2025版新教材高中數(shù)學(xué)第五章計數(shù)原理2排列問題2.1排列與排列數(shù)2.2排列數(shù)公式課時作業(yè)北師大版選擇性必修第一冊

2．1排列與排列數(shù)2．2排列數(shù)公式必備學(xué)問基礎(chǔ)練學(xué)問點一排列的概念1.推斷下列問題是否為排列問題，并說明理由．(1)平面上有5個點，其中隨意3個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？(2)從集合M＝{1，2，…，9}中任取兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1？可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?(3)會場有50個座位，若從中選出3個座位，共有多少種方法？若選出3個座位支配3位客人，又有多少種方法？2．甲、乙、丙三人相互傳球，由甲起先發(fā)球傳給乙，并作為第一次傳球，傳球五次后結(jié)束傳球．(1)將五次傳球的全部不同的傳球方式用樹狀圖表示出來；(2)寫出經(jīng)過五次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方式．學(xué)問點二排列數(shù)與排列數(shù)公式3.已知Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝132，則n＝()A．11B．12C．13D．144.eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(8))＋Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)),Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(9))－Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9)))＝()A．eq\f(5,27)B．eq\f(25,54)C．eq\f(3,10)D．eq\f(3,20)5．化簡eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n－1))·Aeq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n－m)),Aeq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n－1)))＝________．6．(1)解方程：Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(2x＋1))＝140Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(x))；(2)解不等式：Aeq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(9))＞6Aeq\o\al(\s\up1(x－2),\s\do1(9)).學(xué)問點三排列的簡潔應(yīng)用7.考生甲填報某高校專業(yè)意向，準(zhǔn)備從5個專業(yè)中選擇3個，分別作為第一、其次、第三志愿，則不同的填法有()A．10種B．60種C．125種D．243種8．4個男同學(xué)，3個女同學(xué)站成一排．(1)3個女同學(xué)必需相鄰，有多少種不同的排法？(2)任何2個女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)3個女同學(xué)站在中間三個位置上，有多少種不同的排法？(4)這7個人中，甲、乙2人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？關(guān)鍵實力綜合練一、選擇題1．[多選題]下列問題屬于排列問題的是()A．從10個人中選2人分別去種樹和掃地B．從10個人中選2人去掃地C．從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊D．從數(shù)字5，6，7，8中任取2個不同的數(shù)做logab中的底數(shù)與真數(shù)2．若A＝eq\f(n！,3！)(n＞3，n∈N*)，則A是()A．Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))B．Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n－3))C．Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))D．Aeq\o\al(\s\up1(n－3),\s\do1(n))3．用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，n＜55)為()A．Aeq\o\al(\s\up1(14),\s\do1(55))B．Aeq\o\al(\s\up1(15),\s\do1(55－n))C．Aeq\o\al(\s\up1(55－n),\s\do1(69))D．Aeq\o\al(\s\up1(15),\s\do1(69－n))4．用四個數(shù)字1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為()A．6B．12C．16D．205．從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有()A．280種B．240種C．180種D．96種6．[易錯題]元旦晚會期間，高三(2)班的學(xué)生準(zhǔn)備了6個節(jié)目，其中有2個舞蹈節(jié)目，2個小品節(jié)目，2個歌曲節(jié)目，要求歌曲節(jié)目肯定排在首尾，另外，2個舞蹈節(jié)目肯定要排在一起，則這6個節(jié)目的不同編排種數(shù)為()A．48B．36C．24D．127．某小區(qū)的6個停車位連成一排，現(xiàn)有3輛車隨機停放在停車位上，則任何兩輛車都不相鄰的停放方式的種數(shù)為()A．24B．72C．120D．144二、填空題8．用1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至少有一個數(shù)字是奇數(shù)的三位偶數(shù)，這樣的三位數(shù)一共有________個．9．在試驗員進(jìn)行的一項試驗中，先后要實施5個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最終一步，程序C和D實施時必需相鄰，請問試驗依次的編排方法共有________種．三、解答題10．[探究題]用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù)，則(1)可以組成多少個六位奇數(shù)？(2)可以組成多少個不大于4310的四位偶數(shù)？學(xué)科素養(yǎng)升級練1．[多選題]甲、乙等6個人排成一隊，甲不站最左端，也不站最右端的排法種數(shù)為()A．Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))B．Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))C．Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))D．Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))－2Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))2．將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，若要求A，B，C在排列中的依次為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，則有________種不同的排列方法．3．[學(xué)科素養(yǎng)——邏輯推理](1)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有多少種？(2)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有多少種？2．1排列與排列數(shù)2．2排列數(shù)公式必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．解析：(1)確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題．理由如下：任取2個點確定的直線與這2個點的依次無關(guān)，故不是排列問題；任取2個點確定的射線與這2個點的依次有關(guān)，故是排列問題．(2)從集合M＝{1，2，…，9}中任取兩個元素作為a，b，得到多少個焦點在x軸上的橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1不是排列問題，得到多少個焦點在x軸上的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1是排列問題．理由如下：若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a＞b，a，b的大小關(guān)系肯定，所以不是排列問題；不管a＞b還是a＜b，方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題．(3)從50個座位中選出3個座位不是排列問題，從50個座位中選出3個座位支配3位客人是排列問題．理由如下：從50個座位中選出3個座位與依次無關(guān)，故不是排列問題；從50個座位中選出3個座位支配3位客人與依次有關(guān)，故是排列問題．2．解析：(1)甲第一次把球傳給乙，則全部不同的傳球方式用樹狀圖表示如下：(2)由(1)，知經(jīng)過五次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方式為：甲→乙→甲→乙→丙→甲，甲→乙→甲→丙→乙→甲，甲→乙→丙→甲→乙→甲，甲→乙→丙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→丙→甲．3．解析：∵Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝132，∴n(n－1)＝132，整理得n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(不合題意，舍去)，∴n的值為12，故選B.答案：B4．解析：eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(8))＋Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)),Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(9))－Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9)))＝eq\f(8×7×6×5×4＋8×7×6×5,9×8×7×6×5×4－9×8×7×6×5)＝eq\f(4＋1,9×4－9)＝eq\f(5,27).故選A.答案：A5．解析：eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n－1))·Aeq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n－m)),Aeq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n－1)))＝eq\f(（n－1）！,[（n－1）－（m－1）]！)×(n－m)！×eq\f(1,（n－1）！)＝eq\f(（n－1）！,（n－m）！)×(n－m)！×eq\f(1,（n－1）！)＝1.答案：16．解析：(1)原方程可化為(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140·x·(x－1)·(x－2)，化簡得(4x2－35x＋69)(x－1)x＝0，解得x＝3或x＝eq\f(23,4)或x＝1或x＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4,2x＋1∈N*,x≥3,x∈N*))，得x≥3，且x∈N*.所以原方程的解為x＝3.(2)原不等式可化為eq\f(9！,（9－x）！)＞eq\f(6×9！,（9－x＋2）！)，其中2≤x≤9，x∈N*，整理得x2－21x＋104＞0，即(x－8)(x－13)＞0，所以x＜8或x＞13.因為2≤x≤9，x∈N*，所以2≤x＜8，x∈N*.所以原不等式的解集為{2，3，4，5，6，7}．7．解析：從5個專業(yè)中選3個并安排到3個志愿中，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝60種不同的填法．答案：B8．解析：(1)3個女同學(xué)是特別元素，她們排在一起，共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種排法．視排好的3個女同學(xué)為一個整體，再與4個男同學(xué)排成一排，這時是5個元素的全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))種排法．由分步乘法計數(shù)原理，知不同的排法有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝720(種).(2)先將男同學(xué)排好，共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種排法，再在這4個男同學(xué)之間及兩頭的5個空隙中插入3個女同學(xué)，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種排法，故符合條件的排法有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝1440(種).(3)3個女同學(xué)站在中間三個位置上的不同排法有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝144(種).(4)先排甲、乙、丙3人外的4人，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種排法；由于甲、乙要相鄰，故再把甲、乙排好，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))種排法；最終把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人之間及兩頭的5個空隙中，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))種排法．故共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝960種不同的排法．關(guān)鍵實力綜合練1．答案：AD2．解析：易得Aeq\o\al(\s\up1(n－3),\s\do1(n))＝n·(n－1)·(n－2)·…·4＝eq\f(n！,3！)，所以A＝Aeq\o\al(\s\up1(n－3),\s\do1(n)).答案：D3．解析：因為55－n，56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15個連續(xù)的自然數(shù)，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(\s\up1(15),\s\do1(69－n)).答案：D4．解析：依據(jù)題意，一共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝4×3＝12個不同的兩位數(shù)．答案：B5．解析：依據(jù)題意，從事翻譯工作的為特別位置，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))種可能方案，其余三項工作，從剩余的5人中選取，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種可能方案，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，選派方案共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝4×5×4×3＝240(種)，故選B.答案：B6．解析：分3步進(jìn)行：①歌曲節(jié)目排在首尾，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2種排法，②將2個小品節(jié)目支配在歌曲節(jié)目的中間，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2種排法，③排好后，2個小品節(jié)目與2個歌曲節(jié)目之間有3個空位，將2個舞蹈節(jié)目全排列，支配在中間的3個空位，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝6種排法．則這6個節(jié)目的不同編排種數(shù)為2×2×6＝24，故選C.答案：C7．解析：任排3個空停車位，形成4個空，再將3輛車插入即可，故有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝24種．答案：A8．解析：當(dāng)個位是偶數(shù)時，共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝60種可能，當(dāng)三個數(shù)字都是偶數(shù)時，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6種可能，則滿意題意的三位數(shù)共有60－6＝54個．答案：549．解析：程序A只能出現(xiàn)在第一步或最終一步，共有2種不同的排法；將程序C和D捆綁成一個元素，再和其他兩個元素一起排列，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種不同的排法，同時，考慮程序C和D有2種不同的排法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，共有2×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×2＝24種不同的編排方法．答案：2410．解析：(1)方法一(從特別位置入手)：分三步完成：第一步，填末位，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種填法；其次步，填首位，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))種填法；第三步，填其他位，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種填法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，知共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝288個無重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)．方法二(從特別元素入手)：0不在首位也不在末位，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))種排法；從1，3，5中任選一個排在末位，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種排法；其他位上用剩下的數(shù)字進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種排法．故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝288個無重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)．方法三(間接法)：六個數(shù)字共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))種排法，數(shù)字0，2，4在末位上有3Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))種排法，數(shù)字1，3，5在末位上且0在首位上共有3Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種排法，故組成的無重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))－3Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))－3Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝288個．(2)①當(dāng)千位上排1或3時，從0，2，4中任選一個排在個位，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種排法，其他位上從剩下的四個數(shù)字中選擇兩個進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種排法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種排法；②當(dāng)千位上排2時，從0，4中任選一個排在個位，然后從剩下的四個數(shù)字中選擇兩個排列，故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種排法；③當(dāng)千位上排4時，形如40××，42××的各有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種排法，形如41××的有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種排法，形如43××的只有4310和4302這兩種排法．故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋2Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋2＝110個．學(xué)科素養(yǎng)升級練1．解析：(1)(位置分析法)因為甲不站左、右兩端，故先從甲以外的5個人中任選2個人站在左、右兩端，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))種站法；再讓剩下的4個人站在中間的4個位置上，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種站法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種站法．故A正確；(元素分析法)因為甲不能站左、右兩端，故先讓甲站在除左、右兩端之外的任一位置上，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))種站法；再讓余下的5個人站在其他5個位置上，有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))種站法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))種站法．故B正確，C錯誤；(間接法)在排列時，我們不考慮甲站位的要求，對6個人進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))種站法，但其中包含甲站在最左端或最右端的狀況，甲在最左端或最右端有2Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))種站法，于是共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))－2Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5)