2025版新教材高考數(shù)學(xué)全程一輪總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示學(xué)生用書(shū)

第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)潔函數(shù)的定義域.2.在實(shí)際情境中，會(huì)依據(jù)不同的須要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)潔的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)潔應(yīng)用．必備學(xué)問(wèn)·夯實(shí)雙基學(xué)問(wèn)梳理1.函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的________，假如對(duì)于集合A中的________一個(gè)數(shù)x，依據(jù)某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有________的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：________、________和________．(2)兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)________和________分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才相同．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析式法、列表法、圖象法．4．分段函數(shù)在一個(gè)函數(shù)的定義域中，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫分段函數(shù)．[常用結(jié)論]1．常見(jiàn)函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽.(4)零次冪的底數(shù)不能為0.(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域?yàn)閧x|x>0}．(7)y＝tanx的定義域?yàn)閧xx≠2．分段函數(shù)雖由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．夯實(shí)雙基1.思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象可以是一條封閉的曲線．()(2)直線x＝1與函數(shù)y＝f(x)的圖象的交點(diǎn)最多有兩個(gè)．()(3)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個(gè)函數(shù).()(4)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等．()2．(教材改編)若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()3．(教材改編)下列函數(shù)f(x)與g(x)是同一個(gè)函數(shù)的是()A．f(x)＝x－1，g(x)＝x2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)4C．f(x)＝x2，g(x)＝3D．f(x)＝x，g(x)＝x4．(易錯(cuò))函數(shù)y＝xln(2－x)的定義域?yàn)?)A．(0，2)B．[0，2)C．(0，1]D．[0，2]5．(易錯(cuò))已知函數(shù)f(x)＝2x，x>0，x+1，x≤0關(guān)鍵實(shí)力·題型突破題型一函數(shù)的定義域例1(1)[2024·河南信陽(yáng)月考]函數(shù)y＝lnx+1A．(－4，－1)B．(－4，1)C．(－1，1)D．(－1，1](2)[2024·河北衡水中學(xué)模擬]若y＝f(x)的定義域?yàn)?0，2]，則函數(shù)g(x)＝f2xx-A．(0，1]B．[0，1)C．(0，1)∪題后師說(shuō)求函數(shù)定義域的策略鞏固訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)＝x+4+A．[－4，＋∞)B．[－4，－3)∪C．(－4，＋∞)D．(－3，＋∞)(2)[2024·商丘模擬]已知函數(shù)f(x＋2)的定義域?yàn)?－3，4)，則函數(shù)g(x)＝fxA．13，4B．13題型二函數(shù)的解析式例2(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是一次函數(shù)，并且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)．(3)函數(shù)f(x)滿意方程2f(x)＋f1x＝2x，x∈R且x≠0.求f(x題后師說(shuō)求函數(shù)解析式的方法鞏固訓(xùn)練2(1)已知f1+xx＝x2+1x2A．(x＋1)2(x≠1)B．(x－1)2(x≠1)C．x2－x＋1(x≠1)D．x2＋x＋1(x≠1)(2)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，則f(x)＝________．(3)若f(x)對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，則f(x)＝________．題型三分段函數(shù)例3(1)[2024·山東濰坊模擬]設(shè)函數(shù)f(x)＝x-3，A．10B．9C．7D．6(2)已知函數(shù)f(x)＝1x+1，x>-1-2x-題后師說(shuō)分段函數(shù)問(wèn)題的求解策略鞏固訓(xùn)練3(1)[2024·黑龍江哈爾濱模擬]已知函數(shù)f(x)＝x+1，x≤0A．0B．1C．1100(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝12x-1x≥01x專(zhuān)題突破?函數(shù)的值域方法一分別參數(shù)法例1(1)函數(shù)f(x)＝2xx+1A．(－∞，－1)∪1C．(－∞，2)∪(2)函數(shù)f(x)＝2x-A．-∞B．-∞C．-∞D(zhuǎn)．-∞(3)函數(shù)y＝x2(4)函數(shù)f(x)＝2x方法二配方法例2(1)函數(shù)y＝1-(2)函數(shù)f(x)＝-2方法三換元法例3(1)函數(shù)y＝2x－x-A．-∞，-C．158，(2)函數(shù)y＝2x－1－1-方法四單調(diào)性法例4(1)函數(shù)f(x)＝2x-4＋x2－(2)函數(shù)y＝3-方法五基本不等式法例5(1)函數(shù)f(x)＝x＋9x(x(2)函數(shù)y＝x2+2x+3x第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示必備學(xué)問(wèn)·夯實(shí)雙基學(xué)問(wèn)梳理1．實(shí)數(shù)集隨意唯一確定2．(1)定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域(2)定義域?qū)?yīng)關(guān)系夯實(shí)雙基1．(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：A中函數(shù)的定義域不是[－2，2]，C中圖象不表示函數(shù)，D中函數(shù)的值域不是[0，2].故選B.答案：B3．解析：在A中，f(x)定義域?yàn)镽，g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，定義域不同，∴f(x)與g(x)不是同一函數(shù)；在B中，f(x)定義域?yàn)镽，g(x)定義域?yàn)閧x|x≥0}，定義域不同，∴f(x)與g(x)不是同一函數(shù)；在C中，f(x)與g(x)定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，∴f(x)與g(x)是同一函數(shù)；在D中，f(x)與g(x)定義域都是R，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，∴f(x)與g(x)不是同一函數(shù)．故選C.答案：C4．解析：由題意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定義域是[0，2)．故選B.答案：B5．解析：∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，當(dāng)a>0時(shí)，2a＝－2，∴a＝－1(舍去)，當(dāng)a≤0時(shí)，a＋1＝－2，∴a＝－3.答案：－3關(guān)鍵實(shí)力·題型突破例1解析：(1)由題意得x+1>0解得x>故選C.(2)由y＝f(x)的定義域?yàn)?0，2]，令0＜解得0＜x＜1，∴函數(shù)g(x)＝f2x故選D.答案：(1)C(2)D鞏固訓(xùn)練1解析：(1)因?yàn)閒(x)＝x+4+x+4≥0x+3≠0，解得所以函數(shù)f(x)＝x+4+1x+3故選B.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋2)的定義域?yàn)?－3，4)，所以f(x)的定義域?yàn)?－1，6)．又因?yàn)?x－1>0，即x>13，所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?故選C.答案：(1)B(2)C例2解析：(1)設(shè)u＝x＋1，則x＝u－1(u≥1)．∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)．即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.∴a2=4，ab+b=3故所求的函數(shù)為f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.(3)(構(gòu)造法)∵2f(x)＋f1x＝2x將x換成1x，則1x換成得2f1x＋f(x)＝2由①②消去f1x，得3f(x)＝4x－2∴f(x)＝43x－23x(x∈R且鞏固訓(xùn)練2解析：(1)f1+xx＝x2+1x2+1x＝x+1x2－x+1x＋1.令x+1x＝t(t即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．故選C.(2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴2a=1，a+b=∴f(x)＝12x2－32(3)對(duì)?x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，①所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，②由①②解得f(x)＝x＋1.答案：(1)C(2)12x2－32x＋2(3)例3解析：(1)因?yàn)閒(x)＝x-則f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.故選C.(2)①當(dāng)a>－1即a＋1>0時(shí)，f(a)＝1a+1則f1a+1＝a+1a+2＝0?②當(dāng)a≤－1即a＋1≤0時(shí)，f(a)＝－2a－6.(ⅰ)當(dāng)－2a－6≤－1，即當(dāng)－52≤a≤－1時(shí)，有f(－2a－6)＝－2(－2a－6)－6＝0?a＝－3(ⅱ)當(dāng)－2a－6>－1時(shí)，即a<－52時(shí)，有f(－2a－6)＝1-2a-綜上，a＝－32答案：(1)C(2)－3鞏固訓(xùn)練3解析：(1)因?yàn)閒(x)＝x+1，所以f1100＝1所以ff1100＝f故選D.(2)由題意知，f(a)＝a，當(dāng)a≥0時(shí)，有12a－1＝a，解得a當(dāng)a<0時(shí)，有1a＝a，解得a＝1(舍去)或a所以實(shí)數(shù)a的值是a＝－1.答案：(1)D(2)－1專(zhuān)題突破?函數(shù)的值域例1解析：(1)f(x)＝2xx+1＝2x+1-2x+1＝2－2x+1，從而可知函數(shù)f故選C.(2)依題意，f(x)＝2x-33x+1＝2x+23-1133x+1＝233x+1-1133x+1＝2故選D.(3)y＝x2-3x2因?yàn)閤2＋1≥1，所以4x2+1∈0所以y＝x2-3(4)f(x)＝2x-1由2x>0?2x＋1>1?0<12x+1<1?－2<－22x+1<0?－1<1－答案：(1)C(2)D(3)[－3，1)(4)(－1，1)例2解析：(1)由題意得－x2＋x＋2≠0，∴x≠－1且x≠2.因?yàn)椋瓁2＋x＋2＝－x-122＋94≤所以原函數(shù)的值域?yàn)?－∞，0)∪4(2)因?yàn)?2x2+x+3＝-2答案：(1)(－∞，0)∪49例3解析：(1)函數(shù)的定義域是{x|x≥1}，令x-1＝t，則t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2t-因?yàn)閠≥0，所以y≥158故選D.(2)令1-2x＝t≥0，則2x＝1－t2，所以y＝－t2－t＝-t+122＋14.又t≥0，所以y答案：(1)D(2)(－∞，0]例4解析：(1)f(x)＝2x-4+x-122＋34，由2x－4≥0，得x≥2，因?yàn)閒(x(2)因