高中數(shù)學人教B版2019必修第一冊教案函數(shù)及其表示方法

第三章函數(shù)

3.1函數(shù)的概念與性質

3.1.1函數(shù)及其表示方法教學設計

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學中最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具，

在解決實際問題匯總發(fā)揮重要作用。函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的主線。本單元的學習，可以幫助學生建立

完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關系的數(shù)學語言和工具，也把函數(shù)理解為實數(shù)集合

之間的對應關系；能用代數(shù)運算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質；在現(xiàn)實問題中，能利用函數(shù)構建模型，

解決問題。

【教學目標】

1、在初中用變量之間的依賴關系描述函數(shù)的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概

念，體會集合語言和對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用。了解構成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域和

值域。

2、在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)

圖象的作用。

3、通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用。

【核心素養(yǎng)】

1、數(shù)學抽象：兩個變量關系中提出函數(shù)概念.

2、直觀想象：用圖像法表示函數(shù)

3、數(shù)學運算：對函數(shù)的定義域、值域的計算。

4、數(shù)據(jù)分析：函數(shù)定義域和應用數(shù)據(jù)的有效性。

【教學重點】

1.了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.

2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù).

3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用（函數(shù)分段不超過三段）.

【教學難點】

1、求函數(shù)的定義域和值域

回顧初中所學的函數(shù)，在情境與問題中感受高中函數(shù)表達方式與初中的不同。

一、函數(shù)的概念

我們已經學習過一些函數(shù)的知識，例如已經總結出：在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量;

在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應,

那么就稱y是x的函數(shù).

再例如，我們知道y=2x是正比例函數(shù)，y=-3x-l是一次函數(shù)，y=-2是反比例函數(shù)，y=x?+2x-3是二次

函數(shù)，等等。

【情境與問題】

（1）國家統(tǒng)計局的課題組公布，如果將2005年中國創(chuàng)新指數(shù)記為100,近些年來中國創(chuàng)新指數(shù)的

I方法

情況如下表所示。

:同，

20082009201020112012201320142015

中國創(chuàng)新指數(shù)116,5125.5131.8139.6148.2152.6158.217、摩］

沿B

以y表示年度值，i表示中國創(chuàng)新指數(shù)的取值，則i是y的的函數(shù)嗎？如果

是，這個函數(shù)用數(shù)學符號可以怎樣表示？

（2）利用醫(yī)療儀器可以方便地測量出心臟在各時刻的指標值，據(jù)此可以描繪出心電圖，如下【值組

圖所示。醫(yī)生在看心電圖時，會根據(jù)圖形的整體形態(tài)來給出診斷結果（如根據(jù)兩個峰值的間距來得出

心率等）.

值得注意的是，這種函數(shù)的表示中，自變量與因變量用什么字母來表示是無關緊要的，例如函數(shù)

f(x)=2x+1,xeR與y=2s+l,seR

應該看成同一個函數(shù).習慣上，人們總用X表示自變量，y表示因變量.

更一般地，如果兩個函數(shù)表達式表示的函數(shù)定義域相同，對應關系也相同(即對自變量的每一個值,

兩個函數(shù)表達式得到的函數(shù)值都相等)，則稱這兩個函數(shù)表達式表示的就是同一個函數(shù).例如

y=&，xeR與g(x)=|x|,xeR

表示同一個函數(shù).

在表示函數(shù)時，如果不會產生歧義，函數(shù)的定義域通常省略不寫，此時就約定：函數(shù)的定義域就是使

得這個函數(shù)有意義的所有實數(shù)組成的集合。

在上述約定下，以下表達式都可以表示函數(shù)f(x)=2x+l,xeR：

f(x)=2x+l,

y=2x+l.

【典型例題】

例1求下列函數(shù)的定義域：

111

(1)f(x)=,(2)g(x)=-^-----

Vx+1xx+2

解(1)因為函數(shù)有意義當且僅當

x+l>0

解得X>-1,所及函數(shù)的定義域為

(-1,+oo)

(2)因為函數(shù)有意義當且僅當

x#0

x+2/)

解得X/)且x力-2,因此函數(shù)的定義域為

(-00,-2)U(-2,0)U(0,+oo)

以下都是求函數(shù)定義域常用的依據(jù)：

(1)分式中分母不能為零;

(2)二次根式中的被開方數(shù)要大于或等于零.

例2設函數(shù)g(x)=日的值域為S,分別判斷-血和3是否是S中的元素.

解由于VTHK)恒成立，所以而無解，因此-啦WS.

當Jx+1=3時,可解得x=8,即g(8)=3,所以3ds.

例2的解法，實質上是在用方程判斷一個數(shù)是否屬于函數(shù)的值域.

1

例3已知f(x)=不！

(1)求f(-1),f(0)和f(2)；

(2)求函數(shù)f(x)的值域.

【嘗試與發(fā)現(xiàn)】

*=3

判斷方程

f(4)=7317714

1,

f(o)=^-=i

o+l

9/

5

(2)(方法一)因為xK),所以X2+G1恒成立，從而可知

又因為當x的絕對值逐漸變大時，函數(shù)值會逐漸接近于0,但不會等于0,因此所求函數(shù)的值域為(0,

1

(方法二)假設t是所求值域中的元素，則關于x的方程蕨彘演，即應該有解，反一1

即胡法QW1.因此所求值域為(0,1].

例3(2)中的方法一實質上用的是不等式的性質.

二、函數(shù)的表示方法

前面我們所接觸到的函數(shù)y=f(x)中，絕大多數(shù)f(x)都是用代數(shù)式(或解析式)來表示的，例如f

(x)=2x+l,這種表示函數(shù)的方法稱為解析法.

前面給出的關于中國創(chuàng)新指數(shù)的函數(shù)，實際上是用列表的形式給出了函數(shù)的對應關系，這種表示函數(shù)

的方法稱為列表法.如果將這個函數(shù)記為i=f(y),則從表格中可以看出

f(2013)=152.6,f(2015)=171.5

另外，如果將這個函數(shù)的定義域記為D,值域記為S,則有

D={2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015),

S=H165125.5,131.8,139.6,148.2252.635821765}

前面給出的與心電圖有關的函數(shù)，實際上是用圖的形式給出了函數(shù)的對應關系.

一般地，將函數(shù)y=f(x),xeA中的自變量x和對應的函數(shù)值y,分別看成平面直角坐標系中點的橫

坐標與縱坐標，則滿足條件的點(x,y)組成的集合F稱為函數(shù)的圖像，即

F={(x,y)|y=f(x),xeA).

這就是說，如果F是函數(shù)y=f(x)的圖像，則圖像上任意一點的坐標(x,y)都滿足函數(shù)關系y=f(x)；

反之，滿足函數(shù)關系y=f(x)的點(x,y)都在函數(shù)的圖像F上.

用函數(shù)的圖像表示函數(shù)的方法稱為圖像法.

從理論上來說，要作出一個函數(shù)的圖像，只需描出所有點即可.但是，很多函數(shù)的圖像都由無窮多個點

組成，描出所有點并不現(xiàn)實.因此，實際作圖時，經常先描出函數(shù)圖像上一些有代表性的點，然后再根據(jù)有

關性質作出函數(shù)圖像，這稱為描點作圖法.

例如，我們知道，一次的數(shù)y=-x+l的圖像是一條直線，又易知圖像過點(0,1)和(1,0),所以容

易作出其圖像如下圖所示.

【典型例題】

例4北京市自2014年5月1日起，居民用水實行階梯水價：年用水量不超過1801n3的部分，水價為5元/irf；

超過180m3但不超過260m3的部分，水價為7元/n?.如果北京市一居民年用水量為xnP,其要繳納的水費為

f(x)元。假設gxW260,試寫出f(x)的解析式，并作出f(x)的圖像.

解如果xe[0,180],則f(x)=5x；

如果xe(180,260],按照題意有

f(x)=5x80+7(x-180)=7x-360.

因此

f(x)=5x,xe[0,180J

7x-360,xe(180,260]

注意到f(x)在不同的區(qū)間上，解析式都是一次函數(shù)的形式，因此y=f(x)在每個區(qū)間上的圖像都是

直線的一部分，又因為

f(180)=5x180=900,

f(260)=7x60-360=1460,

由此可作出函數(shù)圖像如下所示.

如果一個函數(shù)，在其定義域內，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應方式，則稱其為分段函數(shù).

【嘗試與發(fā)現(xiàn)】

函數(shù)Dx￡Q

=0,x《Q被稱為秋利克雷函數(shù)，你能說出這個函數(shù)的定義域、值

例5段x為仕總一個頭數(shù)，y是個超江x的最大整數(shù)，判斷區(qū)神對回天東是否是出數(shù)。如果是，I乍出這個函

數(shù)的圖像；如果不是，說明理由。

【嘗試與發(fā)現(xiàn)】

依照題意填寫下表，然后判斷對應關系是否是函數(shù)。

6.895x—1.5

因為任何一個實數(shù)x,都必定在某個形如[n,n+1)的區(qū)間內.因此給定一個x,有唯一的y與之對應,

所以這種對應關系是函數(shù)。

由上可看出，在每一個區(qū)間[n,n+1)內，函數(shù)的圖像是直線的一部分，由此可作出這個函數(shù)的圖像如

下圖所示。

例5中的函數(shù)通常稱為取整函數(shù)，記作

y=[x],

其定義域是旦，值域是萬一'一'—」

這個函數(shù)早在18世紀就被“數(shù)學王子”高斯提出，因此也被稱為高斯取整函數(shù).

在以后的學習中，我們還會碰到值域只有一個元素的函數(shù)，這類函數(shù)通常稱為常數(shù)函數(shù).也就是說，常

數(shù)函數(shù)中所有自變量對應的函數(shù)值都相等.例如f(x)=7,xeR是一個常數(shù)函數(shù)，它的值域是山，圖像是

一條垂直于y軸的直線.

例6已知函數(shù)y=《，指出這個函數(shù)的定義域、值域，并作出這個函數(shù)的圖像.

解函數(shù)的定義域為［0,+oo).由y=4在yK)時有解可知，函數(shù)的值域為［0,+8).

通過描點作圖法，可以作出這個函數(shù)的圖像如下圖所示.

由上可以看出，函數(shù)可以通過多種方式表示，而且函數(shù)的解析式也具有多種形式.在確定函數(shù)的解析式

時，可以借助方程或方程組的知識，使用待定系數(shù)法完成，如例7所示.

例7已知二次函數(shù)的圖像過點(-1,4),(0,1),(1,2),求這個二次函數(shù)的解析式.

解設函數(shù)解析式為y=ax?+bx+c(a#)),則

a-b+c=4,