)邊為24，則三角形的最短邊為_(kāi)________．例5．與的相似比為1：4，則與的周長(zhǎng)比為（

）．A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16考點(diǎn)2：相似三角形的應(yīng)用（利用相似三角形測(cè)高）例6．如圖，身高為的小明想測(cè)量一下操場(chǎng)邊大樹(shù)的高度，他沿著樹(shù)影由B到A走去，當(dāng)走到C點(diǎn)時(shí)，他的影子頂端正好與樹(shù)的影子頂端重合，測(cè)得，，于是得出樹(shù)的高度為（

）A． B． C． D．例7．如圖，放映幻燈片時(shí)，通過(guò)光源，把幻燈片上的圖形放大到屏幕上．若光源到幻燈片的距離為光源，到屏幕的距離為，且幻燈片中圖形的高度為，則屏幕上圖形的高度為（

）A． B． C． D．例8．中國(guó)教育家孔子周游列國(guó)年，其中年居衛(wèi)衛(wèi)國(guó)即現(xiàn)在的濮陽(yáng)，龍湖論語(yǔ)廣場(chǎng)有一尊孔子雕像，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)為了測(cè)量雕像的高度頂端到水平地面的距離，在雕像旁邊的水平地面上處放了一面鏡子平面鏡的厚度忽略不計(jì)，組長(zhǎng)小麗沿直線后退到點(diǎn)處，這時(shí)恰好在鏡子里看到雕像的頂端，此時(shí)測(cè)得米，米，小麗的眼睛距地面的高度米，則雕像的高度______米．考點(diǎn)3：利用相似三角形的性質(zhì)求解平行問(wèn)題例9．如圖，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：EC的值為（

）A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2例10．如圖，已知E、F分別是△ABC中AB、AC邊上的點(diǎn)，，且AE：AB＝3：5，那么為（）A．3：5 B．3：25 C．9：25 D．9：16例11．如圖，在中，E是線段上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)C作，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若的面積等于16，則的面積等于______．例12．如圖，在中，中線，相交于點(diǎn)O，連接，下列結(jié)論：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)4：網(wǎng)格問(wèn)題例13．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，則圖中陰影部分的面積是_____．考點(diǎn)5：分類(lèi)討論問(wèn)題例14．如圖，，，．點(diǎn)在上移動(dòng)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，則的長(zhǎng)為_(kāi)__________．考點(diǎn)6：最值問(wèn)題例15．如圖，在矩形中，，，若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作且分別交對(duì)角線，直線于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值為（

）

A． B． C．17 D．18考點(diǎn)7：相似三角形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題例16．的邊上有三點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示，若，，，，，，則四邊形與的面積比為（

）

A． B． C． D．例17．如圖，為等邊三角形，在邊上分別任取一點(diǎn)，使得，連接相交于點(diǎn)，現(xiàn)有如下兩個(gè)結(jié)論：①；②若，則；下列判斷正確的是（）

A．①對(duì)，②對(duì) B．①對(duì)，②錯(cuò) C．①錯(cuò)，②對(duì) D．①錯(cuò)，②錯(cuò)例18．如圖，已知正方形，為的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接將沿折疊得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，現(xiàn)在有如下五個(gè)結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時(shí)，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)考點(diǎn)8：相似三角形的性質(zhì)與判定解答證明題例19．如圖，在梯形中，點(diǎn)F，E分別在線段，上，且，

(1)求證：(2)若，求證：例20．如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至E，連接．

(1)求證：；(2)在如圖1中，若，其它條件不變得到圖2，在圖2中過(guò)點(diǎn)D作于F，設(shè)H是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作交于G，交于M．求證：①；②．一、單選題1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D、E分別為中點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在上，且，則四邊形的面積為（

）

A． B． C． D．3．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．4．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，則（

）

A． B． C． D．5．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)落在軸的點(diǎn)位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，若的面積是，則的面積是______．

7．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)F、G在上，點(diǎn)E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長(zhǎng)為_(kāi)___________．三、解答題8．（2018·陜西·統(tǒng)考中考真題）周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門(mén)前小河的寬．測(cè)量時(shí)，他們選擇了河對(duì)岸邊的一棵大樹(shù)，將其底部作為點(diǎn)A，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B，使得AB與河岸垂直，并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長(zhǎng)線上選擇點(diǎn)D豎起標(biāo)桿DE，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C、A共線．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測(cè)得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測(cè)量示意圖如圖所示．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息，求河寬AB．9．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個(gè)定點(diǎn)．于點(diǎn)，交于點(diǎn)．是由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若是的中點(diǎn)，如圖2．求證：．一、單選題1．在△ABC中，三條邊的長(zhǎng)分別為2、3、4，△A′B′C′的兩邊長(zhǎng)分別為1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三邊長(zhǎng)應(yīng)該是(

)A．2 B． C．4 D．22．在RT△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，則下列等式中錯(cuò)誤的是（

）A．AC﹒BC=AB﹒CD B．AC﹒BD=BC﹒ADC．AC2=AB﹒AD D．CD2=AD﹒BD3．如圖，△ABC中，AE交BC于點(diǎn)D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，則DE的長(zhǎng)等于

（）A． B． C． D．4．如圖，在中，，垂直平分，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使，連接．若，則等于（

）A．6 B．8 C．10 D．125．如圖，已知在中，，，則下列比例式中正確的個(gè)數(shù)為（

）①

②

③

④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，、是的兩條高，、相交于，則下列結(jié)論不正確的是（

）．A．∽ B．∽C．∽ D．∽7．如圖，已知的面積是12，，點(diǎn)，分別在邊，上，在邊上依次作了個(gè)全等的小正方形，，，，，則每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．8．如圖，矩形中，，，點(diǎn)P在對(duì)角線上，且，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．如圖，直角三角形中，，于，于，則下列說(shuō)法中正確的有（

）個(gè)．①圖中有4個(gè)三角形與相似；②；③；④；⑤若，，則；⑥．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)10．“化積為方”是一個(gè)古老的幾何學(xué)問(wèn)題，即給定一個(gè)長(zhǎng)方形，作一個(gè)和它面積相等的正方形，這也是證明勾股定理的一種思想方法．如圖所示，在矩形中，以為邊做正方形，以為斜邊，作使得點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作交于，再過(guò)點(diǎn)作于，連結(jié)交于，記四邊形，四邊形的面積分別為，若，，則為（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知∽，它們的面積比為，則對(duì)應(yīng)角的角平分線的比等于______．12．如果的三邊長(zhǎng)分別是3、4、5，與其相似的的最長(zhǎng)邊為15，那么的周長(zhǎng)是______.13．如圖，為了測(cè)量一水塔的高度，小強(qiáng)用2米的竹竿做測(cè)量工具，移動(dòng)竹竿，使竹竿、水塔的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)，此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距8米，與水塔相距32米，則水塔的高度為_(kāi)_____米．14．如圖，EF分別為矩形ABCD的邊AD，BC的中點(diǎn)，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，則AD＝_____．15．如圖，點(diǎn)E是平行四邊形的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F，若，則_______．16．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，已知，則_________．17．如圖，△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1厘米的速度向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C同時(shí)出發(fā)，以每秒2厘米的速度向A運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也相應(yīng)停止運(yùn)動(dòng)．那么，當(dāng)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是_____．18．如圖，邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在延長(zhǎng)線上，交于點(diǎn)．點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則=_____．三、解答題19．如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的邊BC上的高為6，面積為12，求△DEF的邊EF上的高和面積．20．如圖，在和中，G，H分別是邊和的中點(diǎn)，已知．（1）中線與的比是多少？（2）與的面積比是多少？21．如圖，與相似，AD，BE是的高，，是的高，求證．22．如圖，為了估計(jì)河的寬度，在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S在一條直線上，且直線PS與河垂直，在過(guò)點(diǎn)S且與直線PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，PT與過(guò)點(diǎn)Q且與PS垂直的直線b的交點(diǎn)為R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的長(zhǎng)．23．如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊和上，且．（1）若，則等于多少？（2）若，則，各等于多少？24．如圖，已知，．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的長(zhǎng)；（3）求的度數(shù)．25．已知：如圖，是等邊三角形，點(diǎn)、分別在，上，且，、相交于點(diǎn)，求證：（1）；（2）．26．如圖，、、是全