第08講 全等三角形的常見(jiàn)模型（解析版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（8年級(jí)人教版）

第08講全等三角形的常見(jiàn)模型【人教版】·模塊一“X”型·模塊二共頂點(diǎn)的三角形旋轉(zhuǎn)（手拉手模型）·模塊三一線三垂直型·模塊四中點(diǎn)型·模塊五課后作業(yè)模塊一模塊一“X”型【例1】如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，且O是AB，CD的中點(diǎn)，則△AOC與A．SAS B．ASA C．SSS D．HL【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．【詳解】解：∵O是AB，∴OA=OB,OC=OD,在△AOC和△DOB中，OA=OB∴△AOC?△DOBSAS故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【例2】如圖，線段AC，BD相交于點(diǎn)O，且AO=OC，BO=OD，DE=BF，CE=9cm，求AF【答案】9【分析】先證明OE=OF，再利用SAS證明△AOF≌△COE，即可得到AF=CE=9cm【詳解】解：∵OB=OD，DE=BF，∴OE=OF．又∵OA=OC，∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COESAS∴AF=CE=9cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定定理，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．【例3】如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且BE∥CF．(1)求證：△BDE≌△CDF；(2)若AE=13，AF=7，試求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)DE=3【分析】（1）利用中點(diǎn)性質(zhì)可得BD=CD，由平行線性質(zhì)可得∠DBE=∠DCF，再由對(duì)頂角相等可得∠BDE=∠CDF，即可證得結(jié)論；（2）由題意可得EF=AE-AF=6，再由全等三角形性質(zhì)可得DE=DF，即可求得答案．【詳解】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∵BE∥CF，∴∠DBE=∠DCF，在△BDE和△CDF中，∠DBE=∠DCFBD=CD∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE=13，AF=7，∴EF=AE-AF=13-7=6，∵△BDE≌△CDF，∴DE=DF，∵DE+DF=EF=6，∴DE=3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1】如圖，點(diǎn)C是AE上一點(diǎn)，CD交EB于點(diǎn)F，CF=DF，EA∥

【答案】見(jiàn)解析【分析】先證明ΔECF≌ΔBDF【詳解】證明：∵EA∥∴∠ECF=∠BDF，∴在ΔECF與Δ∠∴Δ∴CF=【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．模塊二模塊二共頂點(diǎn)的三角形旋轉(zhuǎn)（手拉手模型）【例1】如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，D是BC上一點(diǎn)，且BC=3BD，△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，則CE的長(zhǎng)度為（）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】D【分析】由在等邊三角形ABC中，AB=6，D是BC上一點(diǎn)，且BC=3BD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求得BD的長(zhǎng)，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求得CE的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵在等邊三角形ABC中，AB=6，∴BC=AB=6，∵BC=3BD，∴BD=13BC=2∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD=2．故選D．【例2】如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到CE，連接BE，若∠DAB＝10°，則∠ABE是()A．75° B．78° C．80° D．92°【答案】C【分析】證明△BCE≌△ACD，求出∠EBC度數(shù)，利用∠ABE=∠EBC+∠ABC求解．【詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°．∴∠DAC=45°-10°=35°．在△BEC和△ADC中，DC=EC∠ECB=∠DCAAC=BC∴△BCE≌△ACD（SAS）．∴∠EBC=∠DAC=35°．∴∠ABE=∠EBC+∠DAC=80°．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到全等判定的條件，利用全等轉(zhuǎn)化角，是解決這類(lèi)問(wèn)題的方法．【例3】如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'，C'B'的延長(zhǎng)線交A．△ABC?△AB'CC．∠CDC'=∠CAC'【答案】B【分析】A、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可判斷；B、由旋轉(zhuǎn)角的任意性可以判斷；C、由三角形內(nèi)角和為180°且兩個(gè)角相等即可判斷；D、利用角平分線的判定定理即可證明．【詳解】解：A、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△ABC?△AB'CB、∵△AB'C'由∴AB'//BCC、∵△ABC≌△AB'C∵∠C'AC=180°-∠∵∠1=∠2,∴∠CDC'=∠CAD、過(guò)A分別作C'D,CB的垂線，垂直分別是∵△ABC≌△AB'C'，∴12×B'C'×AE=∵AE⊥C'D,AF⊥CB，∴AD平分∠BDB'，故故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的判定定理、三角形內(nèi)角和、角平分線，解題的關(guān)鍵是：掌握相關(guān)定理依次進(jìn)行判斷．【變式1】如圖，已知O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是線段BO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=_____．【答案】60°【分析】由∠AOB的度數(shù)利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得出∠AOD=60°，結(jié)合OD=OA可得出ΔAOD為等邊三角形，而根據(jù)旋轉(zhuǎn)全等模型由SAS易證出ΔBAO?ΔCAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠ADC=∠AOB=120°，再根據(jù)∠BDC=∠ADC-∠ADO即可求出∠BDC的度數(shù)．【詳解】解：∵ΔABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°．∵∠AOB=120°，∠AOD+∠AOB=180°，∴∠AOD=60°．又∵OD=OA，∴ΔAOD為等邊三角形，∴AO=AD，∠OAD=60°，∠ADO=60°．∵∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°，∴∠BAO=∠CAD．在ΔBAO和ΔCAD中，AB=AC∠BAO=∠CAD∴ΔBAO?ΔCAD(SAS)，∴∠ADC=∠AOB=120°，∴∠BDC=∠ADC-∠ADO=60°．故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及角的計(jì)算，通過(guò)證明ΔBAO?ΔCAD，找出∠ADC=∠AOB=120°是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB＝AC，∠BAC＝50°，將AD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°能與線段AE重合．（1）求證：EB＝DC；（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）50°【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，從而得到∠BAE=∠CAD，可證得△BAE≌△CAD，即可求證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠AED=65°，即可求解．【詳解】證明（1）∵將AD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°能與線段AE重合，∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，∴△BAE≌△CAD，∴EB=DC；（2）∵△BAE≌△CAD，∴∠BEA=∠ADC=115°，∵∠DAE=50°，AD=AE，∴∠AED=12∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式3】以銳角△ABC的邊AC、AB為邊向外作正方形ACDE和正方形ABGF，連結(jié)BE、CF.（1）你能找到哪兩個(gè)圖形可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)而相互得到，并指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.（2）試探索BE和CF有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并說(shuō)明理由.【答案】(1)三角形ABE與三角形ACF，旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)角度為90°或270°(2)BE=CF且BE⊥CF，理由詳見(jiàn)解析.【分析】（1）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小，則一定找全等圖形，由SAS條件可證明全等的圖形可以是三角形ACF與三角形ABE，三角形ABE以點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到三角形ACF.（2）由三角形ACF與三角形ABE全等得到BE和CF相等，再通過(guò)直角三角形中銳角的等量代換得到FHB=90°，進(jìn)而得到BE和CF垂直.【詳解】（1）∵四邊形ACDE和四邊形ABGF是正方形∴AB=AF，AC=AE又∠FAB=∠EAC=90°∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC即∠FAC=∠EAB在三角形ACF與三角形AEB中{AB=AF所以△ACF?△AEB(SAS)由旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小可知，三角形ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到三角形ACF.三角形ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°可得到三角形ACF.（2）判斷BE=CF且BE⊥CF，理由如下：由（1）可知△ACF?△AEB則BE=CF，∠ACF=∠AEB在直角三角形AOE中，∠AEO+∠AOE=90°而∠AOE=∠COH則在三角形HOC中，∠ACH+∠COH=90°即三角形HOC是直角三角形則∠OHC=90°即BE⊥CF綜上：BE=CF且BE⊥CF【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)定理，本題解題關(guān)鍵在于找準(zhǔn)全等三角形，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)靈活解題.模塊三模塊三一線三垂直型【例1】如圖，兩座建筑物AB，CD相距160m，小月從點(diǎn)B沿BC走向點(diǎn)C，行走ts后她到達(dá)點(diǎn)E，此時(shí)她仰望兩座建筑物的頂點(diǎn)A和D，兩條視線的夾角正好為90°，且EA=ED．已知建筑物AB的高為60m，小月行走的速度為1m/s，則小月行走的時(shí)間t的值為（

）A．100 B．80 C．60 D．50【答案】A【分析】首先證明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，進(jìn)而可得EC=AB=60m，再求出BE的長(zhǎng)，然后利用路程除以速度可得時(shí)間．【詳解】解：∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠DEC，在△ABE和△ECD中∠B=∠C∠A=∠DEC∴△ABE≌△ECD（AAS），∴EC=AB=60m，∵BC=160m，∴BE=100m，∴小華走的時(shí)間是100÷1=100（s），故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確判定△ABE≌△ECD．【例2】如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于點(diǎn)E，BD⊥CD于點(diǎn)D，AE=5cm，BD=2cm，則DEA．8cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，觀察圖形得∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，然后證ΔAEC?ΔCDB后求解．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∴∠CAE=∠BCD，又∵∠AEC=∠CDB=90°，AC=BC，∴ΔAEC?ΔCDB．∴CE=BD=2，CD=AE=5，∴ED=CD-CE=5-2=3(cm)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定方法；題目利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解，發(fā)現(xiàn)并利用∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，是解題的關(guān)鍵．【例3】如圖，已知點(diǎn)O（0，0），P（1，2），將線段PO繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?0°的速度旋轉(zhuǎn)，則第19秒時(shí)，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（2，4）【答案】B【分析】依據(jù)線段PO繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?0°的速度旋轉(zhuǎn)，即可得到19秒后點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)O'的位置，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得到點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O'的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖所示，∵線段PO繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?0°的速度旋轉(zhuǎn)，每4秒一個(gè)循環(huán)，19＝4×4+3，∴3×90°＝270°，∴19秒后點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)O'的位置，∠OPO'＝90°，如圖所示，過(guò)P作MN⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)O'作O'N⊥MN于點(diǎn)N，則∠OMP＝∠PNO'＝90°，∠POM＝∠O'PN，OP＝PO'，在△OPM和△PO'N中，∠OMP＝∴△OPM≌△PO'N（AAS），∴O'N＝PM＝1，PN＝OM＝2，∴MN＝1+2＝3，點(diǎn)O'離x軸的距離為2-1＝1，∴點(diǎn)O'的坐標(biāo)為（3，1），故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化，圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式1】如圖，點(diǎn)A，B，D在同一條直線上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．連接CE，試判斷△CBE的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】△CBE是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析．【分析】證明△ABC≌△DEB即可．【詳解】△CBE是等腰直角三角形．理由如下：∵∠D=90°∴∠DEB+∠DBE=90°，∵∠ABC=∠DEB，∴∠ABC+∠DBE=90°．∴∠CBE=180°－(∠ABC+∠DBE)=90°．在△ABC和△DEB中，∠ABC=∠DEB∠A=∠D∴△ABC≌△DEB(AAS)．∴BC=EB．∴△BCE是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，這個(gè)題是典型的一線三垂直模型，根據(jù)已知條件證明全等是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，RtΔABC中，∠ACB=90°,?BC=2,?AC=3，點(diǎn)D在RtΔABC的邊AC上，DC=m，以BD為直角邊在AC同側(cè)作等腰直角三角形BDE，使BD=DE=n，連接AE，若A．nm=6 B．m+n=5 C．n-m=1 D．2n=3m【答案】B【分析】作EF⊥AC，垂足為F，根據(jù)全等的條件可得，△DBC≌△EDF，可得CD=EF=m，S四邊形AEBC=S△BDE+S△BDC+S△ADE，可得出【詳解】解：作EF⊥AC，垂足為F∴∠EFD=∠ACB=∴∠BDC+∠DBC=90°∵三角形BDE是等腰直角三角形，∴∠EDB=90°，∴∠EDF+∠BDC=90°，∴∠EDF=∠DBC在△DBC和△EDF中∠EFD=∴△DBC≌△EDF（AAS）∴CD=EF=m,∵AC=3,∴AD=AC-CD=3-m∵S四邊形AEBC=S△BDE+S△BDC∴S四邊形AEBC==1化簡(jiǎn)得：n(n+m)(n-m)=5(n-m)，∵n是RtΔDBC的斜邊，m是直角邊∴n-m＞0∴n+m=5故答案選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造三角形全等，割補(bǔ)法求面積，因式分解，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角表示出面積．【變式3】已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m過(guò)點(diǎn)A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)DE=BD+CE．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問(wèn)：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，BD、DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出，不必證明）【答案】(1)DE=BD-CE，證明見(jiàn)解析；(2)DE=BD+CE，DE=BD-CE，DE=CE-BD．【分析】（1）利用條件證明△ABD≌△CAE，（2）根據(jù)圖，可得BD、DE、CE存在3種不同的數(shù)量關(guān)系；【詳解】（1）證明：如圖2，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD+∠DAB=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE．在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠CBA∠ABD=∠CAB∴△ABD≌△CAE（∴AD=CE，BD=AE∵DE=AE-AD，∴DE=BD-CE．（2）直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，BD、DE、CE存在3種不同的數(shù)量關(guān)系：DE=BD+CE，DE=BD-CE，DE=CE-BD．如圖1時(shí)，DE=BD+CE，如圖2時(shí)，DE=BD-CE，如圖3時(shí)，DE=CE-BD，（證明同理）【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等，注意證三角形全等的方法及三角形全等后的性質(zhì)．模塊四模塊四中點(diǎn)型【例1】在△ABC中，AC=6，中線AD=10，則AB邊的長(zhǎng)可以是（

）A．30 B．22 C．14 D．6【答案】B【分析】延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=CE，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為AB的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，BD=CD∠ADB=∠EDC∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=10，∴AE=10+10=20，∵20+6=26，20-6=14，∴14＜CE＜26，即14＜AB＜26，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，中線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，倍長(zhǎng)中線，進(jìn)而根據(jù)三角形三邊關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵．【例2】某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過(guò)程．(1)求證：△ABD≌△ECD證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中點(diǎn)定義）∴△ABD≌△ECD（）(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是；(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】如下圖，△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中線，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)對(duì)頂角相等；BD；SAS(2)1<AD<7(3)6【分析】（1）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，根據(jù)SAS定理證明△ABD≌△ECD；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系計(jì)算；（3）延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于F，證明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．【詳解】（1）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（對(duì)頂角相等）CD＝BD（中點(diǎn)定義）∴△ABD≌△ECD（SAS）故答案為：對(duì)頂角相等；BD；SAS（2）∵△ABD≌△ECD，AB＝6，AC＝8，∴CE=AB=6，8-6<AE<8+6，∴1<AD故答案為1<AD（3）延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于F，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴∠ABD=∠FCD，在△ABD和△FCD中，∠ABD=∠FCDBD=CD∴△ABD≌△FCD，∴CF=AB=2，AD=DF，又∵∠FDE＝∠ADE＝90°ED＝ED∴△ADE≌△FDE∴AE=EF，∵EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6，∴AE=6．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和全等三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定條件．【例3】我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問(wèn)題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中點(diǎn)P，連接OP，試說(shuō)明AC＝2OP．”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍長(zhǎng)”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問(wèn)題，按照這個(gè)思路回答下列問(wèn)題．①請(qǐng)?jiān)趫D中通過(guò)作輔助線構(gòu)造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；②求證：AC＝2OP．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析【分析】（1）證出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；（2）①延長(zhǎng)OP至E，使PE=OP，證明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BE=OD；②證明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出OE=AC，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）①證明：延長(zhǎng)OP至E，使PE=OP，∵P為BD的中點(diǎn)，∴BP=PD，又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；②證明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BE∥OD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，在△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE=BD，連接AE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）試判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AE=CD，見(jiàn)解析【分析】（1）直接延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE=BD即可；（2）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)F，使得BF=AB，連接DF，可證得△ABE≌△FBD，則AE=FD，再通過(guò)證明△FAD≌△CAD，可得到FD=CD，從而得到AE=CD即可．【詳解】（1）如圖所示：（2）如圖，判斷：AE=CD證明如下：延長(zhǎng)AB至點(diǎn)F，使得BF=AB，連接DF在△ABE和△FBD中，∵AB=FB∴△ABE≌△FBD∴AE=FD∵BF=AB∴AF=2AB∵AC=2AB∴AF=AC∵AD平分∠BAC∴∠FAD=∠CAD在△FAD和△CAD中，∵AF=AC∴△FAD≌△CAD∴FD=CD又∵AE=FD∴AE=CD【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，主要涉及倍長(zhǎng)中線的模型，熟記基本模型是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，已知AE=EF．求證：AC=BF．【答案】見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)AD到G，使得DG=AD，連接BG，證明△ADC≌△GDB（SAS）得到AC=BG且∠CAD=∠G，再由等腰三角形的性質(zhì)得到AE=EF，繼而證明BG=BF，據(jù)此解題．【詳解】證明：延長(zhǎng)AD到G，使得DG=AD，連接BG，在△ADC和△GDB中AD=GD∴△ADC≌△GDB（SAS）∴AC=BG且∠CAD=∠G∵AE=EF∴∠EFA=∠EAF∴∠G=∠EFA∵∠EFA=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∵AC=BG∴BF=AC【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對(duì)等角、等角對(duì)等邊等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式3】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D為BC的中點(diǎn)，AD⊥AB，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】8【分析】延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE，先求出∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，然后證明△BAD≌△CED得到∠BED=∠DAC=90°，CE=AB=4，則AC=2CE=8．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE，∵BA⊥AD，∴∠DAB=90°，∵∠BAC=120°，∴∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，在△BAD和△CED中，BD=CD∠BDA=∠CDE∴△BAD≌△CED（SAS），∴∠DEC=∠DAB=90°，CE=AB=4，∴AC=2CE=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確添加輔助線構(gòu)造出含30度角的直角三角形是解題的關(guān)鍵．模塊五模塊五課后作業(yè)1．如圖，將兩根鋼條AA'、BB'的中點(diǎn)O連在一起，使AA'、BBA．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理證明即可．【詳解】解：在△OAB與△OAAO=A∴△OAB≌△OA故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，AB=7，AC=9，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是（

）A．2<AD<16 B．0<AD<16 C．1<AD<8 D．7<AD<9【答案】C【分析】延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE，證明△ACD≌△EBD得到DE=AD，利用三角形的三邊關(guān)系得到2<AE<16即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴CD=BD，在△ACD和△EBD中，CD=BD∠ADC=∠EDB∴△ACD≌△EBDSAS∴AC=BE，∵AB=7，AC=9，∴9-7<AE<9+7即2<2AD<16，∴1<AD<8，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，靈活添加輔助線（倍長(zhǎng)中線法）構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．3.如圖，ΔABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE//AB,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證:D是AE的中點(diǎn)．證明:∵CE//AB(已知)，∴∠B=_(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∵D是邊BC的中點(diǎn)，∴BD=(_），(_），在ΔABD和ΔECD中，∠ADB=∠EDCBD=CD∴ΔABD?ΔECD()，∴AD=(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)，∴D是AE的中點(diǎn)．【答案】∠BCE;CD；線段中點(diǎn)的定義；ASA;ED【分析】利用中線類(lèi)倍長(zhǎng)的基本模型進(jìn)行證明，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行論證．【詳解】證明:∵CE//AB(已知)，∴∠B=∠BCE(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∵D是邊BC的中點(diǎn)，∴BD=CD(線段中點(diǎn)的定義)，在ΔABD和ΔECD中，∠ADB=∠EDC∴ΔABD?ΔECDASA∴AD=ED(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)，∴D是AE的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了類(lèi)倍長(zhǎng)中線的模型，能夠通過(guò)平行結(jié)合中點(diǎn)問(wèn)題，推出三角形全等，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4.如圖,點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=3,PB=4,PC=5,若將△APB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△CQB,則∠APB的度數(shù)______．【答案】150°【分析】首先證明△BPQ為等邊三角形，得∠BQP=60°，由△ABP≌CBQ可得QC=PA，在△PQC中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出得出∠PQC=90°，可求∠BQC的度數(shù)，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：連接PQ，由題意可知△ABP≌△CBQ則QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，∴△BPQ為等邊三角形，∴PQ=PB=BQ=4，又∵PQ=4，PC=5，QC=3，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，∵△BPQ為等邊三角形，∴∠BQP=60°，∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°∴∠APB=∠BQC=150°【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是勾股定理逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型．5．如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，AO=CO，DO=BO，連接AD，【答案】見(jiàn)解析【分析】利用SAS證明△AOD≌【詳解】證明：在△AOD和△COB中，AO=CO∠AOD=∠COD∴△AOD≌∴∠A=∠C．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△AOD≌6．如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，OB=OC，OA=OD，延長(zhǎng)AD到F，延長(zhǎng)DA到E，AE=DF，連接

【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出OE=OF，再利用SAS證明△BOE≌△COF，再利用全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定解答即可．【詳解】證明：∵OA=OD，∴OA+AE=OD+DF，即OE=OF，∵∠EOB=∠FOC，∴△BOE≌△COF(SAS)∴∠E=∠F．∴BE∥CF．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用邊角邊證明兩個(gè)三角形全等．7．（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D,E．求證：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．請(qǐng)寫(xiě)出DE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）DE=BD+CE，證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根據(jù)∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根據(jù)AAS證出△ADB≌△CEA，從而得出AE=BD，AD=CE，即可證出DE=BD+CE；【詳解】（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，∠ABD＝∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）DE=BD+CE，理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)綜合中的“一線三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．8．如圖，A4,0,B0,6，以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)在第一象限作等腰直角ΔABC，則C【答案】6,10【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，由△ABC為等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通過(guò)角的計(jì)算即可得出∠ABO＝∠BCD，再結(jié)合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS證出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，如圖所示．∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC．∵CD⊥BD，BO⊥AO，∴∠CDB＝∠BOA＝90°．∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD．在△ABO和△BCD中，∠ABO=∠BCD∠BOA∴△ABO≌△BCD（AAS），∴BD＝AO，CD＝BO，∵A（4，0），B（0，6），∴BD＝4，CD＝6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為6,10，故答案為：6,10．【點(diǎn)睛】本題結(jié)合等腰直角三角形和坐標(biāo)點(diǎn)綜合考查，關(guān)鍵在于輔助線的作法，過(guò)C點(diǎn)作垂直于x軸的垂線還是垂直于y軸的垂線是解題關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AEF，延長(zhǎng)BC交EF于點(diǎn)D，若BD＝5，BC＝4，則DE＝___．【答案】3【分析】如圖，連接AD．證明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接AD．在Rt△ADF和Rt△ADC中，AD=ADAF=AC∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），∴DF＝DC，∵BD＝5，BC＝4，∴CD＝DF＝5﹣4＝1，∵EF＝BC＝4，∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．10.如圖1，AD為△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD．（1）試證明：△ACD≌△EBD；（2）用上述方法解答下列問(wèn)題：如圖2，AD為△ABC的中線，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求證：BG＝AC．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)中線的定義，即可得到BD＝CD，再根據(jù)SAS即可判定△ACD≌△EBD．（2）延長(zhǎng)AD到F，使AD＝DF，連接BF，根據(jù)SAS證△ADC≌△FDB，推出BF＝AC，∠CAD＝∠F，根據(jù)AM＝GM，推出∠CAD＝∠AGM＝∠BGF，求出∠BGF＝∠F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，CD=∴△ACD≌△EBD（SAS）．（2）證明：延長(zhǎng)AD到F，使AD＝DF，連接BF，∵AD是△ABC中線，∴BD＝DC，∵在△ADC和△FDB中BD=∴△ADC≌△FDB（SAS），∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，∵AM＝GM，∴∠CAD＝∠AGM，∵∠AGM＝∠BGF，∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，∴BG＝BF＝AC，即BG＝AC．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵.11．已知：點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD．(1