素?cái)?shù)篩分算法的優(yōu)化

1/1素?cái)?shù)篩分算法的優(yōu)化第一部分本質(zhì)改進(jìn)：埃拉托斯特尼篩法的優(yōu)化 2第二部分增量法：降低篩分復(fù)雜度 4第三部分位運(yùn)算優(yōu)化：提升篩分效率 7第四部分?jǐn)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)選?。豪梦粩?shù)組加速篩分 9第五部分分段篩分算法：擴(kuò)展數(shù)域處理 11第六部分歐拉篩法：基于素?cái)?shù)性質(zhì)的改進(jìn) 14第七部分線性篩法：漸進(jìn)式素?cái)?shù)篩除 16第八部分桶排序優(yōu)化：加速篩分后處理 19

第一部分本質(zhì)改進(jìn)：埃拉托斯特尼篩法的優(yōu)化關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)本質(zhì)改進(jìn)：埃拉托斯特尼篩法的優(yōu)化

主題名稱：平方根過濾

1.僅需篩查小于等于待篩素?cái)?shù)平方根的正整數(shù)，因?yàn)榇笥谠摲秶暮蠑?shù)必然可以表示為兩個(gè)小于該范圍的素?cái)?shù)之積。

2.可將篩選時(shí)間復(fù)雜度從O(nloglogn)優(yōu)化到O(n)。

主題名稱：只有奇數(shù)需要篩查

本質(zhì)改進(jìn)：埃拉托斯特尼篩法的優(yōu)化

埃拉托斯特尼篩法是一種用于尋找素?cái)?shù)的經(jīng)典算法。它通過逐個(gè)標(biāo)記復(fù)合數(shù)來識(shí)別素?cái)?shù)，該過程重復(fù)進(jìn)行，直到標(biāo)記出所有復(fù)合數(shù)。

然而，埃拉托斯特尼篩法存在一些固有缺點(diǎn)，特別是在處理大范圍時(shí)。主要瓶頸之一是標(biāo)記過程的重復(fù)性。每個(gè)數(shù)字都被檢查多次，以確定是否為復(fù)合數(shù)，即使它已被標(biāo)記為非素?cái)?shù)。

為了解決此問題，可以對(duì)埃拉托斯特尼篩法進(jìn)行本質(zhì)改進(jìn)，重點(diǎn)是減少標(biāo)記過程的重復(fù)。這種改進(jìn)最著名的方法之一是Wheelfactorization。

Wheelfactorization

Wheelfactorization是一種技巧，它利用數(shù)字在模30下的同余關(guān)系來加速埃拉托斯特尼篩法。它基于以下觀察：

*模30所有復(fù)合數(shù)的最小質(zhì)因子都小于30。

*具有相同模30同余類的數(shù)字具有相同的最小質(zhì)因子。

因此，通過僅考慮每個(gè)模30類的最小質(zhì)因子，可以消除大量重復(fù)標(biāo)記。具體來說，Wheelfactorization算法如下：

1.創(chuàng)建一個(gè)長(zhǎng)度為30的布爾數(shù)組，將其全部初始化為False。

2.設(shè)置變量`p`，初始值為2。

3.對(duì)于每個(gè)`i`從`p`到`n`：

*如果`array[i%30]`為True，則跳過。

*否則，將`array[i%30]`標(biāo)記為True，并循環(huán)遍歷`i`的所有倍數(shù)，將相應(yīng)的數(shù)組元素標(biāo)記為True。

4.將`p`增至下一個(gè)未標(biāo)記的最小質(zhì)因子。

通過利用模30同余關(guān)系，Wheelfactorization消除了一半以上的標(biāo)記操作。這極大地提高了算法的效率，尤其是在處理大整數(shù)集合時(shí)。

其他本質(zhì)改進(jìn)

除了Wheelfactorization，還有其他本質(zhì)改進(jìn)可以應(yīng)用于埃拉托斯特尼篩法：

*Linearsieve：此算法使用線性搜索而不是數(shù)組標(biāo)記來識(shí)別素?cái)?shù)。它比經(jīng)典的埃拉托斯特尼篩法更快，但空間利用率較低。

*Segmentsieve：此算法將輸入范圍劃分為較小的段，并為每個(gè)段單獨(dú)應(yīng)用埃拉托斯特尼篩法。這可以在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)上提高緩存效率。

*Countingsieve：此算法通過計(jì)算給定范圍內(nèi)素?cái)?shù)的數(shù)量而不是直接枚舉素?cái)?shù)來優(yōu)化篩分過程。它對(duì)于需要快速查找給定范圍內(nèi)素?cái)?shù)數(shù)量的應(yīng)用程序很有用。

結(jié)論

通過應(yīng)用本質(zhì)改進(jìn)，例如Wheelfactorization，埃拉托斯特尼篩法可以顯著加速素?cái)?shù)查找過程。這些改進(jìn)消除了重復(fù)標(biāo)記，利用了數(shù)學(xué)性質(zhì)，并優(yōu)化了算法在現(xiàn)代硬件上的性能。通過整合這些本質(zhì)改進(jìn)，研究人員和從業(yè)者可以有效地處理大范圍的素?cái)?shù)篩分問題。第二部分增量法：降低篩分復(fù)雜度關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【增量法：降低篩分復(fù)雜度】

1.概念：

-增量法是一種素?cái)?shù)篩分算法，它通過使用遞增的增量來識(shí)別非素?cái)?shù)。

-與傳統(tǒng)的埃氏篩法相比，增量法可以減少篩分的復(fù)雜度，尤其是在查找較大的素?cái)?shù)時(shí)。

2.增量選擇：

-增量法的關(guān)鍵在于選擇合適的增量。

-最佳增量通常為一個(gè)小于篩分的范圍且與篩分的范圍互素的質(zhì)數(shù)。

-例如，對(duì)于范圍為[0,N]的篩分，增量6非常合適，因?yàn)樗∮贜且與N互素。

3.算法步驟：

-從給定的范圍內(nèi)選擇一個(gè)合適的增量。

-從最小數(shù)開始，對(duì)篩分范圍中的每個(gè)數(shù)進(jìn)行標(biāo)記：

-如果該數(shù)為非素?cái)?shù)，則標(biāo)記為已篩除。

-否則，將該數(shù)標(biāo)記為素?cái)?shù)。

-以所選增量為間隔，對(duì)篩分范圍中的每個(gè)標(biāo)記為素?cái)?shù)的數(shù)進(jìn)行篩除。

-篩除的次數(shù)等于篩選范圍的平方根除以增量。

【優(yōu)化方法】

增量法：降低篩分復(fù)雜度

引言

素?cái)?shù)篩分算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)中用于尋找素?cái)?shù)的重要算法。增量法是一種高度優(yōu)化的素?cái)?shù)篩分算法，可以顯著降低復(fù)雜度。本節(jié)將深入探討增量法背后的原理和實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)。

概述

增量法利用了素?cái)?shù)的分布特性，即素?cái)?shù)在數(shù)軸上的分布是不均勻的。在該方法中，篩選過程不再逐個(gè)數(shù)字進(jìn)行，而是根據(jù)素?cái)?shù)的分布規(guī)律，以指定的增量遍歷數(shù)字。

原理

增量法的核心原理是基于埃拉托斯特尼篩法的概念。埃拉托斯特尼篩法從2開始標(biāo)記所有偶數(shù)的倍數(shù)，從3開始標(biāo)記所有3的倍數(shù)，以此類推。然而，增量法只標(biāo)記素?cái)?shù)的倍數(shù)。

具體來說，增量法以素?cái)?shù)的平方為增量。對(duì)于給定的素?cái)?shù)p，從p^2開始，以p為增量標(biāo)記所有p的倍數(shù)。這種策略確保了每個(gè)整數(shù)只會(huì)被其最小素因子標(biāo)記一次，從而避免了重復(fù)標(biāo)記。

算法步驟

增量法算法的步驟如下：

1.初始化一個(gè)布爾數(shù)組`isPrime`，長(zhǎng)度為n，其中n是要篩查的數(shù)字范圍的上限。

2.將`isPrime[0]`和`isPrime[1]`設(shè)為`False`，因?yàn)?和1不是素?cái)?shù)。

3.從2開始，對(duì)于每個(gè)未標(biāo)記的素?cái)?shù)p，執(zhí)行以下步驟：

a.將`isPrime[p^2]`至`isPrime[n]`范圍內(nèi)所有p的倍數(shù)標(biāo)記為`False`。

b.將p的增量更新為p+2*p。

4.返回`isPrime`數(shù)組，其中`isPrime[i]=True`表示i是素?cái)?shù)。

復(fù)雜度分析

增量法的復(fù)雜度主要取決于素?cái)?shù)的分布。如果假設(shè)素?cái)?shù)的分布遵循質(zhì)數(shù)分布定理，則算法的預(yù)期復(fù)雜度為O(nloglogn)。

優(yōu)點(diǎn)

增量法相較于其他素?cái)?shù)篩法具有以下優(yōu)點(diǎn)：

*降低復(fù)雜度：通過只標(biāo)記素?cái)?shù)的倍數(shù)，增量法減少了不必要的標(biāo)記操作，從而降低了復(fù)雜度。

*減少內(nèi)存消耗：增量法只需存儲(chǔ)布爾數(shù)組`isPrime`，而其他算法可能需要額外的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來存儲(chǔ)標(biāo)記信息。

局限性

增量法的局限性在于：

*只適用于尋找小范圍的素?cái)?shù)：增量法在尋找大范圍的素?cái)?shù)時(shí)效率較低。

*需要預(yù)先知道的素?cái)?shù)：該算法需要預(yù)先知道一些素?cái)?shù)，以啟動(dòng)篩選過程。

結(jié)論

增量法是一種高度優(yōu)化的素?cái)?shù)篩分算法，可以顯著降低算法的復(fù)雜度。其原理基于素?cái)?shù)的分布特性，通過只標(biāo)記素?cái)?shù)的倍數(shù)，減少了不必要的標(biāo)記操作。增量法適用于尋找小范圍的素?cái)?shù)，并具有較低的內(nèi)存消耗，使其成為特定應(yīng)用場(chǎng)合的理想選擇。第三部分位運(yùn)算優(yōu)化：提升篩分效率關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【位運(yùn)算優(yōu)化：提升篩分效率】

1.位運(yùn)算的基本原理：位運(yùn)算使用二進(jìn)制位來表示數(shù)字，通過按位操作（如AND、OR、XOR）快速處理數(shù)據(jù)。

2.篩法中的位運(yùn)算應(yīng)用：位運(yùn)算可用于在數(shù)組中高效標(biāo)記素?cái)?shù)。具體來說，將數(shù)組視為一個(gè)二進(jìn)制位圖，其中每個(gè)位對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)字。素?cái)?shù)對(duì)應(yīng)的位置被標(biāo)記為0，否則標(biāo)記為1。

3.位運(yùn)算優(yōu)化的好處：相較于樸素篩法，位運(yùn)算篩法具有更快的速度和更小的空間開銷。它可以更有效地在更大的范圍內(nèi)查找素?cái)?shù)。

【數(shù)組優(yōu)化：內(nèi)存高效篩分】

位運(yùn)算優(yōu)化：提升篩分效率

在素?cái)?shù)篩分算法中，位運(yùn)算優(yōu)化是一種通過利用位操作來提高篩選效率的技術(shù)。該技術(shù)主要基于這樣一個(gè)事實(shí)：對(duì)于任何正整數(shù)n，其二進(jìn)制表示中的每個(gè)比特位對(duì)應(yīng)于一個(gè)與n互質(zhì)的奇素?cái)?shù)。具體來說，第i位（從右向左數(shù)，i=0表示最低位）被置為1表明n不與第2i+1個(gè)素?cái)?shù)互質(zhì)。

優(yōu)化原則

位運(yùn)算優(yōu)化的核心思想是利用位操作來高效地記錄和更新素?cái)?shù)的狀態(tài)。具體來說，優(yōu)化步驟如下：

1.初始化：創(chuàng)建一個(gè)大小為n/2+1的位數(shù)組P，其中P[0]始終保持為0，因?yàn)?是唯一一個(gè)偶數(shù)素?cái)?shù)。

2.素?cái)?shù)標(biāo)記：對(duì)于i=3到sqrt(n)的每個(gè)奇數(shù)j，將P[j//8]的第j%8位置為1，表示j是素?cái)?shù)。

3.篩除非素?cái)?shù)：對(duì)于i=3到sqrt(n)的每個(gè)奇數(shù)p，如果P[p//8]&(1<<(p%8))為0，則表明p是素?cái)?shù)。然后，從i^2開始，以p為步長(zhǎng)標(biāo)記其倍數(shù)，將相應(yīng)位置位為1。

算法流程

```

初始化：

P[0]=0;

for(inti=1;i<=n/8;i++)

P[i]=0xFFFFFFFF;

素?cái)?shù)標(biāo)記：

for(intj=3;j<=sqrt(n);j+=2)

if(P[j//8]&(1<<(j%8))==0)

for(intk=j*j;k<=n;k+=j)

P[k//8]&=~(1<<(k%8));

輸出素?cái)?shù)：

for(inti=3;i<=n;i+=2)

if(P[i//8]&(1<<(i%8))==0)

輸出i;

```

優(yōu)化效果

位運(yùn)算優(yōu)化顯著提高了素?cái)?shù)篩分算法的效率。與使用除法標(biāo)記素?cái)?shù)的傳統(tǒng)方法相比，位運(yùn)算優(yōu)化避免了昂貴的除法和取模操作，從而減少了計(jì)算時(shí)間。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該優(yōu)化可以將篩分算法的速度提高2-5倍。

總結(jié)

位運(yùn)算優(yōu)化是素?cái)?shù)篩分算法中一種有力且有效的優(yōu)化技術(shù)。通過利用位操作來高效地記錄和更新素?cái)?shù)狀態(tài)，該優(yōu)化顯著提高了篩選效率，從而使其成為在較大數(shù)據(jù)集上快速識(shí)別素?cái)?shù)的實(shí)用方法。第四部分?jǐn)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)選?。豪梦粩?shù)組加速篩分關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)選取

1.位數(shù)組的優(yōu)勢(shì)：位數(shù)組將整數(shù)中的每個(gè)位視為一個(gè)標(biāo)志位，利用二進(jìn)制的特性表示質(zhì)數(shù)狀態(tài)，優(yōu)化了空間占用并加快查找速度。

2.按位操作的效率：位數(shù)組支持按位操作，如按位取反、按位與等，這些操作可以高效地更新和查詢質(zhì)數(shù)狀態(tài)。

3.緊湊存儲(chǔ)：位數(shù)組以緊湊的方式存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，每個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)位，減少了存儲(chǔ)空間需求，提升了查詢效率。

篩分策略優(yōu)化

1.優(yōu)化初篩段：增大了初篩區(qū)間，提高篩分的效率，同時(shí)對(duì)偶數(shù)進(jìn)行快速過濾，減少了無用篩查。

2.多線程并行：將篩分任務(wù)分解成多個(gè)子任務(wù)，使用多線程并發(fā)執(zhí)行，充分利用多核處理器的優(yōu)勢(shì)，提升整體篩分速度。

3.動(dòng)態(tài)篩選范圍：根據(jù)篩分結(jié)果動(dòng)態(tài)調(diào)整后續(xù)篩選范圍，減少不必要的篩查，提高篩選效率。位數(shù)組加速素?cái)?shù)篩法：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化

前言

素?cái)?shù)篩法是一種經(jīng)典算法，用于快速找出特定范圍內(nèi)的素?cái)?shù)。它的核心思想是將一個(gè)連續(xù)的整數(shù)集合標(biāo)記為素?cái)?shù)或非素?cái)?shù)，然后通過不斷篩除非素?cái)?shù)來確定素?cái)?shù)。

位數(shù)組的優(yōu)勢(shì)

在素?cái)?shù)篩法中，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的選擇至關(guān)重要，因?yàn)樗鼤?huì)影響算法的效率。最常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是數(shù)組，每個(gè)元素表示一個(gè)整數(shù)。然而，數(shù)組存在一個(gè)缺點(diǎn)：它需要占用大量的內(nèi)存，尤其是在處理大范圍整數(shù)時(shí)。

為了解決這個(gè)問題，可以采用位數(shù)組。位數(shù)組是一種緊湊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它將整數(shù)存儲(chǔ)為二進(jìn)制位，每個(gè)二進(jìn)制位對(duì)應(yīng)一個(gè)整數(shù)。這種方法可以顯著減少內(nèi)存占用，因?yàn)槊總€(gè)整數(shù)只需要一個(gè)二進(jìn)制位。

位數(shù)組實(shí)現(xiàn)

在素?cái)?shù)篩法中，位數(shù)組可以用來標(biāo)記整數(shù)是否為素?cái)?shù)。具體實(shí)現(xiàn)如下：

1.創(chuàng)建一個(gè)長(zhǎng)度為范圍上限的位數(shù)組。

2.將所有元素初始化為0，表示它們都不是素?cái)?shù)。

3.從2開始，依次循環(huán)每個(gè)整數(shù)。

4.如果當(dāng)前整數(shù)是素?cái)?shù)，則將位數(shù)組中對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為1。

5.否則，將位數(shù)組中當(dāng)前整數(shù)的所有倍數(shù)的位置標(biāo)記為0。

標(biāo)記素?cái)?shù)

在篩分過程中，需要標(biāo)記素?cái)?shù)。對(duì)于每個(gè)素?cái)?shù)p：

1.將位數(shù)組中p的位置標(biāo)記為1。

2.從p的平方開始，以p為步長(zhǎng)標(biāo)記所有倍數(shù)的位置為0。

篩除非素?cái)?shù)

接下來，需要篩除非素?cái)?shù)：

1.遍歷位數(shù)組中的每個(gè)位置，如果位置的值為0，則表明對(duì)應(yīng)的整數(shù)是非素?cái)?shù)。

2.將非素?cái)?shù)從結(jié)果集中移除。

復(fù)雜度分析

使用位數(shù)組優(yōu)化后的素?cái)?shù)篩法的時(shí)間復(fù)雜度為O(nloglogn)，其中n是待篩查的整數(shù)范圍的上限。這與傳統(tǒng)數(shù)組實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度相同，但內(nèi)存占用顯著減少。

結(jié)論

使用位數(shù)組加速素?cái)?shù)篩法是一種有效的優(yōu)化方法，它可以顯著減少內(nèi)存占用，而不會(huì)影響算法的效率。這使得素?cái)?shù)篩法即使在處理大范圍整數(shù)時(shí)也能高效地執(zhí)行。第五部分分段篩分算法：擴(kuò)展數(shù)域處理分段篩分算法：擴(kuò)展數(shù)域處理

#原理

分段篩分算法是一種素?cái)?shù)篩法，它將整數(shù)范圍劃分為若干段，在每段內(nèi)對(duì)素?cái)?shù)進(jìn)行篩選。其核心思想是利用線性篩法的思想，在每段內(nèi)找到一定范圍內(nèi)的所有素?cái)?shù)，然后利用這些素?cái)?shù)對(duì)其余的數(shù)進(jìn)行標(biāo)記。

在基本分段篩分算法中，整數(shù)范圍被劃分為若干長(zhǎng)度為$M$的段，其中$M$是一個(gè)預(yù)先確定的常數(shù)。在每段內(nèi)，算法使用線性篩法找到范圍為$[Mn,(M+1)n]$內(nèi)的所有素?cái)?shù)，然后利用這些素?cái)?shù)對(duì)其余的數(shù)進(jìn)行標(biāo)記。

然而，在某些特殊情況下，基本分段篩分算法可能無法有效處理某些數(shù)域內(nèi)的素?cái)?shù)。例如，在處理$10^9$這樣的數(shù)域時(shí)，使用長(zhǎng)度為$M=1000000$的段可能導(dǎo)致效率低下，因?yàn)樵谶@個(gè)數(shù)域內(nèi)存在大量素?cái)?shù)。

為了解決這個(gè)問題，分段篩分算法可以擴(kuò)展其數(shù)域處理能力，通過將整數(shù)范圍劃分為更小的段來提高效率。具體而言，算法可以將整數(shù)范圍劃分為長(zhǎng)度為$M_1,M_2,...,M_k$的$k$個(gè)段，其中$M_1<M_2<...<M_k$。在每段內(nèi)，算法使用線性篩法找到范圍為$[Mn,(M+1)n]$內(nèi)的所有素?cái)?shù)，然后利用這些素?cái)?shù)對(duì)其余的數(shù)進(jìn)行標(biāo)記。

#算法步驟

擴(kuò)展數(shù)域處理的分段篩分算法步驟如下：

1.確定整數(shù)范圍$N$和段長(zhǎng)度$M_1,M_2,...,M_k$。

2.對(duì)于每個(gè)段$[Mn,(M+1)n]$：

-使用線性篩法找到范圍為$[Mn,(M+1)n]$內(nèi)的所有素?cái)?shù)。

-利用這些素?cái)?shù)對(duì)其余的數(shù)進(jìn)行標(biāo)記。

3.標(biāo)記所有未被標(biāo)記的數(shù)。

#復(fù)雜度

擴(kuò)展數(shù)域處理的分段篩分算法的復(fù)雜度主要取決于段長(zhǎng)度$M_1,M_2,...,M_k$的選擇。最優(yōu)的段長(zhǎng)度取決于整數(shù)范圍$N$和素?cái)?shù)分布情況。一般來說，較小的段長(zhǎng)度可以提高算法的效率，但會(huì)增加算法使用的空間。

對(duì)于整數(shù)范圍$N$，最佳的段長(zhǎng)度序列$M_1,M_2,...,M_k$可以通過以下公式計(jì)算：

```

```

#應(yīng)用

擴(kuò)展數(shù)域處理的分段篩分算法可以應(yīng)用于各種素?cái)?shù)計(jì)算和數(shù)論問題。以下是其一些應(yīng)用場(chǎng)景：

*尋找給定范圍內(nèi)的所有素?cái)?shù)。

*計(jì)算小于給定數(shù)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。

*求解哥德巴赫猜想。

*解決費(fèi)馬小定理和歐拉定理中的問題。

#優(yōu)點(diǎn)

擴(kuò)展數(shù)域處理的分段篩分算法具有以下優(yōu)點(diǎn)：

*效率高，特別是對(duì)于大型整數(shù)范圍。

*可以處理擴(kuò)展的數(shù)域。

*易于實(shí)現(xiàn)和理解。

#缺點(diǎn)

擴(kuò)展數(shù)域處理的分段篩分算法也有一些缺點(diǎn)：

*需要存儲(chǔ)大量的臨時(shí)數(shù)據(jù)，這可能導(dǎo)致內(nèi)存消耗高。

*對(duì)于較小的整數(shù)范圍，算法的效率可能不如基本的分段篩分算法。

#總結(jié)

擴(kuò)展數(shù)域處理的分段篩分算法是一種強(qiáng)大的素?cái)?shù)篩法，它可以處理擴(kuò)展的數(shù)域并具有較高的效率。通過優(yōu)化段長(zhǎng)度，算法可以在各種素?cái)?shù)計(jì)算和數(shù)論問題中發(fā)揮作用。第六部分歐拉篩法：基于素?cái)?shù)性質(zhì)的改進(jìn)關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【歐拉篩法：基于素?cái)?shù)性質(zhì)的改進(jìn)】

1.歐拉篩法的原理：利用素?cái)?shù)的性質(zhì)，判斷每個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，并標(biāo)記已篩除的非質(zhì)數(shù)。

2.篩除過程：從2開始，逐個(gè)遍歷每個(gè)數(shù)，若該數(shù)為質(zhì)數(shù)，則標(biāo)記其所有倍數(shù)為非質(zhì)數(shù)。

3.算法復(fù)雜度：時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，空間復(fù)雜度為O(n)，其中n為要篩查的最大整數(shù)。

【預(yù)處理出最小質(zhì)因子】

歐拉篩法：基于素?cái)?shù)性質(zhì)的改進(jìn)

歐拉篩法是素?cái)?shù)篩分算法中一種基于素?cái)?shù)性質(zhì)的優(yōu)化方法，它通過利用素?cái)?shù)的性質(zhì)來減少篩查的次數(shù)，從而提高算法的效率。

算法原理

歐拉篩法的主要思想是：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)n，如果i是一個(gè)小于等于n的素?cái)?shù)，那么i的倍數(shù)都不是素?cái)?shù)，可以直接將它們標(biāo)記為非素?cái)?shù)。

具體的算法步驟如下：

1.初始化一個(gè)布爾數(shù)組isPrime，其中isPrime[i]表示i是否為素?cái)?shù)。

2.初始化所有isPrime[i]為true。

3.遍歷從2到n的每個(gè)正整數(shù)i，如果isPrime[i]為true，則：

-將i標(biāo)記為素?cái)?shù)（isPrime[i]=true）。

-對(duì)于i的倍數(shù)j（j=i^2,i^2+i,...,n），將isPrime[j]標(biāo)記為false。

算法分析

時(shí)間復(fù)雜度：

歐拉篩法的平均時(shí)間復(fù)雜度為O(nloglogn)，這比埃拉托斯特尼篩法（O(nloglogn)）的平均時(shí)間復(fù)雜度略有提高。

空間復(fù)雜度：

歐拉篩法需要一個(gè)布爾數(shù)組isPrime來存儲(chǔ)每個(gè)正整數(shù)的素?cái)?shù)狀態(tài)，因此其空間復(fù)雜度為O(n)。

優(yōu)化

批量標(biāo)記：

當(dāng)遇到一個(gè)素?cái)?shù)i時(shí)，可以一次性標(biāo)記i的所有倍數(shù)，而不是逐個(gè)標(biāo)記。這可以通過預(yù)先計(jì)算i的倍數(shù)來實(shí)現(xiàn)，并將它們存儲(chǔ)在一個(gè)列表中。

篩除較小的素?cái)?shù)：

由于小于或等于sqrt(n)的素?cái)?shù)是所有素?cái)?shù)的因子，因此可以先篩除這些素?cái)?shù)，然后再篩除更大的素?cái)?shù)。

使用位圖：

可以使用位圖（bitmap）來存儲(chǔ)isPrime數(shù)組，從而減少存儲(chǔ)空間并加快查找速度。

應(yīng)用

歐拉篩法廣泛應(yīng)用于需要查找素?cái)?shù)或分解整數(shù)的問題中，例如：

*素?cái)?shù)表生成

*素因數(shù)分解

*質(zhì)數(shù)判定

代碼示例

```python

defeuler_sieve(n):

isPrime=[True]*(n+1)

isPrime[0]=isPrime[1]=False

foriinrange(2,int(n0.5)+1):

ifisPrime[i]:

forjinrange(i*i,n+1,i):

isPrime[j]=False

returnisPrime

```第七部分線性篩法：漸進(jìn)式素?cái)?shù)篩除關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【線性篩法：漸進(jìn)式素?cái)?shù)篩除】

1.線性篩法是一種漸進(jìn)式素?cái)?shù)篩除算法，其核心思想是維護(hù)一個(gè)素?cái)?shù)表，逐步篩除合數(shù)，找出范圍內(nèi)的素?cái)?shù)。

2.算法利用埃拉托斯特尼篩法的原理，從2開始，將每個(gè)未被標(biāo)記的數(shù)及其倍數(shù)標(biāo)記為合數(shù)。

3.與埃拉托斯特尼篩法相比，線性篩法效率更高，僅需遍歷sqrt(n)個(gè)數(shù)，即可得到范圍[1,n]內(nèi)的所有素?cái)?shù)。

【輪轉(zhuǎn)篩法：改進(jìn)線性篩法】

線性篩法：漸進(jìn)式素?cái)?shù)篩除

線性篩法是一種漸進(jìn)式素?cái)?shù)篩除算法，它通過迭代地標(biāo)記非素?cái)?shù)的方式來識(shí)別素?cái)?shù)。該算法基于這樣一個(gè)事實(shí)：對(duì)于任何大于1的整數(shù)n，它的最小素因子一定是小于等于√n的素?cái)?shù)。

#算法步驟：

1.初始化：創(chuàng)建一個(gè)大小為n+1的布爾數(shù)組is_prime，其中n是要篩除的整數(shù)上限。將所有元素初始化為True。

2.標(biāo)記質(zhì)數(shù)2：將is_prime[2]設(shè)置為True，因?yàn)樗且粋€(gè)素?cái)?shù)。

3.遍歷奇數(shù)：從i=3開始，以步長(zhǎng)2遞增，直到i>√n。

4.若i為素?cái)?shù)：

-將is_prime[i]設(shè)置為True。

-對(duì)于所有j=i^2，以步長(zhǎng)i遞增，直到j(luò)<=n：

-將is_prime[j]設(shè)置為False，因?yàn)閖是i的倍數(shù)，因此不是素?cái)?shù)。

5.輸出素?cái)?shù)：遍歷is_prime數(shù)組，并輸出所有is_prime[i]為True的i值。

#示例：

對(duì)于n=20，線性篩法的步驟如下：

1.初始化：is_prime=[True]*21

2.標(biāo)記2：is_prime[2]=True

3.遍歷奇數(shù)：i=3,5,7,9,11,13,15,17,19

4.標(biāo)記質(zhì)數(shù)：

-i=3：is_prime[3]=True，is_prime[9]=False,is_prime[15]=False

-i=5：is_prime[5]=True，is_prime[25]=False

-i=7：is_prime[7]=True，is_prime[49]=False

-i=9：is_prime[9]已被標(biāo)記為False

-i=11：is_prime[11]=True，is_prime[121]=False

-i=13：is_prime[13]=True，is_prime[169]=False

-i=15：is_prime[15]已被標(biāo)記為False

-i=17：is_prime[17]=True，is_prime[289]=False

-i=19：is_prime[19]=True，is_prime[361]=False

5.輸出素?cái)?shù)：2,3,5,7,11,13,17,19

#算法復(fù)雜度：

線性篩法的復(fù)雜度為O(nloglogn)。

#優(yōu)勢(shì)：

*漸進(jìn)性：線性篩法可以在需要時(shí)逐步生成素?cái)?shù)。

*空間效率：它只需要一個(gè)大小為n+1的數(shù)組，與范圍內(nèi)的所有整數(shù)相比，空間成本很低。

*快速：對(duì)于大型數(shù)據(jù)集，線性篩法通常比其他素?cái)?shù)篩除算法更快。

#局限性：

*上限依賴：線性篩法需要預(yù)先知道要篩除的整數(shù)上限。

*不適用于較小數(shù)據(jù)集：對(duì)于較小的數(shù)據(jù)集，線性篩法可能比其他方法（例如埃拉托斯特尼篩法）更慢。

#應(yīng)用：

線性篩法廣泛用于以下應(yīng)用中：

*素?cái)?shù)計(jì)數(shù)和分布研究

*密碼學(xué)

*數(shù)論和組合學(xué)

*數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法設(shè)計(jì)第八部分桶排序優(yōu)化：加速篩分后處理關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【桶排序優(yōu)化：加速篩分后處理】

1.桶排序概述

-桶排序是一種非比較排序算法，將數(shù)據(jù)元素分配到多個(gè)桶中，每個(gè)桶存儲(chǔ)特定范圍內(nèi)的值。

-對(duì)于素?cái)?shù)篩分，桶可以根據(jù)素?cái)?shù)的范圍進(jìn)行劃分，例如1-100、101-200等。

2.桶排序的應(yīng)用

-在素?cái)?shù)篩分后，使用桶排序可以將非素?cái)?shù)元素集中到特定的桶中，以便于后續(xù)處理。

-桶排序的復(fù)雜度為O(n+k)，其中n是待排序元素的數(shù)量，k是桶的數(shù)量。對(duì)于素?cái)?shù)篩分，k通常較小，因此桶排序可以顯著提升后處理效率。

3.桶排序的優(yōu)化

-確定合適的桶大小：桶的大小應(yīng)根據(jù)待篩分的數(shù)字范圍和非素?cái)?shù)的分布情況進(jìn)行調(diào)整，以最大程度地提高排序效率。

-使用散列函數(shù)：可以使用散列函數(shù)將元素分配到桶中，以降低時(shí)間復(fù)雜度。

-多級(jí)桶排序：對(duì)于范圍較大的素?cái)?shù)篩分，可以采用多級(jí)桶排序，將數(shù)據(jù)元素分配到多個(gè)層次的桶中，進(jìn)一步提升排序速度。

【其他優(yōu)化策略】

桶排序優(yōu)化：加速篩分后處理

埃拉托斯特尼篩法是素?cái)?shù)篩分的經(jīng)典算法，通過標(biāo)記非素?cái)?shù)組合來有效確定范圍內(nèi)的素?cái)?shù)。然而，原始算法存在一個(gè)瓶頸，即在篩分過程中標(biāo)記的非素?cái)?shù)需要事后對(duì)其進(jìn)行過濾，才能獲得最終的素?cái)?shù)列表。

桶排序優(yōu)化就是針對(duì)這一瓶頸提出的改進(jìn)措施。它通過將篩選范圍內(nèi)的整數(shù)劃分為若干個(gè)桶來解決問題，具體步驟如下：

桶的劃分

1.確定篩選范圍：例如，若要篩選范圍為1到N的素?cái)?shù)，則N為篩選范圍的上界。

2.計(jì)算桶的數(shù)量：根據(jù)篩選范圍N和希望的桶大小b，計(jì)算桶的數(shù)量K=N/b。

3.創(chuàng)建桶數(shù)組：創(chuàng)建一個(gè)大小為K的數(shù)組B，每個(gè)元素B[i]表示一個(gè)桶。

篩分和桶分配

1.執(zhí)行素?cái)?shù)篩分：使用