第12講 等腰三角形的性質(zhì)和判定（解析版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（8年級(jí)人教版）

第12講等腰三角形的性質(zhì)和判定【人教版】·模塊一等腰三角形的性質(zhì)·模塊二等腰三角形的判定·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.【考點(diǎn)1等腰三角形性質(zhì)“等邊對(duì)等角”的應(yīng)用】【例1.1】在△ABC中，AB=AC，若∠A=40°，則∠C=（

）A．40° B．70° C．100° D．70°或100°【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠A=40°，∴∠C=1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例1.2】已知O為三邊垂直平分線交點(diǎn)，∠BAC=70°，則∠BOC=_________．【答案】140°/140度【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)，OA=OB=OC．根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，先求出∠OBC+∠OCB，再求∠BOC．【詳解】解：連接OA，∵O是△ABC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA=OB=OC，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB．∵∠BAC=70°，∴∠OBA+∠OCA=70°，∠OBC+∠OCB=40°．∴∠BOC=180°-40°=140°．故答案為：140°．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，滲透了整體求值的思想方法．【例1.3】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上，且AF=EF．若∠CFE=72°，則∠B=【答案】54°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及外角知識(shí)求出∠A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形中兩銳角互補(bǔ)可求答案．【詳解】解：∵AF=EF∴∠A=∠AEF∵∠CFE是△AFE的一個(gè)外角∴∠CFE=∠A+∠AEF=72°∴∠A=36°在Rt△ABC中，∠C=90°∴∠B=54°故答案為：54°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了度數(shù)的求解，涉及到等腰三角形性質(zhì)、外角知識(shí)以及直角三角形兩銳角互補(bǔ)，熟知相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．【變式1.1】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且BD=BA，則∠CAD的度數(shù)為（A．30° B．25° C．22.5° D．21°【答案】C【分析】利用△ABC是等腰直角三角形先求出∠B，再利用△BDA是等腰三角形求出∠BAD，最后利用直角求出∠CAD即可．【詳解】解：∵∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°∵BD=BA∴∠BDA=∠BAD∴∠BAD=∴∠CAD=90°-67.5°=22.5°故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式1.2】如圖，AB∥CD，AB=CB，∠B=80°，則∠ACD等于（

）A．50° B．55° C．60° D．85°【答案】A【分析】已知AB=CB，∠B=80°，得出∠A=∠BCA=180°-80°2=50°，結(jié)合AB∥CD【詳解】∵AB=CB，∠B=80°，∴∠A=∠BCA=180°-80°∵AB∥CD，∴∠A=∠ACD，∴∠ACD=50°．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式1.3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AB=AD=CD．若∠BAD=40°，則∠C的大小為_(kāi)____度．【答案】35【分析】在△ABD中利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠ADB的度數(shù)，然后利用∠ADB是△ADC的一個(gè)外角即可求出答案．【詳解】∵AB=AD，∠BAD=40°，∴∠B=∠ADB=1∵∠ADB是△ADC的一個(gè)外角，∴∠ADB=∠DAC+∠C，∵AD=CD∴∠C=∠DAC，∴∠C=1故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和、外角的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2等腰三角形性質(zhì)“三線合一”的應(yīng)用】【例2.1】如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)．若∠C=70°，則∠BAD的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．35° D．40°【答案】A【分析】首先根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，然后由直角三角形兩銳角互余得到∠CAD=90°-∠C=20°，進(jìn)而可求出∠BAD的度數(shù)．【詳解】解：∵在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD∴∠CAD=90°-∠C=20°∴∠BAD=∠CAD=20°．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【例2.2】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，在AD上取一點(diǎn)E，連結(jié)CE，使得AE=CE，若∠ECD=20°，則∠B=_____．【答案】55°/55度【分析】設(shè)∠ACE=x，則∠ACB=x+20°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)∠ACE=x，則∠ACB=x+20°，∵AE=CE，∴∠DAC=∠ACE=x，∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴∠B=∠ACB=x+20°，∵∠BAC+∠B+∠ACB=180∴2x+x+20°+x+20°=180°，解得：x=35°，∴∠B=x+20°=55°，故答案為：55°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例2.3】如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E，F(xiàn)，求證：DF=DE．（不證△BFD≌△CED）

【答案】見(jiàn)解析【分析】連接AD，先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DF=DE．【詳解】證明：如圖，連接AD．∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴∠BAD=∠CAD，又∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE．

，【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一，以及角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式2.1】如圖AD，BE分別是△ABC的中線和角平分線，若AB=AC，∠CAD=20°【答案】35°/35度【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠BAC=40°，再由三角形內(nèi)角和定理得出∠【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∴AD平分∠BAC∵∠CAD=20°∴∠BAC=40°∴∠ABC=∵BE是△ABC的角平分線，∴∠ABE=故答案為：35°．【點(diǎn)睛】題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，理解題意，熟練掌握運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2.2】如圖，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，BF=8，則DE的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=BD，從而得到S△ABC=2S【詳解】解：∵AB=AC,AD⊥BC，∴CD=BD，∴S△ABC∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S△ABC∴12∵BF=8，∴DE=4．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2.3】如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AM是△ABC的高，將△AMB沿AM折疊得到△AMN，點(diǎn)N落在線段MC上．(1)求∠MAN的度數(shù)．(2)過(guò)點(diǎn)N作∠ANC的平分線NO交AC于點(diǎn)O，若AC=8，求AO的長(zhǎng)．【答案】(1)10°(2)4【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和定理求出∠B=80°，再由直角三角形的性質(zhì)求出∠MAB=10°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠MAN=∠MAB=10°；（2）先計(jì)算出∠CAN=∠BAC-∠MAN-∠MAB=60°-10°-10°=40°，再由∠CAN=∠C，得到AN=CN．然后根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得出AO=CO，即可求解．【詳解】（1）解：∵∠BAC=60°，∠C=40°，∴∠B=180°-60°-40°=80°，∵AM是△ABC的高，∴∠AMB=90°，∴∠MAB=90°-∠B=90°-80°=10°，∵將△AMB沿AM折疊得到△AMN，∴△AMN≌△AMB，∴∠MAN=∠MAB=10°．答：∠MAN的度數(shù)為10°．（2）解：由（1）知∠MAN=∠MAB=10°，∴∠CAN=∠BAC-∠MAN-∠MAB=60°-10°-10°=40°．∵∠C=40°，∴∠CAN=∠C，∴AN=CN．∵AC平分∠ANC，∴AO=CO．∵AC=8，∴AO=4．答：AO的長(zhǎng)為4．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，直角三角形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題詞關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，折疊性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．模塊二模塊二等腰三角形的判定等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）.【考點(diǎn)1等腰三角形的判定】【例1.1】△ABC的三邊分別是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A．∠A:∠B:∠C=2:2:3 B．a(chǎn):b:c=2:2:3C．∠B=50°，∠C=80° D．2∠A=∠B+∠C【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、因?yàn)椤螦:∠B:∠C=2:2:3，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=∠B=180°×22+2+3=360B、因?yàn)閍:b:c=2:2:3，所以設(shè)a=b=2x，則有兩邊相等的△ABC是等腰三角形；C、因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°，則∠A=∠B，所以△ABC是等腰三角形；D、因?yàn)?∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，則∠A+2∠A=180°，那么∠A=60°，∠B+∠C=120°，不能判定是等腰三角形．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【例1.2】如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過(guò)O作DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，若DE=5，BD=3，則線段CE的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．1 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得∠DBO=∠BOD,∠ECO=∠COE，進(jìn)而可得BD=OD,CE=OE，即得DE=BD+CE，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)求解即可.【詳解】解：∵OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO，∵DE∥∴∠DOB=∠CBO,∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠BOD,∠ECO=∠COE，∴BD=OD,CE=OE，∴DE=DO+EO=BD+CE，∵DE=5，BD=3，∴CE=DE-BD=5-3=2；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等腰三角形的判定等知識(shí)，屬于常見(jiàn)題型，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【例1.3】已知：在△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，且DE=DF．求證：△ABC是等腰三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】先推出Rt△ADE≌Rt△CDF【詳解】證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD=CD，在Rt△ADE和RtAD=CDDE=DF∴Rt△ADE∴∠A=∠C，∴AB=CB，∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，中點(diǎn)的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式1.1】如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)E在AC上，B，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)在同一條直線上．若∠A=40°,∠CED=35°，則下列結(jié)論正確的是（

A．EF=EC,AB=FC B．EF≠EC,AE=FCC．EF=EC,AE≠FC D．EF≠EC,AE≠FC【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠DFE，∠D=∠A=40°，AC=DF，則EF=EC，由于∠D≠∠CED，則CE≠CD，則【詳解】解：∵△ABC≌∴∠ACB=∠DFE，∠D=∠A=40°，∴EF=EC，∵∠D=40°≠∠CED=35°，∴CE≠CD，∴AE≠CF，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)符合題意，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1.2】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD=5，將長(zhǎng)方形沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，DE與BC交于點(diǎn)F，且BF=3，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】2【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)可得∠ADB=∠CBD，從而得到CF=BC-BF=2，再由折疊的性質(zhì)得：AD=DE=5，∠ADB=∠BDF，從而得到∠CBD=∠BDF，進(jìn)而得到BF=DF=3，即可求解．【詳解】解：在長(zhǎng)方形ABCD中，AD=BC=5，AD∥∴∠ADB=∠CBD，∵BF=3，∴CF=BC-BF=2，由折疊的性質(zhì)得：AD=DE=5，∠ADB=∠BDF，∴∠CBD=∠BDF，∴BF=DF=3，∴EF=DE-DF=2．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，圖形的折疊，熟練掌握等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1.3】我們知道，如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．證明這種文字性命題一般思路為：畫草圖，寫出已知求證并證明．按以上思路完成下面的作圖與填空．求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC．求證：AB=AC．證明：用直尺和圓規(guī)作∠CAE的平分線AD．（只保留作圖痕跡）∵AD∥BC，∴①，②，∵AD平分∠CAE，∴③，∴④，∴AB=AC（等角對(duì)等邊）．【答案】畫圖見(jiàn)解析，∠DAE=∠B，∠DAC=∠C，∠DAE=∠DAC，【分析】根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAE=∠B，∠DAC=∠C，再由角平分線的定義證明∠B=∠C，即可證明【詳解】證明：用直尺和圓規(guī)作∠CAE的平分線AD．（只保留作圖痕跡）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠B，∵AD平分∠CAE，∴∠DAE=∠DAC，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對(duì)等邊）．故答案為：∠DAE=∠B，∠DAC=∠C，∠DAE=∠DAC，【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】【例2.1】如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DF，交AC于點(diǎn)E，連接BE，若∠A=∠ABE=46°，則∠F的度數(shù)是(

)A．20° B．23° C．44° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)已知∠A=∠ABE=46°，可得EA=EB，根據(jù)D是AB的中點(diǎn)，利用等腰三角形的三線合一得出ED⊥AB，根據(jù)等腰三角形的形狀以及三角形內(nèi)角和定理，由AB=AC，∠A=46°，求得∠DBF=67°，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵∠A=∠ABE=46°，∴EA=EB，∵D是AB的中點(diǎn)，∴ED⊥AB，∴∠FDB=90°，∵AB=AC，∠A=46°，∴∠DBF=1∴∠F=90°-67°=23°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例2.2】如圖所示，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC，AD//BC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)有________【答案】4【分析】根據(jù)已知條件可以推知∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠DOA，∠ABD=∠ADB，∠DAC=∠DCA，然后由等角對(duì)等邊可以找出圖中的等腰三角形．【詳解】∵在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=∠ACB，即∠CBD=∠ACB∴OB=OC（等角對(duì)等邊），∴△BOC是等腰三角形；又∵AD∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠CBD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠OAD=∠DOA，∠ABD=∠ADB∴OA=OD，AB=AD∴△AOD，△ABD是等腰三角形；∵OA=OD，OB=OC∴AC=BD又∵∠ACB=∠CBD，BC=BC∴△ACB≌△DBC∴AB=CD=AD∴△ADC是等腰三角形故答案是：4【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)．平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等，角的等量代換的運(yùn)用是正確解答本題的關(guān)鍵．【例2.3】請(qǐng)將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．已知：如圖，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AB=AE．求證：∠ABC=∠ACB．證明：∵CE∥AD，∴∠BAD=________（兩直線平行，同位角相等），∠CAD=∠ACE（_____________）．∵∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=_____________（等量代換），∴AE=AC（____________）．∵AB=AE，∴AB=AC（等量代換），∴∠ABC=∠ACB（___________）．【答案】答案見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，根據(jù)等量代換得出AB=AC，即可得出答案．【詳解】證明：∵CE∥AD，∴∠BAD=_∠E__（兩直線平行，同位角相等），∠CAD=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=____∠E___（等量代換），∴AE=AC（等角對(duì)等邊）．∵AB=AE，∴AB=AC（等量代換），∴∠ABC=∠ACB（等邊對(duì)等角）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的定義，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式2.1】如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，D為BC的中點(diǎn)，連接AB，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)O，連接OC，若∠AOC=125°，則∠ABC為（）A．80° B．70° C．50° D．60°【答案】B【分析】由鄰補(bǔ)角得到∠COD=55°，由等腰三角形判定和性質(zhì)及直角三角形兩銳角互余得到∠OBD=∠C=35°，AD是∠ABC的平分線，即可求得∠ABC=2OBD=70°，【詳解】∵∠AOC=125°，∴∠COD=180°-∠AOC=55°，∵AD⊥BC，D為BC的中點(diǎn)，∴△BOC是等腰三角形，∠ODC=90°，∴∠OBD=∠C=90°-∠COD=35°，∵AD是∠ABC的平分線，∴∠ABC=2OBD=70°，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形判定和性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的計(jì)算及直角三角形兩銳角互余，熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵【變式2.2】如右圖，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中線，BF是△EBD的角平分線，若∠BAD=45°，則【答案】112.5°【分析】由已知得出△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)DE是△ADB的中線，得出DE⊥AB，根據(jù)角平分線的定義得出∠EBF=22.5°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵AD是△ABC的高，∠BAD=∴AD⊥BC，則△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°∵DE是△ADB的中線，∴DE⊥AB，∴∠DEB=90°∵BF是△EBD的角平分線，∴∠EBF=22.5°，∴∠BFD=∠EBF+∠DEB=22.5°+90°=112.5°，故答案為：112.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式2.3】如圖，在△ABC中，P是BC邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R．若AQ=AR，求證：△ABC是等腰三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】先由AQ=AR，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可得∠R=∠AQR，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BQP=∠AQR；進(jìn)而得出∠R=∠BQP，在Rt△QPB【詳解】證明：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR．又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP，在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP=90°，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．模塊三模塊三課后作業(yè)1．等腰三角形的周長(zhǎng)為16，其一邊長(zhǎng)為4，那么它的底邊長(zhǎng)為（

）A．6 B．4 C．8 D．4或8【答案】B【分析】分4是底邊和腰長(zhǎng)兩種情況，利用三角形的三邊關(guān)系討論求解．【詳解】解：①4是底邊時(shí)，腰長(zhǎng)為12此時(shí)，三角形的三邊分別為4、6、6，能組成三角形；②4是腰長(zhǎng)時(shí)，底邊為16-4×2=8，此時(shí)，三角形的三邊分別為8、4、4，不能組成三角形，綜上所述，底邊為4．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，難點(diǎn)在于分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能夠組成三角形．2．下列條件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（

）A．a(chǎn)=3，b=3，c=4 B．a(chǎn)：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2【答案】B【分析】由等腰三角形的定義與等角對(duì)等邊的判定定理，即可求得答案．【詳解】解：A、因?yàn)閍=3，b=3，c=4，所以a=b，所以△ABC是等腰三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．因?yàn)閍：b：c=2：3：4所以a≠b≠c，所以△ABC不是等腰三角形，故本選項(xiàng)符合題意；C．因?yàn)椤螧=50°，∠C=80°，所以∠A=180°-∠B-∠C=50°，所以∠A=∠B，所以AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．因?yàn)椤螦：∠B：∠C=1：1：2，因?yàn)椤螦=∠B，所以AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定，此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握等腰三角形的定義與等角對(duì)等邊的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)F作DE∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．若BD=4，DE=7，則線段A．3 B．4 C．3.5 D．2【答案】A【分析】根據(jù)DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，得證DF=BD=4，【詳解】解：因?yàn)镈E∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)所以∠DBF=∠CBF，∠DFB=∠CBF所以∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC所以DF=BD=4，因?yàn)镈F+EF=DE=7，所以EC=EF=DE-DF=7-4=3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．4．如圖，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線OC上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是OA上一點(diǎn)，且PQ∥OB，若PQ=2，則線段OQ的長(zhǎng)是（A．1.8 B．2.5 C．3 D．2【答案】D【分析】利用角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)推出∠QPO=∠QOP，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)P是∠AOB的角平分線OC上一點(diǎn)，∴∠QOP=∠POB，∵PQ∥∴∠QPO=∠POB，∴∠QPO=∠QOP，∴OQ=PQ=2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，掌握“兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的判定解答．6．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是中線，BE是角平分線，AD與BE交于點(diǎn)O，則∠AOB的度數(shù)為（）A．130° B．125° C．120° D．115°【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ADB=90°，∠ABC=50°，根據(jù)角平分線的定義可得∠CBO=25°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是中線，∴AD⊥BC，∠ACB=∠ABC=1∴∠ADB=90°，∵BE是角平分線，∴∠CBO=1∴∠AOB=∠CBO+∠ADB=115°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，理解并熟練“三線合一”的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB=AC=BD．若∠B=50°，則∠CAD的度數(shù)為（A．10° B．15° C．20°【答案】B【分析】結(jié)合等腰三角形底角相等、三角形內(nèi)角和、三角形外角定理，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解∵AB=AC=BD，∴∠B=∠C，∠BAD=∠BDA，∵∠B=50∴∠BAD=∠BDA=180°-50°2=65°∴∠CAD=∠BDA-∠C=65°-50°=15°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形中角度的計(jì)算，需要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行角度的加減運(yùn)算，看清楚等腰對(duì)等角的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BD平分∠ABC，且AD∥BC，∠ACB的外角平分線交AD于點(diǎn)E，則【答案】2【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ABD=∠BDC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADB=∠BDC，∠AEC=∠ECF,推得∠ABD=∠ADB，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AB=AD=6cm，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ACE=∠ECF，推得∠ACE=∠AEC，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AE=AC=4【詳解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BDC，∵AD∥∴∠ADB=∠BDC，∠AEC=∠ECF,∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD=6cm∵DE是∠ACF的角平分線，，∴∠ACE=∠ECF，∴∠ACE=∠AEC，∴AE=AC=4cm∴DE=AD-AE=2cm故答案為：2cm【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．聰明的小斐同學(xué)這樣檢查他的課桌桌面是否水平：如圖，在等腰直角三角尺斜邊中點(diǎn)O處拴一條繩，繩的另一端掛一個(gè)重物，把這塊三角尺的斜邊貼在桌面底部，結(jié)果繩子經(jīng)過(guò)三角尺的直角頂點(diǎn)，由此得出桌面是水平的（即掛重物的繩與桌面垂直），小斐用到的數(shù)學(xué)原理是____________．【答案】等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高，頂角的平分線互相重合【分析】根據(jù)等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高，頂角的平分線互相重合，即可．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，即掛重物的繩與桌面垂直，（等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高，頂角的平分線互相重合）故答案為：等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高，頂角的平分線互相重合．【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)的理解和掌握，此題與實(shí)際生活聯(lián)系密切，體現(xiàn)了從數(shù)學(xué)走向生活的指導(dǎo)思想，從而達(dá)到學(xué)以致用的目的．10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的一條角平分線，若∠BDC＝72°，則∠A的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】36°/36度【分析】先證明∠ABD=∠CBD,設(shè)∠ABD=x°,再證明∠ABC=∠ACB=2x°,利用三角形的內(nèi)角和定理列方程x+2x+72=180,再解方程求解x,再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案.【詳解】解：∵BD是△ABC的一條角平分線，∴∠ABD=∠CBD,設(shè)∠ABD=x°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=2x°,∵∠BDC＝72°，∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°,∴x+2x+72=180,解得：x=36,∴∠A=∠BDC-∠ABD=72°-36°=36°,故答案為：36°【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求解∠ABD=36°是解本題的關(guān)鍵.11．如圖，△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，在射線BA上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，則∠ADC的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】75°或120°或15°【分析】分為三種情況，先畫出圖形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：如圖，有三種情形：①當(dāng)AC=AD時(shí)，∵△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠CAB=30°，∵AC=AD，∴∠ADC=∠DCA=12（180°-∠CAB）=75°②當(dāng)CD′=AD′時(shí)，∵∠CAB=30°，∴∠D′CA=∠CAB=30°，∴∠AD′C=180°-30°-30°=120°．③當(dāng)AC=AD″時(shí)，則∠AD″C=∠ACD″，∵∠CAB=30°，∠AD″C+∠ACD″=∠CAB，∴∠AD″C=15°，故答案為：75°或120°或15°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD，則∠ACD的度數(shù)是__________．【答案】20°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵