高中數(shù)學：空間向量及其線性運算

高中數(shù)學：空間向量及其線性運算

目錄

1.空間向量基礎知識...................................................................................2

??空間向量的概念...............................................................................2

??運算.........................................................................................3

????共線向量....................................................................................4

????共面向量....................................................................................5

??基本方法...........................................................................................7

????參考答案...........................................................................................9

????鞏固練習..........................................................................................11

????參考答案..........................................................................................12

6.【考點梳理】....................................................................................24

6.1.考點一空間向量的概念......................................................................25

6.2.考點二空間向量的線性運算..................................................................25

6.3.考點三共線向量.............................................................................26

6.4.考點四共面向量.............................................................................26

7.【題型歸納】....................................................................................26

7.1.題型一：空間向量的有關概念...............................................................27

7.2.題型二：空間向量的線性運算（加減法）......................................................27

7.3.題型三：空間兩個向量共線的有關問題........................................................28

7.4.題型四：空間共面向量定理.................................................................28

8.【雙基達標】....................................................................................29

8.1.一、單選題..................................................................................29

9.【高分突破】....................................................................................32

9.1.—：單選題..................................................................................32

9.2.二、多選題..................................................................................34

9.3.三、填空題..................................................................................36

9.4.四、解答題..................................................................................36

10.【答案詳解】...................................................................................39

11.【詳解】........................................................................................39

12.【詳解】........................................................................................39

13.【詳解】........................................................................................39

14.【詳解】........................................................................................40

15.【詳解】........................................................................................40

16.【詳解】........................................................................................41

17.【詳解】........................................................................................42

18.【詳解】........................................................................................42

19.【詳解】........................................................................................42

20.【詳解】........................................................................................43

21.【詳解】........................................................................................43

22.【詳解】........................................................................................44

23.【詳解】........................................................................................44

24.【詳解】........................................................................................44

25.【詳解】........................................................................................45

26.【詳解】........................................................................................45

27.【詳解】........................................................................................45

28.【詳解】........................................................................................46

第1頁共54頁

29.【詳解】........................................................................................46

30.【詳解】........................................................................................46

31.【詳解】........................................................................................46

32.【詳解】........................................................................................47

33.【詳解】........................................................................................47

34.【點睛】........................................................................................47

35.【詳解】........................................................................................48

36.【詳解】........................................................................................48

37.【詳解】........................................................................................48

38.【詳解】........................................................................................49

39.【詳解】........................................................................................50

40.【點睛】........................................................................................50

41.【詳解】........................................................................................50

42.【詳解】........................................................................................51

43.【詳解】........................................................................................51

44.【詳解】........................................................................................52

45.【詳解】........................................................................................52

46.【詳解】........................................................................................53

47.【詳解】........................................................................................53

1.空間向量基礎知識

空間向量的概念

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，用字母a,b,ca-,bf,c-……表示,

空間向量的大小叫做空間向量的長度或模.

解釋

(1)空間中點的位移、物體運動的速度、物體受到的力等都可以用空間向量表示；

(2)向量aa一的起點是AA,終點是BB,則向量aa—也可以記作AB-~ABf,其模記為|a

||a-|或|AB一—||AB-|；

⑶向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量；

(4)向量具有平移不變性.

(5)在空間，零向量、單位向量、相等向量、反向量與在平面的對應向量一樣.

【例】下列說法中正確的是().

A,單位向量都相等

B.任一向量與它的相反向量不相等

C.若|a|=|b||a-|=|bf|,則aaf與bb—的長度相等，方向相同或相反

D.若aa—與b是相反向量，則|a|=|b||a-*|=|b-*|

第2頁共54頁

解析對于AA,單位向量的模相等，但是方向不一定一樣，故AA錯；

對于BB,零向量與其反向量相等；

對于CC,|a|=|b||a-|=|b—|只能說明兩向量的模相等，方向可以是多樣的，故CC錯;

對于DD,相反向量的模是相等的，故DD是正確的。故選DD.

【練】給出下列命題：

①若空間向量a,ba;b一滿足|a|=|b||a^-|=|b^|,則a=baf=b-；

②若空間向量m,n,pm-,r)f,pf滿足m=nmf=n—,n=pr)f=p-,則m

=pm->=p->；

③零向量沒有方向；

④若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同.

其中假命題的個數(shù)是().

A.11B.22C.33D.44

解析對于①，向量方向不相同，則aNba->Wbf,故①錯；

對于②，空間向量也具有傳遞性，故②正確；

對于③，零向量的方向是任意的，故③錯；

對于④，相等向量的起點與終點不一定相同，故④錯。故選CC.

運算

(1)定義與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下(如圖).

0A->-=0B-0C->-=a+bOA_*=OB->+OC_>=a_>+b^,CB-**-=0B-?—0C->*-=a-b

CBf=OBf-OC-=a--bf,OP——Na(入￡R)OPf=入a—(人eR)

⑵運算律

①加法交換律:a+b=b+aa->+b->=b->+a->；

②加法結合律Xa+b)+c=a+(b+c)(a->+b->)+c->=a->+(b->+c->)；

③數(shù)乘分配律:人(a+b)=A.a+XbX(a~*+b^)=Xa->+Xb^；

運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則.

第3頁共54頁

注平行六面體法則：在平行六面體ABCD—A1B1C1D1ABCD—A1B1C1D1中，AC1一—AB-fAD

【例】已矢口空間四邊形ABCDABCD中，AB—vaABf=a-*,CB——bCB-*=b^,AD——C

ADf=cf,則CD--CDf等于().

A.a+b—caf+bf-c-B.—a—b+c—a--—b^+c->C.—a+b+c—

a^+b-4-c->D.—a+b—c-a—+b——c-

解析CD--=CB-BA-rAD---=b-a+c=-a+b+cCD->=CB->+BA->+AD-*=b->

【練】化簡(AB一一CD--HAC-—BD--)(AB--CDfHAC--BDf).

解析(AB-—CD-[-(AC-—BD-一)=AB——CD-—AC——BD-—AB——DC——CA—

—BD——O-(AB--CDfHACf-BD^)=AB^-CD-3Cf+BDf=ABf+DC—+CA—+BDf=0f.

共線向量

1如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向

量，aa—平行于bbf,記作a//ba—〃bf.

2共線向量定理：空間任意兩個向量aa-,b(bWO)b-(b-^O-*),a//boaf

〃bf=>存在實數(shù)入，使a=入ba_*-=入b~*.

3三點共線：A、B、CA、B、C三點共線=AB->-=入AC—1■—AB-=入AC-；

4與aa—共線的單位向量為±a|a|±a^|a-|.

第4頁共54頁

【例】如圖,在平行六面體ABCDY'B'CD'ABCD-A,BzCDz中，E,FE,F分別是BD,BC'

BD,BC'的中點，判斷以下向量是否共線向量，若是，則判斷是同向向量還是反向向量：①AB-7B

一與D，C'一—D'C'一；②AD-3D-與BC'--BC'-；③EF--EF—與C'D--C，D

f；④AD'-TXD'—與C'B--C'B-；

解析①AB-vD'C-T\B-=D'C'AB-YB—與D'C'一—D'C'—是同向向

量；②ADAD與BC'BC'是異面直線，AD—7D-與BC'-"BC'f不是共線向量；

③EF〃C'DEF〃C'D且EF=12C'DEF=12CZD,則EF—vT2C'D--EFf=T2C'Df,則EF-

一-EFf與C'D--C'D一是反向向量；

④AD'-v-C'B-YD'-=-C'B-,AD'--AD'—與C'B--C'B一是反向向量.

【練】已知向量aa->,bb->且AB—*-=a+2bAB->=a->+2b^,BC-*-=-5a+6bBC->

=-5a—+6b-,CD—--=7a-2bCDf=7af-2b-,則一定共線的三點為（）.

A.A,B,DA,B,DB.A,B,CA,B,CC.B,C,DB,C,DD.A,C,DA,C,D

解析因為BD-<BC——CD-—5a+6b+7a-2b=2a+4b=2AB--BD^=BC~*

+CD->=-5a->+6b->+7a-*-2b->=2a-*+4b-*=2AB->,

所以AB—YB—與BD--BD—共線，即A,B,DA,B,D三點共線.

共面向量

1定義

一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的.

2共面向量定理

如果兩個向量aa-zbb-不共線，pp—與向量aa—,bb一共面的充要條件是存在唯

一實數(shù)對(x,y)(x,y),使p=xa+ybp->=xa^+yb^.

3四點共面

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方法1若要證明A、B、C、PA、B、C、P四點共面，只需要證明AP—、AB—二AC—YP-,AB

f,ACf共面，即AP—一xAB—一yAC--AP->=xABf+yAC—.

方法2若要證明A、B、C、PA、B、C、P四點共面，只需要證明OP-vxOA-ryOB-TZOC

^-OPf=xOAf+yOBf+zOCf(其中x+y+z=lx+y+z=l)

則OP一-=xOA一^-H-yOB一TZOC--=xOA一>-i-yOB一>H-(l-x-y)OC一>-OP->=xOA->+yOB->

+zOC->=xOA->+yOB->+(l-x-y)OC->

=0C->,-4-X(0A->―OC--)+y(OB-**-OC->-)=0C->—xCA-**fyCB-*-=OC_*+x(OA->-0C

f)+y(OBf-OC->)=OC->+xCA->+yCB-*,

???OP——OC—一xCA—.yCB一一二?OP—-OCf=xCA-+yCBf,CP—-xCA-fyCB-Y?

CPf=xCA一+yCBf,

即CP一百CA一、CB一一CP->,CA—,CB一共面，即A、B、C、PA、B、C、P四點共面.

【例】在下列條件中，使MM與A,B,CA,B,C一定共面的是()

A.0M—-0A一一0B一一0C--OMf=0A--OBf-OCfB.OM--=150A—-130B-

f—120C--0M—=150Af+130Bf+120Cf

C.MA—>TMB—,,H-MC—**-=0->MA_>+MB_>+MC_*=0_*D.OM->H-OA—*,H-OB—*,H-OC—

f-=0-OMf+0Af+0Bf+0Cf=C)f

解析在CC中，由MA-fMB-fMC―—OfMA-+MBf+MCf=0f,得MA一—-MB——

MC--MAf二-MB—HVICf,

貝I」MA-、MB-、MC—一MAf,MBf,MC—為共面向量，即M、A、B、CM、A、B、C四點共面；

對于AA,由OM--=0A-—OB-—OC--OM—=0A--0Bf-OCf,得1一1一1二一1￡11一1

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不能得出M、A、B、CM、A、B、C四點共面;

對于BB,由OM—vl5OA——13OB——12OC--OMf=15OAf+13OBf+12OC-*,

得15+13+12^115+13+12^1,

所以M、A、B、CM、A、B、C四點不共面；

對于DD,由OM——bOA—>—OB——0C--=C)fOMf+OAf+OBf+OCf=C)f,得。M—??-=-

(OA——OB——OC-fOMf=-(OAf+OB—+OC->),

其系數(shù)和不為11,所以M、A、B、CM、A、B、C四點不共面.

故選：CC.

【練11下列說法中正確的是().

A.平面內(nèi)的任意兩個向量都共線B.空間的任意三個向量都不共面

C.空間的任意兩個向量都共面D.空間的任意三個向量都共面

答案CC

【練2】。。為空間中任意一點，A,B,CA,B,C三點不共線，且OP—v340A—T180B--HOC-

--OP—=34OAf+180Bf+tOCf,若P,A,B,CP,A,B,C四點共面，則實數(shù)t=t=.

解析由題意得，OP—v34OA--F180B--HOC--OP—=34OA—+180B—+tOC-,

且P,A,B,CP,A,B,C四點共面，

34+18+t=l,34+18+t=l,，t=18/.t=18.

基本方法

【題型1】空間向量的線性運算

【典題1］在平行六面體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中，MM為A1C1A1C1與B1D1B1D1的

交點，若AB--=a,AD—,AA1-*-=cAB-*=a-*,AD-*=b-*,AAl-*=c-*,則與BM--BM

f相等的向量是()

第7頁共54頁

A.12a+12b+c12a->+12b_,,+c->B.-12a+12b+c-12a->+12b_*+c-*C.12a-

12b+c12a-*—12bf+cfD.T2aT2b+cT2afT2bf+cf

解析在平行六面體ABCD-A1B1C1D1ABCDY1B1C1D1中，MM為A1C1A1C1與B1D1B1D1的交點，

AB---=a,AD-*-=b,AA1-^-=cAB—=a—,ADf=b—,AAlf=cf,

；.BM——BB1-TBIM——AA1——12BD——AM——12(BA-TBC-M.BMf=BBL

+B1M-=AAl-*+12BD-=AAl->+12(BA-+BC-)

=T2AB—一12AD—一AA1一2a+12b+c=T2AB—+12AD—+AA1-=T2a—+12bf+c

故選：BB.

鞏固練習

1.空間中任意四個點A,B,C,DA,B,C,D,則DA-rCD-—CB--DA—+CD—-CB—等于().

A.DB--DB—B.AC--ACfC.AB--AB—D.BA--BA-

2.已知三棱錐A—BCDA—BCD中，EE是BCBC的中點，貝UAE-T2(AC-TAD--)=AEfT2(AC

一+AD—)=()

A.BD--BD—B.DB--DB-C.12BD一T2BD—D.12DB-T2DB—

3.如圖，在四面體ABCDABCD中，E,F,G,HE,F,G,H分另I」為AB,BC,CD,ACAB,BC,CD,AC的中點，則12(AB

—一BC——CD--)=12(AB-+BC-+CDf)=()

A.BF--BF-B.EH--EHfC.FG--FG-D.HG--HG-

4如圖，在三棱錐S3BCS3BC中，點E,FE,F分別是SA,BCSA,BC的中點，點GG在棱EFEF上，且

滿足EGGF=12EGGF=12,若SA-*=aSAf=af,SB—>=bSB->=b^,SC—*=cSCf=cf,貝USG—>

=SGf=()

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B

A.13aT2b+16c13a-T2b—+16c-B.13a+16b+16c13a-+16b-+l6c

一C.16aT3b+12c16a-—13bf+12c—D.13aT6b+12c13a-T6b-+12c-

9?9??參考答案

答案DD

解析DA-fCD一—CB一—(CD-rDA-T-CB-<CA一—CB-—BA--DA^+CD--CB-

=(CD—+DA—)-CB—=CA--CB—=BA—.

答案DD

解析如圖，取CDCD中點FF,連結AFAF,EFEF,

Y三棱錐A-BCDA-BCD中,EE是BCBC的中點，

AE—T2(AC—-AD-]=AE-一AF一<FE一<12DB-T.AEfT2(ACf+AD—)=AE—-AF

-*=FE-*=12DB-*.

故選：DD.

答案DD

解析如圖所示:

取ADAD的中點KK,由于12AB—一AE—T2ABf=AE—,12BC-vEH—T2BCf=EH—,

所以12(AB--FBC——CD--)=AE——EH——CG——HC——CG—一HG一T2(ABf+BCf

第9頁共54頁

+CDf)=AEf+EHf+CGf=HCf+CGf=HGf

故選：DD.

答案BB

解析因為SG-二SE-+EG——12sA—+13EF-—I2sA-+13(ES—+SC-+CF-3SGf=SEf

+EG-=12SA—+13EF-=12SA-+13(ES-+SCf+CF—),

=12SA-+16AS-+13SC-+16CB-V13sA一+13SC-+16(CS-+SB-)=12SA—+16AS—+13SC

f+16CBf=13SAf+13SCf+16(CS-*+SBf)

=13SA一+16SB一+16SC-=13a+16b+16c=13SA-*+16SB-*+16SC-*=13a^+16b^+16c-*.

故選:BB.

【題型2】空間向量共線問題

【典題1】對于空間任意一點00,以下條件可以判定點P,A,BP,A,B共線的是--------_(填序

號).

①0P-vOA——tAB一一(teR,tWO)OPf=0A—+tAB—(tGR,tW0)；②50P——OA-rAB-

-50Pf=0Af+ABf；

③OP一vOA-TAB--(tGR,tWO)OPf=0A-TABf(teR,tWO)；④OP—--OA--FAB-

-OP-=-0A—+AB-*.

解析對于①，：OP—vOA-rtAB--(tGR,tWO)：OP-=OA-+tABf(tGR,tWO),

，OP一—OA-TAB一~(tWO)，OP--0A-=tABf(tWO),，AP-TAB-~(tWO)，AP—=tAB

一(two)，

，.,.點P、A、BP、A、B共線，故①正確；

對于②，???50P—v0A-rAB一一?.?50P—=0Af+AB-，.'.SOP——OB一—.?.50P—=0B-，；.

0P-\0B-—.'.OPf,0B一共線，

...P,O,B.?.P,O,B共線，點P,A,BP,A,B不一定共線,故②錯誤；

對于③，?.?OP—vOA——AB—-(tWO)：OPf=OAf+ABf(tWO),，OP——OA—YTAB--(t

WO).,.OP--0A—=fAB—(tWO),

.?.AP-TAB--(tWO)，AP—=fABf(tWO),AP-\AB一Y.AP-,AB一共線，.,.P,A,B.\

P,A,B共線，故③正確；

對于④，0P—?"-=-0A—>rAB—：OP—=-0Af+AB_>，，OP^*-=-OA—0B—>—OA—*-

，OP—=-OA-+OB--OA—,

OP-vVOA——OB-Y.OP—=-20A—+0B—,OP-—OB——20A一一OP—-OB-=-

第10頁共54頁

20A

.?.BP—v<OA—Y.BPf=eOAf,.?.BP,OA；.BP,OA平行或重合,

故BPQABPQA平行時，點P,A,BP,A,B不共線，故④錯誤.

故選：①③.

【典題2］如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中，EE在A1D1A1D1上，且A1E一

—2ED1一一A1E-=2ED1—,FF在對角線A1CA1C上，且A1F——23FC--A1F—=23FC-.若AB—

-=a,AD-*-=b,AA1-*-=cABf=a—,ADf=bf,AAlf=c-.

(1)用a,b,ca—,b~*,Cf表示EB--EB-；(2)求證：E,F,BE,F,B三點共線.

解析(1)EB-vEAl——A1A——AB——23DA-—AA1——AB-<a-c-23bEB-

=EAl->+AlA->+AB->=23DA--AAl-+AB->=a->-c--23b->,

證明：(2)設AB—』，AD——b,AA1——cAB—=a—,ADf=bf,AA1—=c-,

?.,AlE—v2EDl一—:AlEf=2ED1—,A1F——23FC--A1F—=23FC-，,A1E-V23A1D1一

「A1F——25Ale一一AlEf=23AlDlf,AlFf=25AlCf,

，AlE—v23AD-v23b/.AlE->=23AD^=23b^,A1F——25(AC一一AA1--)=25(AB一一

+AD-—AA1--)=25a+25b-25cA1F—=25(AC--AA1—)=25(ABf+AD--AA-)=25a—+25bf

-25c

，EF-YAIF一一AIE-Y25a-415b-25c=25(a-23b-c)/.EF-*=AlF-*-AlE^

=25a--415b-*-25c-*=25(a-*-23b--c--),

又Y?.?由⑴知EB-va-c-23bEB—=a--cf-23b-,

...EF-v25EB-Y.EFf=25EBf,且有公共點EE,

，E,F,B，E,F,B三點共線.

9????鞏固練習

1.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1,中,M,NM,N分別是C1D1C1D1,ABAB的

中點，EE在AA1AA1上且

AE=2EA1AE=2EA1,FF在CC1CC1上且CF=12FC1CF=12FC1,判斷ME-f/IE—與NF-HMF一是否

共線？

第11頁共54頁

2.如圖，四邊形ABCDABCD和ABEFABEF都是平行四邊形，且不共面，MM,NN分別

是ACAGBFBF的中點.判斷CE--CEf與MN-HVINf是否共線.

??.參考答案

答案共線

解析由已知可得：ME——MD1一—FD1A1一—FA1E-HVIEf=MD1—+DlAlf+AlEf

=12BA—一CB——13A1A-v-NB——CB——13C1C——CN——FC-^12BA^+CB-

+13AlA-=-NB-+CB—+13cle-=CN-+FC-=FN—v-NF—vFN-=-NF-.

所以ME-Y-NF--ME-=-NFf,故ME-HVIE-與NF--NF—共線.

答案共線

第12頁共54頁

解析?.?M,N：M,N分別是ACAC,BFBF的中點,而四邊形ABCDABCD,ABEFABEF都是平行四邊形,

，MN——MA——AF—一FN——12cA—一AF--F12FB-MNf=MAf+AFf+FN-

=12CA-+AF—+12FB-.

又..'MN——MC——CE——EB-rBN——12cA——CE-—AF一—12FB一—；MNf=MC

f+CEf+EB—+BNf=T2CAf+CE—-AFfT2FB~*,

，12cA—一AF—T12FB——T2cA—一CE一一AF—T2FB-12CA-*+AF^+12FB^=-

12CA—+CE—-AF-T2FB—.

CE——CA--F2AF——FB-v2(MA-rAF-rFN--)=2MN-Y.CE—=CA—+2AF—+FB

f=2(MA-+AFf+FN—)=2MN-*,

，CE—-//MN—Y.CEf〃MNf,即CE--CEf與MN-HVIN一共線.

【題型3】空間向量共面問題

【典題11下面關于空間向量的說法正確的是（）.

A.若向量aa-,bb-*平行，則aa-*,bb—所在的直線平行

B.若向量aa—,bbf所在直線是異面直線，則aa->,bb-不共面

C.若A,B,C,DA,B,C,D四點不共面，則向量AB-,CD-YB-,CD-不共面

D.若A,B,C,DA,B,C,D四點不共面，則向量AB-、AC--；AD-T\B-,AC—,AD-不共面

解析可以通過平移將空間中任意兩個向量平移到一個平面內(nèi)，因此空間任意兩個向量都是共面

的，故B,CB,C都不正確.注意向量平行與直線平行的區(qū)別，可知AA不正確，可用反證法證明DD是

正確的.

【典題2】如圖所示，已知斜三棱柱ABC31B1C1ABCY1B1C1,點MM,NN分別

在AC1AC1和BCBC上，且滿足AM-vkACl-YMf=kAClf,BN-—kBC--(04Q)BNf=kBC

一(04<L),判斷向量MN--MN—是否與向量AB-,AA1--AB—,AAlf共面.

解析,?AN——AB——BN-vAB——k(AC-fB--)=(l-k)AB-rkAC-，:AN—=AB-

+BNf=AB—+k(AC--AB^)=(l-k)AB-*+kAC-.

AM—-=kACl—?"-=k(AAl——AC->-)AM->=kACl->=k(AAl-*+AC-*),MN->-=AN-―AM—>

〈(l-k)AB-—kAAl一一，MNf=ANf-AMf=(l-k)ABf-kAAL,

，向量MN-HVINf與向量AB-、AA1--ABf,AA1一共面.

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【典題3】如圖所示，已知平行四邊形ABCDABCD,從平面ACAC外一點00引向量0E一—kOA

->->->_->->

->-OE=kOA/OF->*-=kOB->-OF=kOB**,0G-**-=kOC-?-OG=kOC/0H->*-=kOD-**-OH

—=kODf,求證：

(1)四點E,F,G,HE,F,G,H共面；(2)平面AC〃AC〃平面EGEG.

證明⑴因為四邊形ABCDABCD是平行四邊形，

所以AC—,■-=AB——AD->—EG->-=0G->―0E--=kOC-?―kOA-*-=kAC->-=k(AB->—AD—

--JAC—=ABf+AD-,EG—=0Gf-0E—=kOC--kOA—=kAC—=k(AB—+AD—)=k(OB一一0A—rOD-

一一OA--)=0F一一OE--FOH一一OE一vEF-rEH-vk(0B--0A-+0Df-0A-)=0F--0E

—+0Hf-OEf=EFf+EHf.

所以E,F,G,HE,F,G,H共面.

(2)EF—一OF一一OE一vk(0B-—OA--)=kAB--EFf=0Ff-OE^=k(OB-*-OA^)=kAB^,

且由第⑴小題的證明中知EG-vkAC--EG—=kACf,

于是EF〃ABEF〃AB,EG〃ACEG〃AC.所以平面EG〃EG〃平面ACAC.

鞏固練習

1.(多選)在以下命題中，不正確的命題有()

A.若aa-與bbf共線，bbf與ccf共線，則a與cc一共線

B.若a//baf〃bf,則存在唯一的實數(shù)人入，使a=、ba-=A.b->

C.對空間任意一點0。和不共線的三點A,B,CA,B,C,若OP——20A——20B-T0C-Y)P

一=2OA-+2OB—TOC-,則P,A,B,CP,A,B,C四點共面

D.若兩個非零空間向量AB-\CD—>~ABf,CDf滿足AB-("CD—>-=0-AB—+CDf=0-,

則AB--//CD--AB—〃CDf

2.對于空間任意一點00和不共線得三點A,B,CA,B,C,有如下關系：OP—vl6OA—rl3OB一

―120C--OP—=160A-+13OB-+12OCf,則()

A.四點O,A,B,CO,A,B,C必共面B.四點P,A,B,CP,A,B,C必共面

C.四點O,P,B,CO,P,B,C必共面D.五點O,P,A,B,CO,P,A,B,C必共面

3.已知三個向量a,b,ca-\bf,cf不共面，且p=a+b-cp—=a—+bf-c—,q

=2a-3b-5cq->=2a--3b-*-5c-*,r=-7a+18b+22cl=-7af+18bf+22cf.試問向

量p,q,rp~*,qf,r-*是否共面.

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4.已知E,F,G,HE,F,G,H分別是空間四邊形ABCDABCD的邊AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中點，用向

量法證明:E,F,G,HE,F,G,H四點共面.

參考答案

答案ABAB

解析當b=Ofbf=O--,滿足aaf與bb—共線，bb—與cc—共線，而aaf與c

c->不一定共線，故AA錯誤；

當aaf與bb~*均為零向量時，能夠保證a//ba-*//b-*,則存在無數(shù)多的實數(shù)人入，

使得a=Xba-=A.b—,故BB錯誤；

?.?OP—v2OA—r2OB—TOC—T