四川省資陽市2024-2025學年高二數學下學期3月月考試題含解析

Page19四川省資陽市2024-2025學年高二數學下學期3月月考試題一、單項選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．1.拋物線的準線方程是，則實數的值為（）A. B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】化簡方程為，求得拋物線的準線方程，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，所以拋物線的準線方程為，因為拋物線的準線方程為，所以，解得.故選：B.2.若隨機變量，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】依據，求出，然后依據期望的性質求解.【詳解】因為，所以，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查隨機變量的計算，明確隨機變量期望的性質是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).3.已知是橢圓的兩焦點,過點的直線交橢圓于點A、B,若,則(

)A.11 B.10 C.9 D.16【答案】A【解析】【分析】由橢圓的方程求出橢圓的長軸長，再由橢圓的定義結合求得結果【詳解】如圖，由橢圓可得：，則又且則故選【點睛】本題主要考查了橢圓的簡潔性質，解題的關鍵是依據橢圓的定義即橢圓上的點到焦點的距離之和為，屬于基礎題．4.已知變量x，y具有線性相關關系，它們之間的一組數據如表所示，若y關于x的線性回來方程為1.3x﹣1，則m的值為（）x1234y0.11.8m4A.2.9 B.3.1 C.3.5 D.3.8【答案】B【解析】【分析】利用線性回來方程經過樣本中心點，即可求解.【詳解】解：由題意，2.5，代入線性回來方程為1.3x﹣1，可得2.25，∴0.1+1.8+m+4＝4×2.25，∴m＝3.1.故選：B.【點睛】本題考查線性回來方程經過樣本中心點，考查學生的計算實力，比較基礎.5.已知，，，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.75 D.0.25【答案】C【解析】【分析】先求得，由此求得.詳解】，所以.故選：C6.已知集合，從中任選兩個角，其正弦值相等的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據誘導公式確定正弦值相等的角有幾對，然后可計算出概率．【詳解】，，，，因此這一對正弦值相等，這三個中任取2個共有三對，它們正弦值相等，共有4對正弦值相等，而從5個角中任取2個有10種取法，∴概率為．故選：B．【點睛】本題考查古典概型，解題關鍵是求出基本領件的個數，可用列舉法寫出基本領件．7.五人并排站成一排，假如必需站在的右邊，（可以不相鄰）那么不同的排法有（）A.120種 B.90種 C.60種 D.24種【答案】C【解析】【分析】全排列求解出五人排成一排的全部排法，依據定序，利用縮倍法求出結果.【詳解】全部人排成一排共有：種排法站在右邊與站在右邊的狀況一樣多所求排法共有：種排法本題正確選項：【點睛】本題考查排列組合中的定序問題，定序問題通常采納縮倍法來進行求解.8.如圖，在正方體中，是側面內一動點，若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線【答案】D【解析】【分析】由于在平面內，而平面，因此有，這樣結合拋物線的定義可得結論．【詳解】在正方體中，肯定有，∴點為平面內到直線和到點的距離相等的點，其軌跡為拋物線．故選D．【點睛】本題考查拋物線的定義，考查立體幾何中的垂直關系．屬于跨章節(jié)綜合題，難度不大．9.若，則A.1 B.513 C.512 D.511【答案】D【解析】【詳解】令，得,令,得10.日降雨量是在24小時內著陸在某面積上的雨水深度．如圖某同學自制了一個底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器，若一次降雨過程中，該雨量器收集的24小時的雨水高度是150mm，則日降雨量的等級是（）等級……小雨中雨大雨暴雨……24h降雨量（精確到0.1mm）……0.1~9.910.0~24.925.0~49.950.0~99.9……A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨150mm【答案】B【解析】【分析】利用圓錐內積水的高度是圓錐總高度的一半，求出圓錐內積水部分的半徑，求出圓錐的體積，再求出平面上積水的厚度，由題意即可得到答案．【詳解】圓錐的體積為，因為圓錐內積水的高度是圓錐總高度的一半，所以圓錐內積水部分的半徑為，將，代入公式可得，圖上定義的是平地上積水的厚度，即平地上積水的高，平地上積水的體積為，且對于這一塊平地的面積，即為圓錐底面圓的面積，所以，則平地上積水的厚度，因為，由題意可知，這一天的雨水屬于中雨．故選：B11.過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題可知A（－1，0），所以直線L的方程為y=x+1，兩條漸近線方程為y=－bx或y=bx，聯立y=x+1和y=－bx得B的橫坐標為，同理得C的橫坐標為，∵|AB|=|BC|，∴B為AC中點，有，即有－，解得b=3或0（舍去0）所以e=，故選A．點評：中檔題，結合圖形特征，分析得到坐標關系，從而建立了b的方程，使問題得解．12.直線與拋物線C：交于A，B兩點，點P為拋物線的準線與x軸的交點，若，則（）A. B.3 C. D.6【答案】C【解析】【分析】由列方程求得兩點的橫坐標，結合拋物線的定義求得.【詳解】直線，過拋物線的焦點，設，，消去并化簡得，，.由于，所以，，，，，整理得，由于為正數，所以，所以.故選：C二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知綻開式中常數項為160，其中實數a是常數，則綻開式的各項系數和為______．【答案】729【解析】【分析】綻開式的通項公式為，由題意，可得，從而令即可得綻開式的各項系數和.【詳解】解：綻開式的通項公式為，因為綻開式中常數項為160，所以，解得，所以令可得綻開式的各項系數和為，故答案為：729.14.分別擲3枚質地勻稱的硬幣，設事務A為“第1枚為正面”，事務B為“第2枚為反面”，事務C為“3枚結果相同”，則下列說法中正確的序號有______．①事務AB與事務C互斥；②事務A與事務C相互獨立；③；④，事務AB與事務對立【答案】①②【解析】【分析】依據互斥事務，相互獨立事務，對立事務的定義即可求解.【詳解】對于①：互斥事務指不行能同時發(fā)生，因此事務AB指“第1枚為正面同時第2枚為反面”，很明顯與事務C“3枚結果相同”不同時發(fā)生，所以該選項正確；對于②：，，，所以，故事務A與事務C相互獨立該選項正確；對于③：，故該選項錯誤；對于④：，但事務與事務也可能同時發(fā)生，比如事務：“第1枚為正面，第2枚為反面，第3枚是正面”，對立事務必需前提是不能同時發(fā)生，因此本選項錯誤.故答案為：①②.15.已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，則球面面積為______．【答案】##【解析】【分析】由，可得的外接圓半徑，再由求出球的半徑R，最終依據球的表面積公式即可得答案.【詳解】解：因為，所以的外接圓直徑，所以，設球半徑為，則，所以，所以球面面積為，故答案為：.16.阿波羅尼奧斯在其著作《圓錐曲線論》中提出：過橢圓上隨意一點的切線方程為．若已知△ABC內接于橢圓E：，且坐標原點O為△ABC的重心，過A，B，C分別作橢圓E的切線，切線分別相交于點D，E，F，則______．【答案】4【解析】【分析】設、、，由重心的性質有、、，寫出過切線方程并求交點坐標，進而推斷△重心也為O，再由在橢圓上可得、、共線，即分別是的中點，即可確定面積比.【詳解】若、、，則的中點、、，由O為△ABC的重心，則、、，所以、、，可得，由題設，過切線分別為、、，所以，，，所以，同理，即△重心也為O，又、、，可得、、，所以，同理可得、，所以、、共線，綜上，分別是的中點，則【點睛】關鍵點點睛：設點坐標及過切線方程，并求出坐標，利用重心的性質確定△重心為O，并求證分別是的中點即可.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.p：“實數a滿意”，q：“方程表示焦點在y軸上的橢圓”．（1）若m＝3，且命題“”為真命題，求實數a的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入求解命題中關于的不等式即可，解出當為真命題的的取值范圍，考慮“”為真命題的對立面是為假命題且為假命題時，最終取補集即可；（2）利用因式分解求解關于關于的含有參數的不等式，利用充分不必要條件代入求參數范圍即可,【小問1詳解】當時，若為真命題則變?yōu)椋核?，解得，若為真命題，則有所以為假命題且為假命題時，解得，故“”為真命題時，【小問2詳解】對命題：轉化為：，所以，對命題因為p是q的充分不必要條件，所以，等號不同時取解得：.所以的取值范圍是.18.某同學參與3門課程的考試，假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀的概率為，其次、三門課程取得優(yōu)秀的概率分別為p，，且不同課程是否取得優(yōu)秀相互獨立，記為該生取得優(yōu)秀的課程數，其分布列為0123Pab（1）求p，q的值；（2）求a，b的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）列方程，從而求得.（2）結合概率和為，以及相互獨立事務概率計算公式，計算出.【小問1詳解】依圖中可知，則，解得.【小問2詳解】依題意，，解得.19.在邊長為3的正三角形ABC中，E，F，P分別是AB，AC，BC邊上的點，且滿意（如圖1），將沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，連接，（如圖2）（1）求證：平面BEP；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）在圖1中，由余弦定理求出，依據勾股定理即可得，進而在圖2中，可得，又平面平面BEP，從而依據面面垂直的性質定理即可證明平面；（2）以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，分別求出面與面的一個法向量，然后利用向量法即可求解二面角的余弦值.小問1詳解】證明：由題意，在圖1中，，又，所以由余弦定理可得，所以，所以，所以在圖2中，，因為二面角為直二面角，即平面平面BEP，又平面平面BEP，平面，所以平面；【小問2詳解】解：分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，，，，0，，，，，設面的法向量為，則，取，得，，，設面的法向量為，則，取，得，1，，，由圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．20.某公司訂購了一批樹苗，為了探討其生長規(guī)律，從中隨機抽測100株樹苗的高度，經數據處理后得到如圖①的頻率分布直方圖，其中最高的16株樹苗高度的莖葉圖如圖②所示，以這100株樹苗高度的頻率估計整批樹苗高度的概率．（1）求這批樹苗的高度高于1.60的概率，并求圖①中a，b，c的值；（2）探討發(fā)覺高度在1.65以上樹苗有特別的生長規(guī)律，于是從抽測高度在1.65以上（不含）的樹苗中抽取3株做探討，設X為高度在的樹苗數量，求X的分布列和數學期望．（3）為做進一步對比探討，需從這批訂購的樹苗中隨機選取3株，記為高度在的樹苗數量，求的分布列和數學期望；【答案】（1）這批樹苗的高度高于1.60的概率為，（2）分布列見解析，數學期望為（3）分布列見解析，數學期望為【解析】【分析】（1）結合莖葉圖以及古典概型的概率計算公式計算出所求概率.結合莖葉圖以及頻率之和為求得.（2）利用超幾何分布的分布列計算公式，計算出分布列并求得數學期望.（3）利用二項分布的分布列計算公式，計算出分布列并求得數學期望.【小問1詳解】這批樹苗的高度高于1.60的概率為，，.【小問2詳解】以上（不含）的有株，其中高度在的樹苗數量為株，,,所以的分布列為：【小問3詳解】依題意，即，,,,,所以的分布列為：所以.21.已知拋物線C：的焦準距為2，過C上一動點作斜率為，的兩條直線分別交C于，兩點（P，A，B三點互不相同），且滿意．（1）求拋物線C的方程；（2）設直線AB上一點M，滿意，證明：線段PM的中點在y軸上．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據焦準距求得，從而求得拋物線的方程.（2）求得兩點的橫坐標，結合求得，從而證得結論成立.【小問1詳解】由于拋物線的焦準距，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】直線方程為，由解得，同理可求得，由于，，則，由于，即，所以，，所以，即線段PM的中點在y軸上．22.如圖橢圓的左右焦點分別為，，已知點和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且，與交于點P．①若，求直線的斜率；②求證：為定值．【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】【分析】（1）依據橢圓的性質和已知和在橢圓上，列方程組求解即可得答案；（2）①由題意，直線與斜率存在且大于0，設