四川省成都市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期4月階段性測(cè)試?yán)碓囶}含解析

Page17四川省成都市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期4月階段性測(cè)試（理）試題考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（每小題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，選對(duì)得5分，共60分）1.已知，，為虛數(shù)單位，且，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，得，所?故選：B2.函數(shù)在區(qū)間上的平均改變率等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)平均改變率定義去求解即可.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均改變率等于故選：C3.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，則等于（）A. B.C. D.以上都不對(duì)【答案】A【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：A.4.吹氣球時(shí)，氣球的半徑（單位：）與體積（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系是，則氣球在時(shí)的瞬時(shí)膨脹率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)瞬時(shí)改變率的概念和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算可得解.【詳解】因?yàn)?所以氣球在時(shí)的瞬時(shí)膨脹率為.故選：C5.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“”，當(dāng)時(shí)，等式左邊應(yīng)在基礎(chǔ)上加上（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，比較和時(shí)式子的結(jié)構(gòu)特征，即可得到正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，等式左邊應(yīng)；當(dāng)時(shí)，等式左邊應(yīng)為.所以當(dāng)時(shí)，等式左邊應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上.故選:C6.（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用微積分基本定理求出原函數(shù)，代入即可求解.【詳解】由微積分基本定理可得：.故選：B7.已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再探討的性質(zhì)，結(jié)合性質(zhì)及取時(shí)的函數(shù)值即可推斷作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，明顯，因此，函數(shù)是R上奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)C，D不滿意，又，選項(xiàng)B不滿意，選項(xiàng)A符合題意.故選：A8.已知函數(shù)滿意，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)后代入可求得；將代入可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：；，解得：.故選：A.9.已知，，，則以下不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)推斷出b最小，再依據(jù)函數(shù)單調(diào)性去比較的大小即可解決.【詳解】令，則，由，得，由，得即當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增即當(dāng)時(shí)取得最小值則有，，即，又，由，可得則，即綜上，的大小關(guān)系為故選：A10.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得出，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)（非切點(diǎn)），利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，令，可得，由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)（非切點(diǎn)），，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)（非切點(diǎn)），因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.11.是定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，已知，且，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合條件推斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后將原不等式變形并依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出答案.【詳解】因，可化簡(jiǎn)為，令函數(shù)，則.因?yàn)?，所以，在R上單調(diào)遞增.又，而等價(jià)于，即，所以，解得.故選：B12.已知函數(shù)，則下列命題為真的個(gè)數(shù)是（）①的微小值點(diǎn)為；②若存在，使得，則整數(shù)的最小值為；③若，則當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)微小值點(diǎn)，可推斷①的正誤；利用參變量分別法得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，可推斷②的正誤；利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在定理可推斷③的正誤.【詳解】對(duì)于①，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的微小值點(diǎn)為，①錯(cuò)；對(duì)于②，若存在，使得，當(dāng)時(shí)，由可得，令，其中，則，令，其中，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，存在，使得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，，故整數(shù)的最小值為，②對(duì)；對(duì)于③，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，，，令，則，令，則，，則，，則，即，因此，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為，③對(duì).故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）干脆法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，依據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類探討思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為探討兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分別法：由分別變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（每小題5分，共20分）13.函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：14.把復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作，已知（其中是虛數(shù)單位），則______．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：15.已知在R上可導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示，則不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)三個(gè)代數(shù)式的正負(fù)改變狀況去求不等式的解集.【詳解】由函數(shù)的圖象可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則綜上的解集為.故答案為：16.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)極大值點(diǎn)定義分類探討去求實(shí)數(shù)的值.【詳解】，則(1)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，則不是函數(shù)的極大值點(diǎn)，舍去(2)時(shí)，若，則，恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減，則不是函數(shù)的極大值點(diǎn)，舍去(3)時(shí)假如，則當(dāng)且時(shí)，，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，則不是函數(shù)的極大值點(diǎn)，舍去假如，則方程存在根，故當(dāng)，且時(shí)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，故不是的極大值點(diǎn)；假如，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)單調(diào)遞減，故是的極大值點(diǎn).綜上，的值為故答案為：三、解答題（17題滿分10分，18-22題，每題滿分12分，共70分）17.已知函數(shù)．（1）寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）探討函數(shù)的極大值和微小值是否存在．假如存在，求出極值．【答案】（1）增區(qū)間為和；減區(qū)間為（2）存在.極大值，微小值【解析】【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系去求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)去求函數(shù)的極大值和微小值.【小問(wèn)1詳解】．令，得或．則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，有微小值；當(dāng)時(shí)，有極大值．18.已知．（1）求曲線在處切線的方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】（1）（2），．【解析】【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義去求曲線在處切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)去求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【小問(wèn)1詳解】，則切線斜率為又，即切點(diǎn)坐標(biāo)為故所求切線方程為，即【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以．故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以，．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若，求的最小值．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)算最值即可（2）運(yùn)用第一問(wèn)的結(jié)論，再同構(gòu)函數(shù)即可獲解【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí),,其定義域?yàn)?當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知,所以有,即.因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等。所以所以最小值為,此時(shí)20.已知函數(shù)．（1）若，當(dāng)時(shí)，試比較與的大?。唬?）若的兩個(gè)不同零點(diǎn)分別為、，求證：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由可求得的取值范圍，即可得出與的大??；（2）先證明對(duì)數(shù)平均不等式，其中，由已知可得出，變形可得出，結(jié)合對(duì)數(shù)平均不等式可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，且，又當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以．【小問(wèn)2詳解】證明：先證明，其中，即證，令，，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，由題知，取對(duì)數(shù)有，即，又，所以．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)證明相應(yīng)的問(wèn)題.21.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)，且最大值為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再對(duì)分兩種狀況探討，利用函數(shù)的單調(diào)性求解可得答案；（2）等價(jià)于不等式在上恒成立，令，再通過(guò)二次求導(dǎo)，對(duì)分兩種狀況探討得解.【小問(wèn)1詳解】，其定義域?yàn)?，且．①若，則在上遞增，此時(shí)，不合題意，舍去．②若，則在上遞增，在上遞減．所以，令，得．綜上得：．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，所以不等式在上恒成立．令，則，令，則，所以在上遞減．①若，則，即，所以在上遞減，所以符合題意．②若，則，，，又，在上單調(diào)遞減，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，不合題意．綜上，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了用導(dǎo)數(shù)解決恒成立的問(wèn)題，可以干脆法分類探討利用函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題，也可以常量分別，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求值域解決問(wèn)題，考查了學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力和推理實(shí)力.22.已知函數(shù)，其中．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系分類探討去求的單調(diào)區(qū)間；（2）依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理，分類探討去推斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，由，得；由，得則的增區(qū)間為，減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得則的增區(qū)間