a02(我)自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章1一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖本章內(nèi)容：數(shù)學(xué)模型時(shí)域模型頻域模型方框圖和信號流圖狀態(tài)空間模型2

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型動態(tài)數(shù)學(xué)模型建模方法分析法實(shí)驗(yàn)法3

本章要求:

1、了解建立系統(tǒng)微分方程的一般方法；2、掌握運(yùn)用拉氏變換解微分方程的方法；3、牢固掌握傳遞函數(shù)的概念、定義和性質(zhì)；4、明確傳遞函數(shù)與微分方程之間的關(guān)系；5、能熟練地進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖等效變換；6、明確結(jié)構(gòu)圖與信號流圖之間的關(guān)系；7、熟練運(yùn)用梅遜公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；8、掌握從不同途徑求傳遞函數(shù)的方法。4一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型主要著重研究描述線性、定常、集總參量控制系統(tǒng)的微分方程的建立和求解方法。

1、線性元件的微分方程

以舉例說明控制系統(tǒng)中常用的電氣元件、力學(xué)元件等微分方程的列寫。5例1:圖示RLC無源網(wǎng)絡(luò)，列出以為輸入量，以為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。解：消去中間變量得：一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型6例2：圖示彈簧-質(zhì)量-阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)。試列寫質(zhì)量m在外力F(t)作用下位移x(t)的運(yùn)動方程。

解：由牛頓運(yùn)動定律有

式中F1（t）是阻尼器的阻尼力，

F2（t）是彈簧反力一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型7

比較:R-L-C電路運(yùn)動方程與M-S-D機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動方程

相似系統(tǒng)：揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。便于用簡單系統(tǒng)去研究相似的復(fù)雜系統(tǒng)。一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型82、控制系統(tǒng)微分方程的建立基本步驟：一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型（1）由系統(tǒng)原理圖畫出系統(tǒng)方框圖或直接確定系統(tǒng)中各個(gè)基本部件（元件）（2）列寫各方框圖的輸入輸出之間的微分方程，要注意前后連接的兩個(gè)元件中，后級元件對前級元件的負(fù)載效應(yīng)（3）消去中間變量9舉例3：速度控制系統(tǒng)的微分方程一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型10控制系統(tǒng)的主要部件（元件）：給定電位器、運(yùn)放1、運(yùn)放2、功率放大器、直流電動機(jī)、減速器、測速發(fā)電機(jī)運(yùn)放1運(yùn)放2功放直流電動機(jī)減速器（齒輪系）測速發(fā)電機(jī)得微分方程如下：（其中系數(shù)由已知參數(shù)構(gòu)成）113、線性系統(tǒng)的特性

a、線性系統(tǒng)是指用線性微分方程描述的系統(tǒng)，其重要性質(zhì)是可以應(yīng)用疊加原理。b、疊加原理具有可疊加性和均勻性。例如：有線性微分方程若時(shí)，解為：若時(shí)，解為：一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型可疊加性：當(dāng)時(shí)，微分方程的解為均勻性：當(dāng)時(shí)，A為常數(shù)，微分方程的解12一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型例4在上第一例中，若已知L=1H，C=1F，R=1Ω，且電容上初始電壓，初始電流i（0）＝0.1A，電源電壓，試求電路突然接通電源時(shí)，電容電壓的變化規(guī)律。

4、線性定常微分方程的求解直接求解法：通解+特解零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

變換域求解法：Laplace變換方法(重點(diǎn))

13一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型解：在上第二例中已求得網(wǎng)絡(luò)微分方程為令，，且分別對各項(xiàng)求拉氏變換并整理后有14一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型由于對求拉氏反變換，得如果輸入電壓是單位脈沖量，則單位脈沖響應(yīng)為15一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型用拉氏求解線性定常微分方程的過程可歸結(jié)如下：

1)考慮初始條件，對微分方程中的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量s的代數(shù)方程；

2)由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式；

3)對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。

165、運(yùn)動的模態(tài)運(yùn)動的模態(tài)：是由n階微分方程的特征根所決定的，代表自由運(yùn)動的振型函數(shù)。從數(shù)學(xué)上講，即是n階齊次微分方程的通解所包含的振型函數(shù)。（1）如果n階微分方程的特征根無重根，為，則有運(yùn)動的模態(tài)為：等函數(shù)；一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型（2）如果n階微分方程的特征根中有多重根λ則有運(yùn)動的模態(tài)為：等函數(shù)；（3）如果n階微分方程的特征根中有共軛復(fù)根則有運(yùn)動的模態(tài)為：和，或?qū)懗珊?7一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型由給定的初始條件可求得故得這個(gè)結(jié)果與例5中解的零輸入分量是一致的.在上例中，徽分方程的特征根，故其共軛復(fù)模態(tài)是與，或與，而微分方程的齊次通解是181、傳遞函數(shù)的定義與性質(zhì)（1）定義傳遞函數(shù)：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。由n階線性微分方程推出傳遞函數(shù)的方法：二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型在零初始條件下，由傳遞函數(shù)的定義得19二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型例5試求例1RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解

RLC網(wǎng)絡(luò)的微分方程用式(2-1)表示為

在零初始條件下，對上述方程中各項(xiàng)求拉氏變換，并令

可得s的代數(shù)方程為20二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型由傳遞函數(shù)定義，網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為：

故將微分方程的算符d/dt用復(fù)數(shù)s置換便得到傳遞函數(shù)；反之，將傳遞函數(shù)多項(xiàng)式中的變量s用算苻d/dt置換便得微分方程。

21（2）性質(zhì)1）傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù),；2）傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)輸入量形式無關(guān)；3）傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，可相互轉(zhuǎn)換；4）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換。二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型22例6求電樞控制直流電動機(jī)傳遞函數(shù)解：二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型23根據(jù)線性疊加原理，分別研究到和到的傳遞函數(shù)二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型電動機(jī)轉(zhuǎn)速在電樞電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩同時(shí)作用下的響應(yīng)特性為：242、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)（1）傳遞函數(shù)表示形式為：二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型上式中，

(i=1,2,...,m)是傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；

(j=1,2,...,n)是傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；為傳遞系數(shù)或根軌跡增益。復(fù)平面上零點(diǎn)用“”表示，極點(diǎn)用“”表示，稱為零極點(diǎn)分布圖。○25（2）傳遞函數(shù)表示形式為：式中，、稱為時(shí)間常數(shù)；為傳遞系數(shù)或增益。二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型3.傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對輸出的影響（1）傳遞函數(shù)的極點(diǎn)可受輸入函數(shù)的激發(fā)，在輸出響應(yīng)中形成自由運(yùn)動模態(tài)。26二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型由于傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是微分方程的特征根，因此它們決定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動的模態(tài)，而且在強(qiáng)迫運(yùn)動中（即零初始條件響應(yīng)）也會包含這些自由運(yùn)動的模態(tài)。設(shè)某系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

顯然，其極點(diǎn),,零點(diǎn)，自由運(yùn)動的模態(tài)是和。

27二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型當(dāng)，即時(shí)，可求得系統(tǒng)的零初始條件響應(yīng)為

=

式中，前兩項(xiàng)具有與輸入函數(shù)r（t）相同的模態(tài)；后兩項(xiàng)中包含了由極點(diǎn)-1和-2形成的自由運(yùn)動模態(tài)，這是系統(tǒng)“固有”的成分，但其系數(shù)卻與輸入函數(shù)有關(guān)，因此可以認(rèn)為這兩項(xiàng)是受輸入函數(shù)激而形成的。

28（2）傳遞函數(shù)的零點(diǎn)不形成自由運(yùn)動模態(tài)，卻影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重，影響響應(yīng)曲線的形狀?，F(xiàn)舉例說明：二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型設(shè)具有相同極點(diǎn)但零點(diǎn)不同的傳遞函數(shù)分別為

其極點(diǎn)都是-1和-2，G1(S)的零點(diǎn)Z1=-0.5，G2(S)的零點(diǎn)Z2=-1.33。

在零初始條件下，它們的價(jià)躍響應(yīng)分別是

29二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型上述結(jié)果表明，模態(tài)和在兩個(gè)系統(tǒng)的單位價(jià)躍響應(yīng)中所占的比重是不同的，它取決于極點(diǎn)之間的距離和極點(diǎn)與零點(diǎn)之間的距離，以及零點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離。在極點(diǎn)相同的情況下，的零點(diǎn)接近原點(diǎn)，距兩個(gè)極點(diǎn)的距離都比較遠(yuǎn)，因此，兩個(gè)模態(tài)所占比重大且零點(diǎn)的作用明顯；而的零點(diǎn)距原點(diǎn)較遠(yuǎn)且與兩個(gè)極點(diǎn)均相距較近，因此兩個(gè)模態(tài)所占比重就小。這樣，盡管兩個(gè)系統(tǒng)的模態(tài)相同，但由于零點(diǎn)的位置不同，其單位價(jià)躍響應(yīng)和卻具有不同的形狀。

30二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型31無源網(wǎng)絡(luò)二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容和電感組成，可以用兩種方法求取無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，一種方法是先列寫網(wǎng)絡(luò)的微分方程，然后在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，從而得到輸出變量與輸入變量之間的傳遞函數(shù)；另一種方法是引用復(fù)數(shù)阻抗直接列寫網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)方程，然后求其傳遞函數(shù)。

圖中，由圖可直接寫出電路的傳遞函數(shù)為

4、典型元部件的傳遞函數(shù)32二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型

注意，求取無源網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)時(shí)，一般假設(shè)網(wǎng)絡(luò)輸出端接有無窮大負(fù)載阻抗，輸入內(nèi)阻為零，否則應(yīng)考慮負(fù)載效應(yīng)。

下面舉例說明負(fù)載效應(yīng)如圖，兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)不相連接時(shí)，可視為空載，其傳遞函數(shù)分別是

33二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型若將與兩個(gè)方框串聯(lián)連接，如圖右端，則其傳遞函數(shù)34三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖：描述系統(tǒng)各元部件之間的信號傳遞關(guān)系的一種圖形化表示，特別對于復(fù)雜控制系統(tǒng)的信號傳遞過程給出了一種直觀的描述。351、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制(1)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成單元A信號線B引出點(diǎn)（或測量點(diǎn)）C比較點(diǎn)（或綜合點(diǎn)）D方框（或環(huán)節(jié)）下圖為結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖36三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖37(2)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的繪制方法（1）考慮負(fù)載效應(yīng)，列寫元部件傳遞函數(shù)，用方框表示；（2）根據(jù)元部件的信號流向，用信號線依次連接方框，得方框圖。下面舉例說明：三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖38三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例試?yán)L制無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。解應(yīng)用復(fù)阻抗概念，根據(jù)基爾霍夫定律寫出以下方程：

按照上述方程可分別繪制相應(yīng)元件的方框如圖。然后，用信號線按信號流向依次將各方框連接起來，便得到無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。

39三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖402、結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化任何復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。方框結(jié)構(gòu)圖的簡化是通過移動引出點(diǎn)、比較點(diǎn)，交換比較點(diǎn)，進(jìn)行方框運(yùn)算后，將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖41（1）簡化的原則：變換前后變量關(guān)系保持等效。具體為：

A、變換前后前向通路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變；

B、變換前后回路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變。三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖42（2）等效變換規(guī)則

A、串聯(lián)等效三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖43B、并聯(lián)等效三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖44C、反饋等效三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖45D、比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖46E、負(fù)號在支路上移動三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖47F、比較點(diǎn)合并與分解下面舉例說明：三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖48三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例

試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)

49三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖50三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例

試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)

51三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖52三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖533、信號流圖的組成及性質(zhì)(1)、信號流圖的組成：由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。

A、節(jié)點(diǎn)：即變量，用小圓圈表示，為流向該節(jié)點(diǎn)的信號的代數(shù)和。

B、支路：定向線段，標(biāo)支路增益，相當(dāng)于乘法器，表因果關(guān)系。三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖54(2)、信號流圖的性質(zhì)

A、節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量；

B、支路相當(dāng)于乘法器；

C、信號沿箭頭單向傳遞；

D、系統(tǒng)的信號流圖不是惟一的。三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖下圖為典型的信號流圖55(3)、常用術(shù)語三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖源節(jié)點(diǎn)（或輸入節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路而沒有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)。阱節(jié)點(diǎn)（或輸出節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路而沒有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)。

56三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖前向通路：信號從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路。從源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)，共有兩條前向通路：一條是，其前向通路總增益；另一條是，其前向通路總增益?；芈罚浩瘘c(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，而且信號通過每一節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路。，其回路增益，其回路增益；的自回路，其回路增益是。不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時(shí)，這種回路叫做不接觸回路。一對是和；另一對是和。

57三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例

試?yán)L制RC無源網(wǎng)絡(luò)的信號流圖。設(shè)電容初始電壓為。解

由基爾霍夫定律，列寫微分方程式如下：

各微分方程式進(jìn)行拉氏變換，則有

4、信號流圖的繪制(1)由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖微分方程先拉氏變換，指定系統(tǒng)變量，按因果關(guān)系排列，連成信號流圖。58三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖經(jīng)整理后得

對變量，，，，，及分別設(shè)置七個(gè)節(jié)點(diǎn)；然后，用相應(yīng)增益的支路將個(gè)節(jié)點(diǎn)連接起來，便得到RC無源網(wǎng)絡(luò)的信號流圖。

59三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例試?yán)L制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流程。

解

首先，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的信號線上，用小圓圈標(biāo)注各變量對于對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)，如圖（a）所示。其次，將各節(jié)點(diǎn)按原來順序自左向右排列，連接個(gè)節(jié)點(diǎn)的支路與結(jié)構(gòu)圖中的方框相對應(yīng)，便得系統(tǒng)的信號流圖，如圖（b）所示。

(2)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖結(jié)構(gòu)圖上信號線變成小圓圈表示變量，方框變成增益線段（即支路），連成信號流圖。60三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖注意比較點(diǎn)與引出點(diǎn)的關(guān)系：①在結(jié)構(gòu)圖比較點(diǎn)之前沒有引出點(diǎn)（但在比較點(diǎn)之后可以有引出點(diǎn)）時(shí)，只需在比較點(diǎn)后設(shè)置一個(gè)節(jié)點(diǎn)便可，見圖（a）；②

但若在比較點(diǎn)之前有引出點(diǎn)時(shí)，就需在引出點(diǎn)和比較點(diǎn)各設(shè)置一個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別標(biāo)志兩個(gè)變量，它們之間的支路增益是1，見圖（b）。

61注意比較點(diǎn)與引出點(diǎn)的關(guān)系：三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖62經(jīng)整理后得

5、梅森增益公式(1)梅森增益公式的來源A、克萊姆規(guī)則求解線性方程組B、傳遞函數(shù)分子分母多項(xiàng)式分析63三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖由克萊姆規(guī)則，方程式組的系數(shù)行列式為

=因此，，即有

64三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

對上述傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式和分子多項(xiàng)式進(jìn)行分析表示信號流圖中所有單獨(dú)回路的回路增益之和項(xiàng)表示信號流圖中每兩個(gè)互不接觸的回路增益之乘積的和項(xiàng)65三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖是第條前向通路的總增益為與第條前向通路不接觸回路的回路增益令，則是與第條前向通路對應(yīng)的余因子式，它等于系數(shù)行列式中，去掉與第條前向通路接觸的所有回路的回路增益項(xiàng)后的余項(xiàng)式。

66（2）梅森增益公式三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

為從源接點(diǎn)到阱接點(diǎn)的傳遞函數(shù)（或總增益）；

為從源接點(diǎn)到阱接點(diǎn)的前向通路總數(shù)；

為從源接點(diǎn)到阱接點(diǎn)的第條前項(xiàng)通路總增益；

為流圖特征式；

為流圖余因子式；為所有單回路增益之和；為每兩個(gè)互不接觸的單獨(dú)回路的回路增益的乘積之和；為每三個(gè)互不接觸的單獨(dú)回路的回路增益的乘積之和；

等于流圖特征式中除去與第條前項(xiàng)通路相接觸的回路增益項(xiàng)（包括回路增益的乘積項(xiàng)）以后的余項(xiàng)式。67（3）利用梅森公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例

試用梅森公式求例2-14系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解

由梅森公式求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為68三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例

求圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

解有五個(gè)單獨(dú)回路沒有不接觸回路有兩條前項(xiàng)通路

69三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例試求信號流圖中的傳遞函數(shù)

解

單獨(dú)回路有四個(gè)，即兩個(gè)互不接觸的回路有四組，即三個(gè)互不接觸的回路有一組，即70三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖信號流圖特征式

從源節(jié)點(diǎn)R到阱節(jié)點(diǎn)C的前向通路共有四條

因此，由梅森公式求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

=71三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例試求圖所示系統(tǒng)信號流圖的傳遞函數(shù)

解

三個(gè)單獨(dú)回路，沒有不接觸回路，三條前向通路，72三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖由梅森公式求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為由上式不難求出與其對應(yīng)的微分方程為

這正是三階線性微分方程式的典型形式736、閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖74（1）輸入信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖（2）擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)75輸入和擾動共同作用式，系統(tǒng)輸出響應(yīng)為：若，并且則有三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖（3）閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)76三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖最后要指出的是，各種閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母形式相同，是因?yàn)樗鼈兌际峭粋€(gè)信號流圖的特征式，即△=1+,式中是回路增益，并稱它為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，它等效為主反饋段開時(shí)，從輸入信號R(s)到反饋信號B(s)之間的傳遞函數(shù)。

77三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例:試求圖所示控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)78三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖解：解法1用結(jié)構(gòu)圖等效變換法求解，等效變換過程如后圖所示79三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖…80三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖81三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖解法2用梅遜公式求解。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖所對應(yīng)的信號流圖如圖所示。系統(tǒng)有一條向前通道，其傳遞函數(shù)為四個(gè)回路：△=1-所以，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

82三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖、信號流圖如圖所示，求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。83三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖解

系統(tǒng)所對應(yīng)的信號流圖如圖所示。三個(gè)回路：，，

△=1=從到，有一條前向通路：從到，有一條前向通路：由梅遜公式，得

討論：同一系統(tǒng)的△是一定的，不隨輸入點(diǎn)的位置而改變。

84四、用MATLAB處理控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)模型控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型有4種形式：傳遞函數(shù)模型(tf對象)零、極點(diǎn)增益模型ZPK對象狀態(tài)空間模型(SS對象)動態(tài)框圖令系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為在MATLAB建立傳遞函數(shù)時(shí)，需將其分子與分母多項(xiàng)式的系數(shù)寫成兩個(gè)矢量，并用tf()函數(shù)給出，即85式中，num=[b0b1b2···bm]表示G(s)分子多項(xiàng)式的系數(shù)；

den=[a0a1a2···am]表示分母多項(xiàng)式的系數(shù)；Num和den都是按s的除冪次序給出。例

試用MATLAB表示下列的傳遞函數(shù)解在MATLAB的命令窗口中鍵入num=[12]；%分子多項(xiàng)式Den=[121]；%分母多項(xiàng)式Sys=tf(num,den)%求傳遞函數(shù)表達(dá)式Sys=tf(num，den)86建立零、極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù)如把傳遞函數(shù)