2021屆浙江省某中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷(含答案解析)

2021屆浙江省溫州中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.全集修=戚，集合盍=儂酶-4源吸集合鹿=枷般=靖魯警，則留"彝=（）

A.EM?士案“：緘B.1闊富軸蟄C.｛闊寓:冷霞D.｛闊上：斜?::震

2.命題p：“a=2”是q：“直線ax+3y-1=0與直線6x+4y-3=0垂直”成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.若復(fù)數(shù)z滿足z=0,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.某幾何體是由一個(gè)三棱柱和一個(gè)三棱錐構(gòu)成的，其三視圖如圖所示，則

該幾何體的體積為（）

側(cè)視圖

俯視圖

y-x<1

5.設(shè)變量x,y滿足約束條件x+y-3W0,則z=x+3y的最大值為（）

.y-1>0

A.7B.6C.5D.3

6.已知隨機(jī)變量X的分布列是

X4A910

P0.30.1B0.2

EX=7.5,則A等于（）

A.5B.6C.7D.8

X

7.已知函數(shù)/（x）=（2：i6^<r則吹））=（）

A.2B.1C.|D.-2

8.函數(shù)y=2sinx在區(qū)間邑?)的值域是()

o3

A。[-今》B.(一遍,2]C.[1,y]D.[-73.2)

9.已知函數(shù)/Q)=1x3++(a+b)x+c(a力,cGR)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為不，％2,且與6(0,1),

x2G(1,+<?),z=2a-b,則z的取值范圍是()

A.(-00,3]B.(-00,-3)C.[-3,+oo)D.(-3,4-co)

10.下列命題正確的個(gè)數(shù)為()

①命題”若XW1,則/_3才+2±0"的逆否命題是“若/_?才+2=0,則才=1"

②若命題P-.VxeR.x'+x+lw0,則凡/+x+l=0

③若9vg為真命題，則p,q均為真命題

(4)“》>?”是“――？才+2>0”的充分不必要條件

⑤在△4月仃中，若/>R,則sinA>sin月.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、單空題(本大題共7小題，共36.0分)

11.已知點(diǎn)&、4分別是雙曲線《一《=1(。>0/>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)Fi垂直于x軸的直線與雙

曲線交于A、B兩點(diǎn),若AABF?為銳角三角形，則雙曲線的離心率e的取值范圍是.

12.設(shè)｛一｝是正項(xiàng)等比數(shù)列,令5n=Iga、+lga2+?-?+lgan,n&N*,若存在互異的正整數(shù)m,n,

使得Sm=Sn,則Sjn+n=.

13.已知等差數(shù)列隹4J的首項(xiàng)為雕,公差為靖，其前制項(xiàng)和為，乳，若直線察=呻；與圓

儂-瀚反丸/=4的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線需出睇玨逋=儂對(duì)稱，則鼠=_

14.￡堿請(qǐng)開義手的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為243,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為二

限

15.用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)字之間

的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.

16.15.已知等腰思崛出=囤融=匈，則蠡.福=

17.已知尸，。為拋物線/=2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P,。的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過(guò)P,。分別作拋物線

的切線，兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為.

三、解答題(本大題共5小題，共63.0分)

18.已知ae(0,》且sin(a-g)=V

(1)求cosa的值；

(2)求sin(2a—§的值.

19.如圖，在四棱錐S—4BCD中,AC與8。交于點(diǎn)E/BAD=60。,乙4DC=120。，木

BD=3BE?圖》

(I)在線段AS上找一點(diǎn)尸，使得EF〃平面SCD并證明你的結(jié)論；/夕’

(II)若乙4DS=90°,AB=AD=DS,SB=也AD,求二面角B-SC-。的余弦值.

20.設(shè)數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和為%=2M,｛狐｝為等比數(shù)列，且％=瓦，b1(a2-a1)=h2.

(1)求數(shù)列｛斯｝和｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)金=1的1%，求數(shù)列｛呢｝的前〃項(xiàng)和〃.

4!

21.已知拋物線C的焦點(diǎn)/與橢圓3/+4y2=3的右焦點(diǎn)重合.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過(guò)焦點(diǎn)尸作互相垂直的兩條直線分別交拋物線C于A,M和N,B,求四邊形ABMN的面積S的

最小值及S最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的兩條直線方程.

22.已知函數(shù)/X*)=\「如€R,且aRO,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(/)若曲線/(?在點(diǎn)(e,7(e))處的切線斜率為0,且/(x)有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(〃)⑴當(dāng)a=b=?時(shí),證明：%/(%)+2<0；

(〃)當(dāng)a=l,b=-l時(shí)，若不等式：x/(x)>e+m(x-1)在區(qū)間(L+8)內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的最

大值.

【答案與解析】

1.答案:D

解析：試題分析：由題意可得滴=隨閭，鬻=圖1■喊，所以藤=1或砥

考點(diǎn)：集合的基本運(yùn)算.

2.答案：D

解析：解：a=2時(shí)，直線2x+3y—1=0和直線6x+4y—3=0不垂直，

不是充分條件，

若直線ax+3y—1=0與直線6x+4y-3=0垂直，則a=-2,

不是必要條件，

故選：D.

根據(jù)充分必要條件的定義以及直線的垂直關(guān)系判斷即可.

本題考查了充分必要條件，考查直線的垂直問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題.

3.答案：B

解析：試題分析：S對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為0，位于第二象限，故8正確.

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義.

4.答案：A

解析：

根據(jù)三視圖知該幾何體是由長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐所得的組合體，畫出幾何體的直觀圖，結(jié)合圖中

數(shù)據(jù)求出幾何體的體積.

本題考查了三視圖與空間想象能力的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

解：由三視圖知，該幾何體是由長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐所得的組合體，

畫出幾何體的直觀圖，如圖所示：

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算幾何體的體積為:

14

K=lxlx2-ixlxlx2=-.

33

故選：A.

5.答案：B

解析：解：作出約束條件表示的可行域如圖所示:

由目標(biāo)函數(shù)z=x+3y得y=+1,

由圖象可知當(dāng)直線丫=一1刀+|經(jīng)過(guò)點(diǎn)4時(shí)，

截距最大，

解方程組工。3得嗎1)

z的最大值為|+3x|=6.

故選：B.

作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為y=+根據(jù)函數(shù)圖象判斷直線取得最大截距時(shí)的位置，得出最

優(yōu)解.

本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，畫出約束條件的可行域，求出最優(yōu)解是解題的關(guān)鍵.

6.答案：C

解析：解：由題意可得：0.3+0.1+8+02=1,解得B=0.4.

EX=7.5=4x0.3+Ax0.1+9x0.4+10x0.2.

解得4=7.

故選：C.

利用概率的和為1，求出8,通過(guò)期望求解A.

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力.

7.答案：B

解析：解：?.?函數(shù)

?，?/■(；)=2-16了=0,

/(/(；))=/(0)=2-16°=1.

故選：B.

推導(dǎo)出f(}=2—16*=0,從而/(/?))=/(0)，由此能求出結(jié)果.

本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

8.答案：B

解析：解：???三

o3

???當(dāng)X時(shí)，函數(shù)y=2sinx取得最大值，此時(shí)最大值為2,

當(dāng)x=?時(shí)，函數(shù)y=2sinx取得最小值，此時(shí)最小值為2x(-立)=一行，

32

71,47r

<X<

63

—V3<y<2,

即函數(shù)的值域?yàn)?一8,2],

故選：B.

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)的值域的求解，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

9.答案：B

解析：解：,函數(shù)/(x)=[x3+]x2+(a+b)x+c,

:./'(X)=x2+ax+a+b

由題意可得/''(%)=0的兩根X2,

且G(0,1),X2e(l,+oo),

滿足條件的可行域如下圖所示

小b

5-b=2a-Z

-5~^4-^3~-2/-1\i15

/，、*

/-1La

由圖可知：當(dāng)直線b=2a-z過(guò)做-1,1)時(shí)，z取得最大值-3,z無(wú)最小值，但由于不包括邊界,

???zV—3,

故Z的取值范圍是(一8,-3),

故選：B

(

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由已知結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得匕；2?=：+/二1\,「，代入可得關(guān)于mb的二元

一次不等式組，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，畫出平面區(qū)域，在可行域內(nèi)找到目標(biāo)函數(shù)的取值范圍.

本題以函數(shù)的極值為切入點(diǎn)，借助于二次函數(shù)的圖象及二次方程的實(shí)根分布把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域

內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，是一道綜合性較好的試題，體會(huì)“轉(zhuǎn)化思想”在解題中的應(yīng)用.

10.答案：D

解析：

本試題主要是考查了命題的真假和四種命題的關(guān)系及復(fù)合命題的運(yùn)用，以及充分條件的判定問(wèn)題.

解：因?yàn)榍蠼庖粋€(gè)命題的逆否命題就是將原命題中的結(jié)論的否定作為條件，條件的否定作為結(jié)論得

到的新命題，

即①命題“若密由，則/*一舐事獸卓瞰”的逆否命題“若/一！fe虛篝=1如則室=工”.正確；

②中對(duì)于全稱命題的否定，就是將任意改為存在，命題的結(jié)論改為否定，

即得到命題科:琴器is速;t后普』M%則一段:標(biāo)運(yùn)感,緊產(chǎn)#,器斗：!=瞰正確；

③中pvg為真命題，則p,q至少一個(gè)為真命題即可，故③錯(cuò)誤；

④中條件是結(jié)論根據(jù)一元二次不等式解得為“解!-慧5鬟沖敗華愿黜富酶Y利用集

合的思想可知小集合是大集合的充分不必要條件，故成立；

⑤中顯然正確；

因此可知真命題的個(gè)數(shù)為4個(gè).

故選D

11.答案：(1,或+1)

解析：解：在雙曲線圣一《=l(a>0,b>0)中，

☆x=-c得，y=±?,「.A,8兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為±?.

77b2

由△ABF2是銳角三角形知，乙4F2F1V1，tan乙4尸2&=郎Vtan^=1，

：■------V1,c2-2uc—Q2vo,?2—2e—1V0,???1—V2<eV1+V2.

2ac

又e>1,???1ve<1+VL

故答案為：(1,1+V2).

b2

先求出A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由△ABF2是銳角三角形知，tan乙4尸2尸1=五<「-2e—1<0,解

不等式求出e的范圍.

7T

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷&<3,tanZ=i<i，是

42C

解題的關(guān)鍵.

12.答案:0

解析：解：:｛an｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)公比為4，

???igan+i-ig%=igq

二數(shù)列｛仞即｝為等差數(shù)列，

設(shè)公差為d

則Sm=mlgar+叫Sn=nlg^+節(jié)””

=Sn，

m(m—l)dn(n—l)dm4-n—1

???Sm-sn=mlgax+------------------nlgar-----------------=(m-n)(lgax+--------------d)=0

n

m+n-1

lgarH---------------d=0

(m+n)(m+n—l)dm4-n—1

s=(m+n)S%+(m+n)(/gai+-------------d)=0

m+n2

故答案為0.

本題主要考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是判斷出數(shù)列｛⑨即｝為等差數(shù)列.

13.答案：歌

解析：試題分析：由于直線齡，=蝌所與圓解.期?=：1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線事由?普昂=I叔對(duì)稱,

則說(shuō)明交點(diǎn)所在的直線的斜率為1,且中點(diǎn)在對(duì)稱軸寓此臚普成=頓匕那么可知解=微君=黑聯(lián)立方程

組可知盤；一重反在富3=1二暑斕-4笳出缶=瞰二交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)滿足求優(yōu).普婿=頓，得到d=

-4,因此可知數(shù)列的前”項(xiàng)和為治_/。

考點(diǎn)：數(shù)列，直線與圓

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用直線與圓的對(duì)稱性以及等差數(shù)列的公式來(lái)求解，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：10

解析：試題分析：根據(jù)題意，由于蠢/小了好的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為243,令x=1,243=蜜,

二0=/第一*￡馬；『=磕貉第Y嗎，r=4,

即a+1=3,a=2,故可知￡笈5日片

得到的為常數(shù)項(xiàng)10,故答案為10.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。

15.答案：8

解析：掰???掰=8個(gè).

16.答案：8

解析：解：取BC的中點(diǎn)。，則：

有:

詬+砌前=礪證=2x4=8

17.答案：一4

解析：由已知可設(shè)尸(4)1),。(一2,>2)，

■:點(diǎn)、P,。在拋物線》2=2>上，

???P(4,8),Q(-2,2).

又:拋物線可化為y=|x2,y'=x,

???過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為y'lx=4=4.

???過(guò)點(diǎn)P的切線為y-8=4(x-4),即>,=4x-8.

又???過(guò)點(diǎn)Q的切線斜率為y'|*_2=-2，

???過(guò)點(diǎn)Q的切線為丁一2=-2。+2),

即y——2x—2.

聯(lián)立％I-2,解得x=L>--4,

???點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為-4.

18.答案：(本題滿分14分)

解：令1=戊一或由a￡(0,g),則tE(-g,"

又???sin(a-j)=5即s譏t=卷，

則cost=71-sin2t=J1-舄.=…(2分)

(l)cosa=cos(t+今...(4分)

=costcosg-sintsing.??(6分)

12-15_V3

=—X----------X—

132132

(2)sin(2a一》=sin[2(t+j)-^]=sin(2t+j)...(10分)

=cos2t=cos2t—sin2t...(12分)

=(9Y)2

=黑.“14分)

解析：(1)令《=戊-梟由已知可求范圍tw(一?》，從而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos/的

值，由支=1+會(huì)利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可化簡(jiǎn)求值.

(2)利用角的關(guān)系，2a—9=2(t+$-*=2t+a根據(jù)誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可化簡(jiǎn)

求值.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)

公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.答案：解：(I)取線段AS的靠近A的三等分點(diǎn)尸，貝IJEF〃平面SCZ).

證明：???ABAD=60°,^ADC=120°,

?"/CD,.嚏噴制

.些=工又竺=3

AC3‘乂4s3’

EF//SC,又E尸0平面SCO,SCu平面SC。，

EF〃平面SCD.

(H)-：AD=AB,/LBAD=60°,

???△4BD是等邊三角形，

設(shè)AC=1,則BD=AD=1,

又SD=AD=1,SB=y[2AD=V2.

???SDLBD,又4。J.SO,ADQBD=D,AD,BDc^F?ABCD,

SD_L平面ABCD,

以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖所示,

則D(0,0,0),B(.g,0),C(V3,-l,0),S(0,0,1),

.?.SC=(V3,-l,-l).fiC=(y,-|,0).DC=(A/3,-1,0).

設(shè)平面SBC的法向量為記=Oi，yi，zJ,

V3%!—yi—Zi=o

則向sc=o

,即V33

'Am-fit=0(y^i--yi=no

令為=1,可得沅=(百,1,2),

設(shè)平面SCD的法向量為五=(x2,y2,z2),

n-S￡=0；g|j(V3x2-y2-22=

-n-DC-0lV3x2-=

令*2=1，可得元=(1,e,0)，

一>—mn2\[3V6

??

?cos<m,n>=—|7n|T|nT|=~2&Fx—24'

可知：二面角B—SC—D是銳二面角,

???二面角B-SC-D的余弦值為當(dāng)

解析：本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，利用空間向量求二面角，屬于中檔題.

(I)得出E/〃SC,即可得證;

(口)證明SD_L平面A8C￡>,以。為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系。-xyz,進(jìn)行求解即可.

20.答案：(1)即=471-2,%=biqnT=2.4吁1

(2)7；=[(6n-5)4?+5]

解析：試題分析：解析：(1)當(dāng)幾22時(shí)，

22

an=Sn-Sn-i=2n—2(n—l)=4n—2,

當(dāng)ri=1時(shí)，%=S[=2滿足上式，

故｛an｝的通項(xiàng)式為即=4n-2.-2分

設(shè)｛bn｝的公比為g,由已知條件代為2—%)=匕2知，瓦=2,b2=8,所以q=4,

nn

：.bn=瓦qT=2.4T5分

n-1

(2)???cn=(2n-l)4,

F=Q+C2+…+%=[1+3x41+5x42+…+(2n-1)4nT].

47；=[1x4+3x42+5x42+…+(2n-3)4n-1+(2n-l)4n].

兩式相減得：

37；=-1-2(出+42+43+…+451)+(2n-l)4n

=[(6n-5)4n+5].

Tn=[(6n—5)4n+5].12分

考點(diǎn)：等差數(shù)列和等比數(shù)列

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和綜合運(yùn)用，屬于中檔題。

y2

21.答案：解：⑴橢圓3/+4y2=3,即為/+.=1,

4

可得右焦點(diǎn)F為弓,0),

設(shè)拋物線的方程為y2=2px,即有々=p

可得p=1,

拋物線的方程為y2=2%；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)尸的直線方程為y=fc(x-i),

4(*1，y。，M(^x2,y2),

由=/c(x—5),得/芯2_(/+2次+￡=0,

ly2=2x4

由韋達(dá)定理，得%1+%2=1+高，％1%2=[，

???\AM\=Vl+P-J(l+^)2-l=2+高，

同理，\BN\=2+2k2,

???四邊形ABCD的面積S=*2+劫(2+2k2)=2(2+1+劫

22(2+2亞不)=8，

當(dāng)且僅當(dāng)即左=±1時(shí)，取等號(hào)，

四邊形ABMN面積的最小為8,此時(shí)直線的方程為y=±(x-1).

解析：(1)求得橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，求得右焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的方程為y2=2px,求得p=l,

即可得到所求方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線方程為y=k(x—；),由［'=卜仁一？，得上2/一(爐+2)%+f=0,由此利用

2(y2=2x4

韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出四邊形面積的最小值及直線方程.

本題考查拋物線方程的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長(zhǎng)公式

的合理運(yùn)用.

22.答案：(1)解「"。)=若空，"(x)=a(ix)；/g).

vf(e)=O,-.b=0,則1(x)=°(曾x).

當(dāng)a>0時(shí)，尸(x)在(0,e)內(nèi)大于0,在(e,+8)內(nèi)小于0,

.?"(X)在(0,e)內(nèi)為增函數(shù)，在(e,+8)內(nèi)為減函數(shù)，即有極大值而無(wú)極小值；

當(dāng)a<0時(shí)，/(x)在(0,e)內(nèi)為減函數(shù)，在(e,+8)內(nèi)為增函數(shù)，即f(x)有極小值而無(wú)極大值.

???a<0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一8,0)；

(H)(i)證明：當(dāng)a=b=1時(shí)，設(shè)g(x)=x/(x)+2="x-e*+2.

g'(x)=；一/在區(qū)間(0,+8)上為減函數(shù)，又8(l)=l-e<0,5，(|)=2-V^>0.

二存在實(shí)數(shù)%oe(k1)，使得g'Oo)=j--ex0=O.

此時(shí)g(x)在區(qū)間(0,a)內(nèi)為增函數(shù)，在(沏,+8)內(nèi)為減函數(shù).

又g'Oo)=g_e*。=0,

x0

=eXx

~0'o=-lnx0.

x

由單調(diào)性知，g(x)n1ax=g(%o)=》尤0-e?+2=-x0-^-+2=-(%o+7-)+2.

XQXQ

又&6G，1),???一(%0+$