遼寧省朝陽市2019年中考數(shù)學試卷

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遼寧省朝陽市2021年中考數(shù)學試卷

試卷副標題

考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx

題號—二三總分

得分

考前須知：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

請點擊修改第I卷的文字說明

評卷人得分

1.3的相反數(shù)是（）

11

A.3B.-3C.-D.——

33

【答案】B

【解析】

試題解析：根據(jù)相反數(shù)的定義知：3的相反數(shù)是-3,應(yīng)選B.

考點：相反數(shù).

2.如圖是由5個相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的左視圖是（）

S□“小

【解析】

【分析】

左視圖就是從幾何體的左邊看到的平面圖形，據(jù)此觀察判斷即可.

【詳解】

解：從左邊看，從左往右小正方形的個數(shù)依次為：2,1.左視圖如下:

應(yīng)選：C.

【點睛】

此題考查的是簡單組合體的三視圖，屬于根底題型，明確左視圖就是從幾何體的左邊看

到的平面圖形是正確判斷的關(guān)鍵.

3.一元二次方程x2+x-1=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法判斷

【答案】A

【解析】

試題解析：a=1,b=\,c=—1,

.?.△=從-4改=12-4xlx（—l）=5>0,

.??方程有兩個不相等的實數(shù)根.

應(yīng)選A.

4.以下調(diào)查中，調(diào)查方式最適合普查（全面調(diào)查）的是（）

A.對全國初中學生視力情況的調(diào)查

B.對2021年央視春節(jié)聯(lián)歡晚會收視率的調(diào)查

C.對一批飛機零部件的合格情況的調(diào)查

D.對我市居民節(jié)水意識的調(diào)查

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)普查和抽樣調(diào)查的特點解答即可.

【詳解】

解：A.對全國初中學生視力情況的調(diào)查，適合用抽樣調(diào)查，不合題意；

B.對2021年央視春節(jié)聯(lián)歡晚會收視率的調(diào)查，適合用抽樣調(diào)查，不合題意；

C.對一批飛機零部件的合格情況的調(diào)查，適合全面調(diào)查，符合題意；

D.對我市居民節(jié)水意識的調(diào)查，適合用抽樣調(diào)查，不合題意；

應(yīng)選：C.

【點睛】

此題考查r抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的知識，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象

的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價

值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.

Q

5.假設(shè)點3（-2,%），。（3,f）在反比例函數(shù)y=——的圖象上，那么

X

73的大小關(guān)系是（）

A.x<y2<%B,3cx<y3<%D?2VM

【答案】D

【解析】

【分析】

由于反比例函數(shù)的系數(shù)是一8,故把點/、B、C的坐標依次代入反比例函數(shù)的解析式,

求出X，%，%的值即可進行比擬.

【詳解】

Q

解：?.?點A(TyJ、8(—2,%)、C(3,yJ在反比例函數(shù)y=的圖象上，

X

8c8〃8

..%=一1=8,y2=--=4,%=-§，

Q

又,:——<4<8,

3

%<%<M?

應(yīng)選：D.

【點睛】

此題考查的是反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，理解點的坐標與函數(shù)圖象的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

mx+y=n(x=0

6.關(guān)于x,y的二元一次方程組?.的解是c，那么機+〃的值為()

x-ny=2m(y=2

A.4B.2C.ID.0

【答案】D

【解析】

【分析】

x=0

根據(jù)二元一次方程組的解的概念，把《c代入方程組中即可求出用、〃的值，進一

卜=2

步即得答案.

【詳解】

x=0n=2m=-2

解:把《代入得:,解得:"2+〃=0,

[y=2—2〃=2mn=2

應(yīng)選：D.

【點睛】

此題考查的二元一次方程組的解及其解法，熟練掌握二元一次方程組的解的概念是求解

的關(guān)鍵.

7.把RtZ\ABC與RtVCDE放在同一水平桌面上，擺放成如下圖的形狀，使兩個直角

頂點重合，兩條斜邊平行，假設(shè)NB=25°,NO=58°，那么/BCE的度數(shù)是（）

A.83°B.57°C.54'D.33°

【答案】B

【解析】

【分析】

過點C作CF//AB,那么CF//DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可

求出結(jié)果.

【詳解】

解：過點C作C尸〃二NBCF=NB=25°.

又AB〃DE，：.CF"DE.

二ZFCE=NE=90°-ZD=90°-58°=32°.

二NBCE=NBCF+ZFCE=250+32°=57°.

應(yīng)選:B.

【點睛】

此題考查了直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，屬于根底題型，過點C作C尸〃A3是

解題的關(guān)鍵.

8.李老師為了了解本班學生每周課外閱讀文章的數(shù)量，抽取了7名同學進行調(diào)查，調(diào)

查結(jié)果如下（單位：篇/周）：4,4,255,4,3,其中有一個數(shù)據(jù)不小心被墨跡污損.這

組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為（）

A.5,4B.3,5C.4,4D.4,5

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)被污損的數(shù)據(jù)為x,先根據(jù)平均數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，求出方程的解后再根據(jù)

中位數(shù)和眾數(shù)的定義進行判斷即可.

【詳解】

解：設(shè)被污損的數(shù)據(jù)為x.

那么4+x+2+5+5+4+3=4x7,解得x=5,

.?.這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是5,即眾數(shù)為5篇，

將這7個數(shù)據(jù)從小到大排列為2、3、4、4、5、5、5,

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4篇.

應(yīng)選：A.

【點睛】

此題考查了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念，根據(jù)平均數(shù)的定義求出被污損的數(shù)據(jù)是解題

的關(guān)鍵.

9.如圖,在矩形ABCO中對角線AC與8。相交于點O,CE工BD,垂足為點E,CE=5,

且EO=2DE,那么AO的長為()

A.576B.6A/5C.10D.6G

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)DE=x,根據(jù)矩形對角線相等且互相平分的性質(zhì)和E0=2OE的條件可得OC、OE

與x的關(guān)系，再在RtVOCE中根據(jù)勾股定理列出方程即可求出x的值，進一步即可求

出/C與OC的長，然后在RtAZ。。中再次運用勾股定理即可求出結(jié)果.

【詳解】

解：；四邊形ABCO是矩形，

AADC=90°.BD=AC,OD^-BD,OC^-AC,

22

OC=OD,

?：EO=IDE,

...設(shè)r>E=x,那么OE=2x,

OD—OC—3x,AC—6x，

■:CELBD,：.ZDEC=ZOEC=90\

在RtVOCE中，爐+C￡2=OC2,；.(2X)2+52=(3X)2,

：x>0,=6，即OE=逐，那么AC=66，

???CD=VBF+cF=J(6y+52=同，

；?AD=y/AC2-CD2=J(6@_(病)2=5指，

應(yīng)選:A.

【點睛】

此題以矩形為載體，重點考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理以及運用方程解決問題的數(shù)學思

想方法，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

10.二次函數(shù)y=ac2+加+c(a/0)的圖象如下圖，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①。歷>0；

②9a+3/?+c=0；③。2-4ac<8a;④5a+h+c>().其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)圖象可直接判斷a、c的符號，再結(jié)合對稱軸的位置可判斷6的符號，進而可判斷

①；

拋物線的圖象過點(3,0),代入拋物線的解析式可判斷②；

根據(jù)拋物線頂點的位置可知：頂點的縱坐標小于一2,整理后可判斷③；

根據(jù)圖象可知頂點的橫坐標大于1,整理后再結(jié)合③的結(jié)論即可判斷④.

【詳解】

b

解：①由圖象可知：a>0,c<0,由于對稱軸---->0>b<0,cibc>0,故

2a

①正確；

②；拋物線過(3,0),；.%=3時，y=9a+3b+c=Q,故②正確；

'b4cic—b°、4/7,_

③頂點坐標為：一丁,「——.由圖象可知：—<-2,Va>0,A

I2a4aJ4a

4ac-b2<-Sa)b2-4ac>8a>故③錯誤；

h

④由圖象可知：---->1,tz>0,勿+h<0,

2a

:9a+3〃+c=0,c=-9a-3b,

，5。+b+c=5a+Z?-9a-3〃=-4a-2h=-2(2a+Z?)>0,故④正確；

應(yīng)選：C.

【點睛】

此題考查了拋物線的圖象與性質(zhì)和拋物線的圖象與其系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握拋物線的圖

象與性質(zhì)、靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵.

第II卷(非選擇題)

請點擊修改第II卷的文字說明

評卷人得分

二、填空題

11.2021年5月20日，第15屆中國國際文化產(chǎn)業(yè)博覽交易會落下帷幕.短短5天時間,

有7800000人次參觀數(shù)據(jù)7800000用科學記數(shù)法表示為

【答案】7.8xl06.

【解析】

【分析】

根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法寫出即可.

【詳解】

解：數(shù)據(jù)7800000用科學記數(shù)法表示為7.8x106.故答案為：7.8xl()6.

【點睛】

此題考查了科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為。義10"的形式，其中l(wèi)W|a|

<10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定”的值以及〃的值.

12.因式分解：-,*2+2=.

2

【答案】—：(x+2)(x-2).

2

【解析】

【分析】

先提取公因式，再根據(jù)平方差公式分解.

【詳解】

解：-gx2+2=_g(x2_4)=_；(x+2)(x_2).

故答案為：—5(x+2)(x—2).

【點睛】

此題考查了多項式的因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.

13.從點例(—1,6),E(2,-3),F(-3,-2)中任取一點，所取的點恰好在

反比例函數(shù)y=2的圖象上的概率為.

X

【答案二.

【解析】

【分析】

先依次判斷例、N、￡尸的坐標是否滿足反比例函數(shù)的解析式，再根據(jù)概率公式求解

即可.

【詳解】

解：,:k=6,—1x6=—6w6,—x12=6,2x(—3)=-6w6,—3x(—2)=6,

2

???N、/兩個點在反比例函數(shù)y=￡的圖象上，故所取的點在反比例函數(shù)y=9的圖象

xx

21

上的概率是一=一.

42

故答案為一.

2

【點睛】

此題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點和簡單概率事件的求解，屬于根底題型，熟

知反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點是解題的關(guān)鍵.

14.不等式組\,，、的解集是.

【答案】-2＜凡,3.

【解析】

【分析】

根據(jù)解一元一次不等式組的方法求解即可.

【詳解】

,6-2x20①

解：〈,

|2x+4〉0②

由不等式①，得用,3,

由不等式②，得了＞-2,

故原不等式組的解集是-2＜x,3,

故答案為：-2＜內(nèi),3.

【點睛】

此題考查了一元一次不等式組的解法，屬于根底題目，熟練掌握一元一次不等式組的解

法是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，把三角形紙片折疊，使點4、點C都與點B重合，折痕分別為EF,DG,

得到NBDE=60"，NBED=90°，假設(shè)OE=2,那么FG的長為.

【答案】3+V3.

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：尸G是的中位線，/C的長即為的周長.在RW8OF

中，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可分別求出8。與命的長，從而可得

20的長，再根據(jù)三角形的中位線定理即得答案.

【詳解】

解：?.?把三角形紙片折疊，使點A、點C都與點B重合，

:.AF=BF,AE=BE，BG=CG,DC=DB,

：.FG=-AC,

2

ZBDE=60°>NBED=9?，

NEBD=30°，

；?DB=2DE=4,

BE=yjDB2-DE2=y/4-*=-

:.AE=BE=ZBDC=DB=4,

：.AC=AE+DE+DC^2y/3+2+4=6+2s/3，

FG=-AC=3+y/3,

2

故答案為：3+也.

【點睛】

此題考查了折疊的性質(zhì)、三角形中位線定理、30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等

知識，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出柘是的中位線，/C的長即為△位?￡的周長是解此題

的關(guān)鍵.

16.如圖，直線y=gx+l與X軸交于點M,與y軸交于點A,過點A作AB_LAM,

交x軸于點B,以48為邊在48的右側(cè)作正方形ABC4,延長4c交x軸于點為，以

4%為邊在AxBx的右側(cè)作正方形48cM2…按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，再將每個正方形

分割成四個全等的直角三角形和一個小正方形，每個小正方形的每條邊都與其中的一條

坐標軸平行，正方形A3C4”A1C1A2,…，A一紇-4中的陰影局部的面積分別

為Si,S2,…，Sn,那么Sn可表示為.

【解析】

【分析】

因為所有的正方形都相似，所以只要求出第一個陰影正方形的面積和第二個陰影正方形

與第一個陰影正方形的相似比即可依此規(guī)律求解.根據(jù)題意和正方形的性質(zhì)可得

nA1

ZOAB=ZAMO,所以它們的正切相等，等于——=一，據(jù)此可求出08的長，再

0M3

用。4一。8即為第一個陰影正方形的邊長，于是S可得；同理可求得與力6的關(guān)

系，進而可求得邑與5的關(guān)系；以此規(guī)律類推可求得S”與S的關(guān)系，整理即得答案.

【詳解】

解：在直線y=；x+l中，當％=0時，y=l；當y=0時，x=-3；

二04=1,OM=3,tanZAMO=-

3

,/ZOAB+NOAM=90°，ZAMO+NOAM=90°，

ZOAB^ZAMO,

tanNOAB==—,OB=—.

OA33

?.?正方形A8C4中的四個小正方形都與△AOB全等,

1?

,第一個陰影正方形的邊長為：1-一=二，

33

/2\24

￡--|=-

1379

D01

同理：tanZ.CBB.——■—=tan/OAB——,

1BC3

BC=-BC=-AC=-AB,

')33"3

4

:.y4jBj——AB,

4\E="，

S—

23

同理可得為星=圖「用工

s3=sS4=^s.=

故答案為：一一.

32"

【點睛】

此題是一次函數(shù)與正方形的規(guī)律探求綜合題，主要考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點、正

方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和相似多邊形的性質(zhì)，難度較大，解答時需充分理解題意、

注意知識的前后聯(lián)系,解答的關(guān)鍵是找出解題的規(guī)律，正確得出5n與S的關(guān)系.

評卷人得分

三、解答題

…工"包aa+32a+6"(1Y1

17.先化簡，再求值：—；-------,其中a=|-6]——.

a+2?2_42a2_84+8⑴

21

【答案】-原式=

(7+23

【解析】

【分析】

先根據(jù)分式的混合運算法那么進行化簡，再把化簡后的a的值代入計算即可.

【詳解】

a。+32(。-2)~

解：原式=------------------2-------

〃+2(〃+2)(。一2)2(〃+3)

2

。+2

\-1

當a=|_6|一(g

=6—2=4時,

7

2

原式=

4+23

【點睛】

此題考查了分式的混合運算與求值，熟練掌握分式的混合運算法那么是解題的關(guān)鍵.

18.佳佳文具店購進4,8兩種款式的筆袋，其中4種筆袋的單價比8種袋的單價低

10%.店主購進A種筆袋用了810元，購進3種筆袋用了600元，且所購進的A種筆袋

的數(shù)量比3種筆袋多20個.請問：文具店購進4,8兩種款式的筆袋各多少個？

【答案】文具店購進4種款式的筆袋60個，B種款式的筆袋40個.

【解析】

【分析】

設(shè)文具店購進8種款式的筆袋x個，那么購進4種款式的筆袋(x+20)個，根據(jù)題意分

別表示出A種筆袋的單價和B種筆袋的單價，再根據(jù)“4種筆袋的單價比B種筆袋的單

價低10%"即可列出方程，解方程即得結(jié)果.

【詳解】

解：設(shè)文具店購進B種款式的筆袋x個，那么購進4種款式的筆袋(x+20)個，

依題意，得：-^-=—(1-10%),

x+20x

解得：x=4(),

經(jīng)檢驗，x=40是所列分式方程的解，且符合題意，

二x+20=60.

答：文具店購進A種款式的筆袋60個，8種款式的筆袋40個.

【點睛】

此題考查的是分式方程的應(yīng)用，正確理解題意列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

19.某校組織學生開展為貧困山區(qū)孩子捐書活動，要求捐贈的書籍類別為科普類、文學

類、漫畫類、哲學故事類、環(huán)保類，學校圖書管理員對所捐贈的書籍隨機抽查了局部進

行統(tǒng)計，并對獲取的數(shù)據(jù)進行了整理，根據(jù)整理結(jié)果，繪制了如下圖的兩幅不完整的統(tǒng)

計圖.所統(tǒng)計的數(shù)據(jù)中，捐贈的哲學故事類書籍和文學類書籍的數(shù)量相同.請根據(jù)以上

信息，解答以下問題：

(1)本次被抽查的書籍有_____冊.

(2)補全條形統(tǒng)計圖.

(3)假設(shè)此次捐贈的書籍共1200冊，請你估計所捐贈的科普類書籍有多少冊.

【答案】(1)60；(2)見解析；［3)所捐贈的科普類書籍有180冊.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)“捐贈的哲學故事類書籍和文學類書籍的數(shù)量相同〃列出算式求解即可;

(2)分別求出文學類書籍和哲學故事類書籍的數(shù)量即可補全條形統(tǒng)計圖；

(3)用科普類書籍的數(shù)量除以書籍的總冊數(shù)再乘以1200即得結(jié)果.

【詳解】

解：(1)?.?捐贈的哲學故事類書籍和文學類書籍的數(shù)量相同，

二本次被抽查的書籍有：(3+9+12)-(1-30%-30%)=60(冊),

故答案為：60；

(2)文學類有60x30%=18(冊)，那么哲學故事類18冊，補全的條形統(tǒng)計圖如下

圖；

9

⑶1200x—=1801冊),

60

答：所捐贈的科普類書籍有180冊.

【點睛】

此題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖以及用樣本估計總體的相關(guān)知識，正確理解題意、

讀懂兩個統(tǒng)計圖所提供的信息、列出相應(yīng)的算式是解題的關(guān)鍵.

20.有5張不透明的卡片，除正面上的圖案不同外，其他均相同.將這5張卡片反面向

上洗勻后放在桌面上.

(1)從中隨機抽取1張卡片，卡片上的圖案是中心對稱圖形的概率為.

(2)假設(shè)從中隨機抽取1張卡片后不放回，再隨機抽取1張，請用畫樹狀圖或列表的

方法，求兩次所抽取的卡片恰好都是軸對稱圖形的概率.

【答案】(1)-；(2)兩次所抽取的卡片恰好都是軸對稱圖形的概率為弓.

【解析】

【分析】

(1)先判斷其中的中心對稱圖形，再根據(jù)概率公式求解即得答案；

(2)先畫出樹狀圖得到所有可能的情況，再判斷兩次都是軸對稱圖形的情況，然后根

據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】

解：(1)中心對稱圖形的卡片是A和D,所以從中隨機抽取1張卡片，卡片上的圖案是

22

中心對稱圖形的概率為二，故答案為：二；

(2)軸對稱圖形的卡片是B、C、E.

畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知，共有20種等可能結(jié)果，其中兩次所抽取的卡片恰好都是軸對稱圖形的有

6種結(jié)果,分別是(B,C)、(B,E)、(C,B)、(C,E)、(E,B)、(E,C),

Aa

二兩次所抽取的卡片恰好都是軸對稱圖形的概率=F=F.

2010

【點睛】

此題考查了用畫樹狀圖或列表法求兩次事件的概率、中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義

等知識，熟知中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義以及用畫樹狀圖或列表法求概率的方法

是解題的關(guān)鍵.

21.小明同學在綜合實踐活動中對本地的一座古塔進行了測量.如圖，他在山坡坡腳P

處測得古塔頂端M的仰角為60°,沿山坡向上走25m到達。處，測得古塔頂端M的仰

3

角為30°.山坡坡度，=3:4,即tan6==,請你幫助小明計算古塔的高度ME.(結(jié)果

精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：^3?1.732)

【答案】古塔的高度ME約為39.8m.

【解析】

【分析】

作。CLEP交EP的延長線于點C,作于點F,作PH工DF于點H,先

在Rt^QCP中利用條件利用勾股定理求出OC和PC的長，從而可得OH和EF的長，

設(shè)叱=y,分別在RtZSMPE和RtZ\MF￡>中根據(jù)60°和30°的三角函數(shù)用y的代數(shù)

式表示出PE和。F,再根據(jù)PE、。尸和的關(guān)系列出方程，解方程后即可求出結(jié)果.

【詳解】

解：作DCJ_EP交EP的延長線于點C,作DF_LME于點F，作PH±DF于點H,

那么DC=PH=FE,DH=CP,HF=PE,

3

設(shè)DC=3x,Ytan6CP=4x,

4

由勾股定理得，PD2=DC2+CP\即252=(3x)2+(4x)2,解得，工=5,

那么。C=3x=15,CP=4x=20,

二￡>"=CP=20,FE=DC=\5,

設(shè)=那么ME=y+15,

MFMFr

在RtVMDE中，tanZMDF=——，那么。E=------=6y,

DFtan30°

在RtVMPE中，tanNMPE=必,那么PE=U=蟲(y+15)，

PEtan60°3

,/DH=DF—HF，

???Gy—^-(y+15)=20,解得，y=7.5+10百，

ME^MF+FE=7.5+10^+15?39.8.

答：古塔的高度ME約為39.8m.

【點睛】

此題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用和仰角、坡度等概念，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定

義、靈活運用數(shù)形結(jié)合和方程的思想是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，四邊形A8C。為菱形，以4。為直徑作e。交A8于點尸，連接03交e。

于點"，E是8c上的一點，且BE=BF,連接OE.

(1)求證：OE是eO的切線.

(2)假設(shè)8尸=2,DH=逐,求eO的半徑.

【答案】(1)見解析；(2)。。的半徑為

2

【解析】

【分析】

(1)如圖1,連接。凡先根據(jù)菱形的性質(zhì)和SAS證明走△OCE得

/DFA=/DEC,再由，。是圓的直徑得//田=90°,于是/?！辍?90°,然后利用

AO〃8C可得/ZZ?F=90°,問題即得證明；

(2)如圖2,連接AH,先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出OB=2。/=26，

再由。門是RtVA。尸和RtZXBO尸的公共的直角邊，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于/。的方

程，解方程即可求出力。的長，進一步即可求出圓的半徑.

【詳解】

(1)證明：如圖1,連接。F,

：四邊形ABC。為菱形，

/.AB=BC=CD^DA,AD//BC,ZDAB=ZC,

?:BF=BE,：.AB—BF=BC—BE,即AF=C￡,

/.ADAF絲7DCE(SAS)，:.ZDFA=/DEC.

：A。是。。的直徑，/.ZDFA=90°.???ZDEC=90°.

?：AD//BC,ZADE=ZDEC=90°>IODIDE.

?.?0。是0。的半徑，，。￡是0。的切線；

(2)解：如圖2,連接AH,

是。。的直徑，ZAHD=ZDFA=90°>ZDFB=90°.

VAD=AB,DH=亞，:?DB=2DH=2出,

在RtVADF和RtABDF中，

DF2=AD2-AF2，DF2=BD1-BF2，

AD2-AF2DB2-BF2>

：.AD2-(AD-BF)2=DB--BF2,

222

AD-{AD-2)=(2⑹2_2,

：.AD=5.

。。的半徑為

2

【點睛】

此題以菱形為載體，綜合考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓的切線的判

定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和勾股定理等知識，知識點多、綜合性強，解答

時需注意知識的前后聯(lián)系，靈活運用方程思想.

23.網(wǎng)絡(luò)銷售是一種重要的銷售方式.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)貿(mào)公司新開設(shè)了一家網(wǎng)店，銷售當?shù)剞r(nóng)

產(chǎn)品.其中一種當?shù)靥禺a(chǎn)在網(wǎng)上試銷售，其本錢為每千克10元.公司在試銷售期間，

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y(kg)與銷售單價H元)滿足如下圖的函數(shù)關(guān)系(其中0<X,30).

(1)直接寫出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍.

(2)假設(shè)農(nóng)貿(mào)公司每天銷售該特產(chǎn)的利潤要到達3100元，那么銷售單價x應(yīng)定為多少

元？

(3)設(shè)每天銷售該特產(chǎn)的利潤為W元，假設(shè)14<%,30,求：銷售單價x為多少元時，

每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

640(10<^,14)

【答案Hi)y=~、“、；(2)銷售單價x應(yīng)定為15元；(3)當X=28

-20x+920(14<x,30)

時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是6480元.

【解析】

【分析】

(1)當10<%，14時，可直接根據(jù)圖象寫出；當14<%,30時，y與X成一次函數(shù)關(guān)系,

用待定系數(shù)法求解即可;

(2)根據(jù)銷售利潤=每千克的利潤(x-10)X銷售量y,列出方程，解方程即得結(jié)果;

(3)根據(jù)銷售利潤此每千克的利潤5—10)X銷售量y,可得w與x的二次函數(shù)，再

根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法即可求出結(jié)果.

【詳解】

解：(1)由圖象知，當10<%,14時，y=640；

14k+8=640

當14<三30時，^y=kx+b,將(14,640),(30,320)代入得〈，解得

30%+萬=320

%=-20

。=920

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-20x+920；

640(10<%,14)

綜上所述，y=<

—20x+920(14<%,30)

(2)(14一10)x640=2560,

V2560<3100,二x>14,

(x-10)(-20x+920)=3100,

解得：玉=41(不合題意舍去)，々=15,

答：銷售單價x應(yīng)定為15元;

(3)當14<%,30時，W=(x-10)(—20x+920)=-20(》一28)2+6480,

V-20<0,14<x,30,

，當x=28時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是6480元.

【點睛】

此題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)和一元二次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意求出函數(shù)關(guān)

系式、熟練掌握一元二次方程的解法和求二次函數(shù)的最值的方法是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，四邊形ABCD是正方形,連接4C,將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a得4AEF，

連接CF,。為C尸的中點，連接OE,OD.

(1)如圖1,當a=45°時，請直接寫出OE與0。的關(guān)系(不用證明).

(2)如圖2,當45°<a<90°時，(1)中的結(jié)論是否成立？請說明理由.

(3)當a=360°時，假設(shè)48=40，請直接寫出點。經(jīng)過的路徑長.

【答案】⑴OE=OD,OELOD,理由見解析；⑵當45°<a<90°時，⑴中

的結(jié)論成立，理由見解析；(3)點。經(jīng)過的路徑長為8〃.

【解析】

【分^1?】

(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì)可得與的數(shù)量關(guān)系；

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得4C=2尸以及各內(nèi)角的度數(shù)，進一步即可求

出NCCE與下的度數(shù)，進而可得與。F的位置關(guān)系；

(2)延長EO到點M,使OM=EO,連接DM.CM.DE,如圖2所示，先根據(jù)SAS

證明VCOM絲NFOE,得AMCF=NEFC,CM=EF,再根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)推得ZFCD=ZCFE=Z.MCF,進一步在^ACF中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

和正方形的性質(zhì)得出ZDAE=ZDCM,再一次運用SAS推出^ADE會NCDM,于

是DE=DM，進一步即可得出0瓜。。的位置關(guān)系，然后再運用SAS推出VCOM絲

△COD,即可得與OE的數(shù)量關(guān)系；

(3)連接A0,如圖3所示，先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出NAOC=90°，

即可判斷點。的運動路徑，由a=360°可得點。經(jīng)過的路徑長，進一步即可求得結(jié)果.

【詳解】

解：(1)OE=OD,OELOD；理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AF=AC，?AFE2ACB,

四邊形ABCD是正方形，NACB=ZACD=ZFAC=45°，

，ZACF=NAFC=1(180°-45)=67.5°,

???ZDCF=ZEFC=22.5°，

,：NFEC=9d，。為C尸的中點，OEnJc/nOC：。/7,

2

同理：OD==CF,：,OE=OD=OC=OF,

2

，ZEOC=2ZEFO=45°,ZDOF=2ZDCO=45°，

NDOE=180°—45°-45°=90°，,OE上OD；

(2)當45°＜a＜90°時，(I)中的結(jié)論成立，理由如下：

延長EO到點M,使QM=EO，連接OM、CM、DE,如圖2所示：

?.?。為CF的中點，OC=O尸，

OM=OE

在7coM和7FOE中，＜NCOM=NFOE,

OC=OF

：.NCOM^NFOE[SAS),；.ZMCF=NEFC,CM=EF.

?.?四邊形A8C￡)是正方形，AB=3C=Cr),N84C=NBC4=45°，

?/A4BC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a得A4EF，

AAB=AE=EF=CD,AC=AF,

：.CD=CM,ZACF=ZAFC,

?：ZACF=ZACD+ZFCD,ZAFC=ZAFE+ZCFE,ZACO=ZAFE=45°，

ZFCD=ZCFE=NMCF,

VZEAC+ZDAE=45°＞NBW+ND4E=45°，；?NE4C=NE4￡＞，

在AACF中，：NACF+NAEC+NOV7=180°，

NDAE+2ZFAD+ZDCM+90°=180°，

ZFAD+ZDAE=45\ZFAD+ZDCM=4^，：.ZDAE^ZDCM,

AE=CM

在AADE和7CDM中，＜CAE=ZDCM,

AD=CD

^ADE絲NCDM(SAS),；.DE=DM,

?：0E=0M,：.OELOD,

CM=CD

在NCOM和△CO。中，＜NMCF=ZFCD,

OC=OC

：.NCOM/\COD(SAS),：.OM=OD.

AOE=OD,：.OE=OD,OE1OD；

(3)連接AO,如圖3所示：

VAC^AF,CO=OF,AOLCF,：.ZAOC=90°.

.?.點。在以AC為直徑的圓上運動，

Va=360°，，點。經(jīng)過的路徑長等于以AC為直徑的圓的周長，

;AC=JL4B=0X4AQ=8，二點。經(jīng)過的路徑長為：乃d=8?.

【點睛】

此題是正方形的綜合題，綜合考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與

性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判斷動點運動路徑等知識，考查的知識點多、綜合性強，倍

長中線構(gòu)造全等三角形、熟知正方形的性質(zhì)、靈活應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定

與性質(zhì)是解(2)題的關(guān)鍵.

25.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+6與x軸交于點A,與y軸交點C,拋

物線y=-2犬+法+c過A,C兩點，與x軸交于另一點8.

(1)求拋物線的解析式.

(2)在直線AC上方的拋物線上有一動點E,連接8E,與直線4C相交于點F,當

EEMJBF時，求sinZEBA的值.

2

(3)點N是拋物線對稱軸上一點，在(2)的條件下，假設(shè)點E位于對稱軸左側(cè)，在

拋物線上是否存在一點M,使以"，N,E,B為頂點的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存

在，直接寫出點M的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=—2/—4x+6；(2)sin/EBA的值為亞或生叵；(3)存在，