2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)階段復(fù)習(xí)課第一課含解析選修3

PAGE11-第一課計(jì)數(shù)原理核心整合·思維導(dǎo)圖考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一邏輯推理角度1數(shù)學(xué)思想方法在求解計(jì)數(shù)問題中的應(yīng)用【典例1】(1)設(shè)集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={a1,a2,a3}是S的子集,且a1,a2,a3滿意a1<a2<a3,a3-a2≤6,那么滿意條件的集合A的個(gè)數(shù)為()A.78 B.76 C.83 D.84(2)車間有11名工人,其中5名男工是鉗工,4名女工是車工,另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工,現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工,4名車工修理一臺(tái)機(jī)床,則有多少種選派方法?【解析】(1)選C.若從正面考慮,當(dāng)a3=9時(shí),a2可以取8,7,6,5,4,3,共6類;當(dāng)a3=8時(shí),a2可以取7,6,5,4,3,2,共6類;…分類較多,而其對(duì)立面a3-a2>6包含的狀況較少,當(dāng)a3=9時(shí),a2取2,a1取1,只有這一種狀況,利用正難則反思想解決.集合S含有三個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為C93=84.在這些含有三個(gè)元素的子集中能滿意a1<a2<a3且a3-a(2)方法一:設(shè)A,B代表2位老師傅.A,B都不在內(nèi)的選派方法有C5A,B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有C2A,B都在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有C2A,B都在內(nèi)且一人當(dāng)鉗工,一人當(dāng)車工的選派方法有A2A,B有一人在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有C2A,B有一人在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有C2所以共有C54C44+C22C5方法二:5名男鉗工有4名被選上的方法有C54C44+C545名男鉗工有2名被選上的方法有C5所以共有75+100+10=185(種).方法三:4名女車工都被選上的方法有C44CC44C524名女車工有2名被選上的方法有C4所以共有35+120+30=185(種).【類題·通】數(shù)學(xué)思想方法在求解計(jì)數(shù)問題中的問題及解法1.對(duì)于正面處理較困難或不易求解的問題,經(jīng)常從問題的對(duì)立面去思索.2.解含有約束條件的排列、組合問題,應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類,分類時(shí)須要滿意兩個(gè)條件:①類與類之間要互斥(保證不重復(fù));②總數(shù)要完備(保證不遺漏).【加練·固】1.現(xiàn)有6個(gè)人排成一排照相,由于甲乙性格不合,所以要求甲乙不相鄰,丙最高,要求丙站在最中間的兩個(gè)位置中的一個(gè)位置上,則不同的站法有________種.()

A.84B.90C.168D.180【解題指南】分兩類狀況探討:若甲乙在丙的兩側(cè):首先丙從中間兩個(gè)位置隨意挑一個(gè),有C21種站法,然后甲從丙的一側(cè),隨機(jī)挑一個(gè)位置,同時(shí)乙從甲的另一側(cè)挑一個(gè)位置,有2C2若甲乙在丙的同側(cè):首先丙從中間兩個(gè)位置隨意挑一個(gè),有C21種站法,然后甲、乙不相鄰,只有A2【解析】選C.已知丙在中間兩個(gè)位置上選一個(gè),若甲、乙在丙的兩邊,則有站法:C21·2C2若甲、乙在丙的同側(cè),且不相鄰,則有站法:C21·A22.現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張,從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一顏色,且綠色卡片至多1張,不同的取法種數(shù)為()A.484B.472C.252D.232【解析】選B.設(shè)(x,y,z)表示取x張紅色卡片、y張黃色卡片、z張藍(lán)色卡片.若從正面考慮,需考慮當(dāng)不取綠色卡片時(shí),有(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(0,2,1),(1,0,2),(0,1,2),(1,1,1)共7類,當(dāng)取1張綠色卡片時(shí),有(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),共6類,分類較多,而其對(duì)立面為3張卡片同一顏色或2張綠色卡片,第三張從非綠色卡片中任取,其包含的狀況較少,因此用正難則反思想求解.依據(jù)題意,共有C163種取法,其中每一種卡片各取3張,有4C43種取法,取2張綠色卡片有C42·C121種取法,故所求的取法共有角度2排列與組合的綜合應(yīng)用【典例2】(1)在0,1,2,3,…,9這十個(gè)自然數(shù)中,任取三個(gè)不同的數(shù)字.則組成的三位數(shù)中是3的倍數(shù)的有________個(gè).

(2)在高三一班元旦晚會(huì)上,有6個(gè)演唱節(jié)目,4個(gè)舞蹈節(jié)目.①當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí),有多少種不同的節(jié)目支配依次?②當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少支配1個(gè)演唱節(jié)目時(shí),有多少種不同的節(jié)目支配依次?③若已定好節(jié)目單,后來狀況有變,需加上詩朗誦和快板2個(gè)節(jié)目,但不能變更原來節(jié)目的相對(duì)依次,有多少種不同的節(jié)目演出依次?【解析】(1)若組成的三位數(shù)能被3整除,則先把0,1,2,3,…,9,這十個(gè)自然數(shù)中分為三組:(0369);(147);(258).若每組中各取一個(gè)數(shù),含0,共有C31C共有3A33+答案:228(2)①第一步先將4個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來,看成1個(gè)節(jié)目,與6個(gè)演唱節(jié)目一起排,有A77=5040(種)方法;其次步再松綁,給4個(gè)節(jié)目排序,有依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有5040×24=120960(種)支配依次.②第一步將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”),一共有A6×□×□×□×□×□×□×其次步再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)節(jié)目中間(即□中“×”的位置)這樣相當(dāng)于7個(gè)“×”選4個(gè)來排,一共有A7依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有720×840=604800(種)支配依次.③若全部節(jié)目沒有依次要求,全部排列,則有A1212種排法,但原來的節(jié)目已定好依次,須要消退,所以節(jié)目演出的方式有A12【類題·通】在解決一個(gè)實(shí)際問題的過程中,經(jīng)常遇到排列、組合的綜合性問題,而解決問題的第一步是審題,只有仔細(xì)審題,才能把握問題的實(shí)質(zhì),分清是排列問題、組合問題,還是綜合問題,分清分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)和方式,并且要遵循兩個(gè)原則:一是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類;二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.解決排列組合應(yīng)用題的常用問題及方法:(1)相鄰問題捆綁法;(2)不相鄰問題插空法;(3)等可能問題對(duì)等法;(4)定序問題倍縮法;(5)定位問題優(yōu)先法;(6)選排問題先選后排法;(7)有序安排問題分步法;(8)多元問題分類法;(9)交叉問題集合法;(10)正難則反剩余法;(11)困難問題轉(zhuǎn)化法;(12)知多知少問題解除法.【加練·固】已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品,現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試,直至找出4件次品為止.(1)若恰在第5次測(cè)試,才測(cè)試到第一件次品,第十次才找到最終一件次品,則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少?(2)若恰在第5次測(cè)試后,就找出了全部4件次品,則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少?【解析】(1)先排前4次測(cè)試,只能取正品,有A64種不同測(cè)試方法,再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測(cè)試,有C42·A2所以共有不同測(cè)法A64·A4(2)第5次測(cè)試恰為最終一件次品,另3件在前4次中出現(xiàn),從而前4次有一件正品出現(xiàn).所以共有不同測(cè)試方法C41·(C61·素養(yǎng)二數(shù)學(xué)運(yùn)算角度1兩個(gè)二項(xiàng)式積的問題【典例3】(1)(1-xA.-5 B.10 C.-15 D.25(2)已知(1+ax)(1+x)5的綻開式中x2的系數(shù)為5,則a=________.

【解析】(1)選A.(=(1-x)31-x1+x5=(1-x)3(1-x)5,(1(2)(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax(1+x)5.所以x2的系數(shù)為C52+a答案:-1【延長探究】在本題(1)中,求(1【解析】令x=1,可知(1【類題·通】兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的綻開式中特定項(xiàng)問題(1)分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)綻開式進(jìn)行分析,發(fā)覺它們各自項(xiàng)的特點(diǎn).(2)找到構(gòu)成綻開式中特定項(xiàng)的組成部分.(3)分別求解再相乘,求和即得.【加練·固】已知(1+x+x2)x+1xA.2B.3C.4D.5【解題指南】先將問題轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式的綻開式中沒有常數(shù)項(xiàng),利用二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng),令x的指數(shù)為0得常數(shù)項(xiàng).轉(zhuǎn)化成方程無解.【解析】選D.依題(1+x+x2)(x+1x3)n對(duì)n∈N所以(x+1x3)n不含常數(shù)項(xiàng),不含x-1項(xiàng),不含x-2項(xiàng),x+1x3n綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=角度2三項(xiàng)綻開式問題【典例4】(1)在x3A.28 B.-28 C.-56 D.56(2)求(x2+3x-4)4的綻開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù).【解析】(1)選A.因?yàn)閤3-2x+1x=x4-2x2+1x=x2-1(2)方法一:(x2+3x-4)4=[(x2+3x)-4]4=C40(x2+3x)4-C41(x2+3x)3·4+C42(x2+3x)2·42-C43(x2+3x)·43+方法二:(x2+3x-4)4=[(x-1)(x+4)]4=(x-1)4·(x+4)4=(C40x4-C41x3+C42x2-C43x+C44)(C40x4+C41x3·4+C42x2·42+【類題·通】三項(xiàng)綻開式的指定項(xiàng)的系數(shù),可以利用二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)方法求出指定項(xiàng)的系數(shù),也可以把三項(xiàng)代數(shù)式變形為二項(xiàng)代數(shù)式,再利用二項(xiàng)式定理求出指定項(xiàng)的系數(shù).【加練·固】3x2+【解析】3xC503x2+x5·20+23+C54(3x2+x)·24+C503x2即C5r·35-rxC513x2+x令3r-8=1,解得r=3,此時(shí)x的一次項(xiàng)系數(shù)為120,同理C523在C533在C543綜上,3x答案:200角度3整除和余數(shù)問題【典例5】(1)設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512015+a能被13整除,則a=________.

(2)43b+①求3a②求55n除以8的余數(shù).【解析】(1)因?yàn)?12015+a=(52-1)2015+a=C20150522015-C20151522014+能被13整除,0≤a<13.故-1+a能被13整除,故a=1.答案:1(2)43Tr+1=C5r(43b所以當(dāng)r=2時(shí)取得常數(shù)項(xiàng),常數(shù)項(xiàng)T3=C52152因?yàn)?a-3所以2n=27,即n=7.①令a=1,可得3a-3②557=(56-1)7=C70·567-C71·566+…+所以其除以8的余數(shù)為7.【類題·通】(1)利用二項(xiàng)式定理處理整除問題,通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)親密關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式,再利用二項(xiàng)式定理綻開,只考慮后面(或前面)一、二項(xiàng)就可以了.(2)解決求余數(shù)問題,必需構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式.【加練·固】230+3除以7的余數(shù)是________.

【解析】230+3=2310+3=1+710+3,對(duì)于1+710,其綻開式的通項(xiàng)為當(dāng)r=0時(shí),不能被7整除,此時(shí)項(xiàng)為C100·7答案:4角度4綜合應(yīng)用【典例6】(1)(2024·昆明高二檢測(cè))若1717+a(a∈Z,0≤a<4)能被3整除,則a=()A.0 B.1 C.2 D.3(2)487被7除的余數(shù)為a(0≤a<7),則x-axA.4320 B.-4320 C.20 D.-20【解析】(1)選B.1717+a=(18-1)17+a=C1701817-C171·1816+C172·1815-C17則-C17則a=1.(2)選B.因?yàn)?87=(49-1)7=C70·497-C71·496+…+C76·49-1,所以487被7除的余數(shù)為6,所以a=6.所以x-6x令6-3k=-3,得k=3,所以x-6x26的綻開式中x-3【類題·通】二項(xiàng)式定理中賦值法的應(yīng)用(1)解決的問題:與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān),包括求綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的肯定值的和.(2)應(yīng)用技巧:通過視察綻開式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和所求式子的關(guān)系,確定給字母所賦的值,有時(shí)賦值后得到的式子比所求式子多一項(xiàng)或少一項(xiàng),此時(shí)要特地求出這一項(xiàng),而在求奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和時(shí),往往要兩次賦值,再由方程組求出結(jié)果.提示:求各項(xiàng)系數(shù)的肯定值的和時(shí),要先依據(jù)肯定值里面數(shù)的符號(hào)賦值求解.【加練·固】已知f(