高考數(shù) 五高考真題分類匯編 第六章 不等式、推理與證明 理

五年高考真題分類匯編：不等式、推理與證明選擇題1．（·湖南高考理）若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤2x，,x＋y≤1，,y≥－1，))則x＋2y的最大值是()A．－eq\f(5,2)B．0C.eq\f(5,3)D.eq\f(5,2)【解析】選C本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)及數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔偏易題．求解本小題時(shí)一定要先比較直線x＋2y＝0與邊界直線x＋y＝1的斜率的大小，然后應(yīng)用線性規(guī)劃的知識(shí)準(zhǔn)確求得最值．作出題設(shè)約束條件的平面區(qū)域(圖略)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝\f(2,3)，))可得(x＋2y)max＝eq\f(1,3)＋2×eq\f(2,3)＝eq\f(5,3).2．（·安徽高考理）已知一元二次不等式f(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)x<－1或x>\f(1,2)))，則f(10x)>0的解集為()A．{x|x<－1或x>lg2}B．{x|－1<x<lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}【解析】選D本題考查一元二次不等式的求解、指對(duì)數(shù)運(yùn)算．考查轉(zhuǎn)化化歸思想及考生的合情推理能力．因?yàn)橐辉尾坏仁絝(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)x<－1或x>\f(1,2)))，所以可設(shè)f(x)＝a(x＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10x－\f(1,2)))<0，即10x<eq\f(1,2)，x<－lg2，故選D3．（·安徽高考理）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足|OA→|＝|OB→|＝OA→·OB→＝2，則點(diǎn)集{P|OP→＝λOA→＋μOB→，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．4eq\r(2)D．4eq\r(3)【解析】選D本題考查平面向量運(yùn)算、線性規(guī)劃等知識(shí)，培養(yǎng)考生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力以及數(shù)形結(jié)合思想．由|OA→|＝|OB→|＝OA→·OB→＝2，可得∠AOB＝eq\f(π,3)，又A，B是兩定點(diǎn)，可設(shè)A(eq\r(3)，1)，B(0,2)，P(x，y)，由OP→＝λOA→＋μOB→，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)λ，,y＝λ＋2μ，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(\r(3),3)x，,μ＝\f(y,2)－\f(\r(3),6)x.))因?yàn)閨λ|＋|μ|≤1，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)x))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)－\f(\r(3),6)x))≤1，當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,3y－\r(3)x≥0,3y＋\r(3)x≤6))，時(shí)，由可行域可得S0＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，所以由對(duì)稱性可知點(diǎn)P所表示的區(qū)域面積S＝4S0＝4eq\r(3)，故選D.4.（·新課標(biāo)Ⅱ高考理）已知a＞0，x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,x≥ax－3.))若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2【解析】選B本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題．由已知約束條件，作出可行域如圖中△ABC內(nèi)部及邊界部分，由目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的幾何意義為直線l：y＝－2x＋z在y軸上的截距，知當(dāng)直線l過可行域內(nèi)的點(diǎn)B(1，－2a)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最小值為1，則2－2a＝1，a＝eq\f(1,2)，故選B.5．（·北京高考理）設(shè)關(guān)于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1＞0，,x＋m＜0，,y－m＞0))表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2.求得m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))【解析】選C本題考查二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及考生分析問題、解決問題的能力．問題等價(jià)于直線x－2y＝2與不等式組所表示的平面區(qū)域存在公共點(diǎn)，由于點(diǎn)(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直線x－2y＝2經(jīng)過第一、三、四象限，則點(diǎn)(－m，m)只能在第四象限，可得m＜0，不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，要使直線x－2y＝2與陰影部分有公共點(diǎn)，則點(diǎn)(－m，m)在直線x－2y－2＝0的下方，由于坐標(biāo)原點(diǎn)使得x－2y－2＜0，故－m－2m－2＞0，即m＜－eq\f(2,3).6．（·廣東高考理）設(shè)整數(shù)n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三條件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一個(gè)成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，則下列選項(xiàng)正確的是()A.(y，z，w)∈S，(x，y，w)?SB.(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC.(y，z，w)?S，(x，y，w)∈SD.(y，z，w)?S，(x，y，w)?S【解析】選B本題考查集合、推理與證明，考查考生接受、理解、運(yùn)用和遷移新知識(shí)的能力，推理論證能力與創(chuàng)新意識(shí)．題目中x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一個(gè)成立說明x，y，z是互不相等的三個(gè)正整數(shù)，可用特殊值法求解，不妨取x＝1，y＝2，z＝3，w＝4滿足題意，且(2,3,4)∈S，(1,2,4)∈S，從而(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S成立．7．（·山東高考理）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,x＋2y－1≥0，,3x＋y－8≤0))所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為()A．2B．1C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(1,2)【解析】選C本題考查二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，考查兩點(diǎn)間斜率的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力．已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，顯然當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)直線OM的斜率最小，由直線方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值為－eq\f(1,3).8．（·山東高考理）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng)eq\f(xy,z)取得最大值時(shí)，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值為()A．0B．1C.eq\f(9,4)D．3【解析】選B本題考查基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問題和解決問題的能力.eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq\f(1,4－3)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)z＝2y2，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝－eq\f(1,y2)＋eq\f(2,y)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))2＋1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時(shí)等號(hào)成立，故所求的最大值為1.9．（·天津高考理）設(shè)變量x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6≥0，,x－y－2≤0，,y－3≤0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－2x的最小值為()A．－7B．－4C．1【解析】選A本題考查線性規(guī)劃，意在考查考生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y＝2x＋z經(jīng)過可行域中的點(diǎn)(5,3)時(shí)，z取得最小值－7.10．（·天津高考理）已知函數(shù)f(x)＝x(1＋a|x|).設(shè)關(guān)于x的不等式f(x＋a)＜f(x)的解集為A.若eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))?A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋\r(3),2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(5),2)))【解析】選A本題考查函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力．由題意可得0∈A，即f(a)<f(0)＝0，所以a(1＋a|a|)<0，當(dāng)a>0時(shí)無解，所以a<0，此時(shí)1－a2>0，所以－1<a<0.函數(shù)f(x)的圖象(圖略)中兩拋物線的對(duì)稱軸x＝eq\f(1,2a)，x＝－eq\f(1,2a)之間的距離大于1，而[x＋a，x]的區(qū)間長(zhǎng)度小于1，所以不等式f(x＋a)＜f(x)的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)－\f(a,2)，－\f(1,2a)－\f(a,2)))，所以eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)－\f(a,2)，－\f(1,2a)－\f(a,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)－\f(a,2)＜－\f(1,2)，,－\f(1,2a)－\f(a,2)＞\f(1,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－1＜0，,a2＋a＋1＞0，))解得eq\f(1－\r(5),2)＜a＜eq\f(1＋\r(5),2)，又－1＜a＜0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，0)).11．（·北京高考文）設(shè)a，b，c∈R，且a>b，則()A．a(chǎn)c>bcB.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．a(chǎn)2>b2D.a3>b3【解析】選D當(dāng)c＝0時(shí)，選項(xiàng)A不成立；當(dāng)a>0，b<0時(shí)，選項(xiàng)B不成立；當(dāng)a＝1，b＝－5時(shí)，選項(xiàng)C不成立；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)))2＋eq\f(3b2,4)>0，故選D.12．（·重慶高考文）關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝A.eq\f(5,2)B.eq\f(7,2)C.eq\f(15,4)D.eq\f(15,2)【解析】選A本題主要考查二次不等式與二次方程的關(guān)系．由條件知x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝eq\f(513．（·山東高考文）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng)eq\f(z,xy)取得最小值時(shí)，x＋2y－z的最大值為()A．0B.eq\f(9,8)C．2D.eq\f(9,4)【解析】選C本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)和方程思想．eq\f(z,xy)＝eq\f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)－3≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號(hào)成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.14．（·大綱卷高考文）不等式|x2－2|<2的解集是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－2,0)∪(0,2)【解析】選D本題主要考查絕對(duì)值不等式、二次不等式的解法．由|x2－2|<2得－2<x2－2<2，即0<x2<4，所以－2<x<0或0<x<2.15.（·福建高考文）若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x≥1，,y≥0，))則z＝2x＋y的最大值和最小值分別為()A．4和3B．4和2C．3和2D．2和0【解析】選B本題主要考查線性規(guī)劃問題中求目標(biāo)函數(shù)的最值，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力．畫出可行域(如圖中陰影部分)，由圖像可得，當(dāng)y＝－2x＋z經(jīng)過點(diǎn)B(2,0)時(shí)，zmax＝4；當(dāng)y＝－2x＋z經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)時(shí)，zmin＝2，故選B.16．（·福建高考文）若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]【解析】選D本題主要考查基本不等式，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力．∵2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y時(shí)等號(hào)成立)，∴eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤－2，故選D.17．（·天津高考文）設(shè)變量x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6≥0，,x－y－2≤0，,y－3≤0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－2x的最小值為()A．－7B．－4C．1【解析】選A本題主要考查線性規(guī)劃，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力．約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y＝2x＋z經(jīng)過直線x－y－2＝0和y＝3的交點(diǎn)(5,3)時(shí)，z取得最小值－7.18.（·湖北高考文）某旅行社租用A，B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛．則租金最少為()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【解析】選C本題主要考查用二元一次不等式組解決實(shí)際問題的能力，考查線性規(guī)劃問題，考查考生的作圖、運(yùn)算求解能力．設(shè)租A型車x輛，B型車y輛，租金為z，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36x＋60y≥900，,y－x≤7，,y＋x≤21，,x，y∈N，))畫出可行域(圖中陰影區(qū)域中的整數(shù)點(diǎn))，則目標(biāo)函數(shù)z＝1600x＋2400y在點(diǎn)N(5,12)處取得最小值36800.19．（·陜西高考文）若點(diǎn)(x，y)位于曲線y＝|x|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，則2x－y的最小值是()A．－6B．－2C．0【解析】選A本題主要考查分段函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及求解線性規(guī)劃最優(yōu)解的思維方法．作出函數(shù)y＝|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx≥0,－xx＜0))和y＝2圍成的等腰直角三角形的可行域(如圖陰影部分所示)，則可得過交點(diǎn)A(－2，2)時(shí)，2x－y取得最小值－6.20．（·江西高考文）下列選項(xiàng)中，使不等式x＜eq\f(1,x)＜x2成立的x的取值范圍是()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)【解析】選A本題主要考查分式不等式的解法，考查考生化歸與轉(zhuǎn)化的能力．法一：取x＝－2，知符合x＜eq\f(1,x)＜x2，即－2是此不等式的解集中的一個(gè)元素，所以可排除選項(xiàng)B，C，D.法二：由題知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,x)，,\f(1,x)＜x2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－1x＋1,x)＜0，,\f(x－1x2＋x＋1,x)＞0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－1或0＜x＜1，,x＜0或x＞1，))得x＜－1.21．（·四川高考文）若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤8，,2y－x≤4，,x≥0，,y≥0，))且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b，則a－b的值是()A．48B．30C．24【解析】選C本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，意在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤8，,2y－x≤4，,x≥0，,y≥0))表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)為頂點(diǎn)的四邊形區(qū)域，檢驗(yàn)四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可知，當(dāng)x＝4，y＝4時(shí)，a＝zmax＝5×4－4＝16；當(dāng)x＝8，y＝0時(shí)，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.22．（·重慶高考理）不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集為()A．(－eq\f(1,2)，1]B．[－eq\f(1,2)，1]C．(－∞，－eq\f(1,2))∪[1，＋∞)D．(－∞，－eq\f(1,2)]∪[1，＋∞)【解析】選A由數(shù)軸標(biāo)根法可知原不等式的解集為(－eq\f(1,2)，1]．23．（·廣東高考理）已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤2，,x＋y≥1，,x－y≤1，))則z＝3x＋y的最大值為()A．12B．11C．3【解析】選B如右圖中的陰影部分即為約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，當(dāng)直線y＝－3x＋z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2，,x－y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝2))，此時(shí)，z＝y(tǒng)＋3x＝11.24．（·山東高考理）設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥2，,2x＋y≤4，,4x－y≥－1，))則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是()A．[－eq\f(3,2)，6]B．[－eq\f(3,2)，－1]C．[－1,6]D．[－6，eq\f(3,2)]【解析】選A作出不等式組所表示的區(qū)域如圖，由z＝3x－y得y＝3x－z，平移直線y＝3x，由圖像可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)E(2,0)時(shí)，直線y＝3x－z的截距最小，此時(shí)z最大為z＝3×2－0＝6，當(dāng)直線經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，直線y＝3x－z的截距最大，此時(shí)z最小，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－y＝－1，,2x＋y＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝3，))此時(shí)z＝3x－y＝eq\f(3,2)－3＝－eq\f(3,2)，所以z＝3x－y的取值范圍是[－eq\f(3,2)，6]．25．（·江西高考理）觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28B．76C．123【解析】選C記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.26．（·江西高考理）某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表.年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為()A．50,0B．30,20C．20,30【解析】選B設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤(rùn)為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.線性約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,1.2x＋0.9y≤54，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,4x＋3y≤180，,x≥0，,y≥0.))畫出可行域，如圖所示．作出直線l0：x＋0.9y＝0，向上平移至過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝50，,4x＋3y＝180，))求得B(30,20)，故選B.27．（·四川高考理）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元【解析】選C設(shè)每天分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，相應(yīng)的利潤(rùn)為z元，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12，,x>0，y>0，))z＝300x＋400y，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線300x＋400y＝0，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A(4,4)時(shí)，相應(yīng)直線在y軸上的截距達(dá)到最大，此時(shí)z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2800，即該公司可獲得的最大利潤(rùn)是2800元．28．（·遼寧高考理）設(shè)變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤10，,0≤x＋y≤20，,0≤y≤15，))則2x＋3y的最大值為()A．20B．35C．45【解析】選D作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域(如圖所示)，平移直線y＝－eq\f(2,3)x，易知直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A(5,15)時(shí)，2x＋3y取得最大值55.29．（·遼寧高考理）若x∈[0，＋∞)，則下列不等式恒成立的是()A．ex≤1＋x＋x2B.eq\f(1,\r(1＋x))≤1－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,4)x2C．cosx≥1－eq\f(1,2)x2D．ln(1＋x)≥x－eq\f(1,8)x2【解析】選C對(duì)A，因?yàn)閑3>1＋3＋32，故A不恒成立；同理，當(dāng)x＝eq\f(1,3)時(shí)，eq\f(1,\r(1＋x))>1－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,4)x2，故B不恒成立；因?yàn)?cosx＋eq\f(1,2)x2－1)′＝－sinx＋x≥0(0∈[0，＋∞))，且x＝0時(shí)，y＝cosx＋eq\f(1,2)x2－1＝0，所以y＝cosx＋eq\f(1,2)x2－1≥0恒成立，所以C對(duì)；當(dāng)x＝4時(shí)，ln(1＋x)<x－eq\f(1,8)x2，故D不恒成立．30．（·大綱卷高考理）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，AE＝BF＝eq\f(3,7).動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線向F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí)，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為()A．16B．14C．12【解析】選B結(jié)合已知點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射過程中直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖可以得到P第一次碰到E點(diǎn)時(shí)，需碰撞14次．31．（·福建高考理）下列不等式一定成立的是()A．lg(x2＋eq\f(1,4))＞lgx(x＞0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.eq\f(1,x2＋1)＞1(x∈R)【解析】選C取x＝eq\f(1,2)，則lg(x2＋eq\f(1,4))＝lgx，故排除A；取x＝eq\f(3,2)π，則sinx＝－1，故排除B；取x＝0，則eq\f(1,x2＋1)＝1，故排除D.32．（·福建高考理）若函數(shù)y＝2x圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))則實(shí)數(shù)m的最大值為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2【解析】選B可行域如圖中的陰影部分所示，函數(shù)y＝2x的圖象經(jīng)過可行域上的點(diǎn)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y－3＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))即函數(shù)y＝2x的圖象與直線x＋y－3＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，當(dāng)直線x＝m經(jīng)過點(diǎn)(1,2)時(shí)，實(shí)數(shù)m取到最大值為1，應(yīng)選B.33．（·四川高考文）若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－3，,x＋2y≤12，,2x＋y≤12，,x≥0，,y≥0，))則z＝3x＋4y的最大值是()A．12B．26C．28【解析】在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)及直線3x＋4y＝0，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)M(4,4)時(shí)，相應(yīng)直線在x軸上的截距達(dá)到最大，即zmax＝3×4＋4×4＝28.【答案】C33（·遼寧高考文）設(shè)變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤10，,0≤x＋y≤20，,0≤y≤15，))則2x＋3y的最大值為()A．20B．35C．45【解析】選D根據(jù)不等式組確定平面區(qū)域，再平移目標(biāo)函數(shù)求最大值．作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域(如圖所示)，平移直線y＝－eq\f(2,3)x，易知直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A(5,15)時(shí)，2x＋3y取得最大值55.34（·天津高考文）設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,x－1≤0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－2y的最小值為()A．－5B．－4C．－2【解析】選B不等式表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分，作輔助線l0：3x－2y＝0，結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線3x－2y＝z平移到過點(diǎn)(0,2)時(shí)，z＝3x－2y的值最小，最小值為－4.35（·山東高考文）設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥2，,2x＋y≤4，,4x－y≥－1，))則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是()A．[－eq\f(3,2)，6]B．[－eq\f(3,2)，－1]C．[－1,6]D．[－6，eq\f(3,2)]【解析】選A不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在y軸上截距的相反數(shù)，其最大值在點(diǎn)A(2,0)處取得，最小值在點(diǎn)B(eq\f(1,2)，3)處取得，即最大值為6，最小值為－eq\f(3,2).36．（·福建高考文）若直線y＝2x上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))則實(shí)數(shù)m的最大值為()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．2【解析】選B可行域如圖陰影所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y－3＝0))得交點(diǎn)A(1,2)，當(dāng)直線x＝m經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)時(shí)，m取到最大值為1.37（·安徽高考文）若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋2y≥3，,2x＋y≤3，))則z＝x－y的最小值是()A．－3B．0C.eq\f(3,2)D．3【解析】選A根據(jù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋2y≥3，,2x＋y≤3.))得可行域如圖中陰影部分所示，根據(jù)z＝x－y得y＝x－z，平移直線y＝x得z在點(diǎn)B(0,3)處取得最小值－3.38（·廣東高考文）已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≤1，,x＋1≥0，))則z＝x＋2y的最小值為()A．3B．1C．－5【解析】選C變量x，y滿足的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≤1，,x＋1≥0))表示的平面區(qū)域如圖所示，作輔助線l0：x＋2y＝0，并平移到過點(diǎn)A(－1，－2)時(shí)，z＝x＋2y達(dá)到最小，最小值為－5.39（·湖南高考文）設(shè)a>b>1，c<0，給出下列三個(gè)結(jié)論：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①B．①②C．②③D．①②③【解析】選D由a>b>1，c<0得，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；冪函數(shù)y＝xc(c<0)是減函數(shù)，所以ac<bc；因?yàn)閍－c>b－c，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，①②③均正確．40（·新課標(biāo)高考文）已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，B(1,3)，頂點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)(x，y)在△ABC內(nèi)部，則z＝－x＋y的取值范圍是()A．(1－eq\r(3)，2)B．(0,2)C．(eq\r(3)－1,2)D．(0,1＋eq\r(3))【解析】選A由題意知，正三角形的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1＋eq\r(3)，2)，當(dāng)z＝－x＋y經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，zmax＝2，經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，zmin＝1－eq\r(3).41（·重慶高考文）不等式eq\f(x－1,x＋2)<0的解集為()A．(1，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】選C不等式等價(jià)于(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1，故不等式的解集為(－2,1)．42（·江西高考文）觀察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，則5的末四位數(shù)字為()A．3125B．5625C．0625【解析】選D∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125,510＝9765625，…∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為4，記5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字為f(n)，則f()＝f(501×4＋7)＝f(7)，∴5與57的末四位數(shù)字相同，均為8125.故選D.43（·安徽高考文）設(shè)變量x，y滿足|x|＋|y|≤1，則x＋2y的最大值和最小值分別()A．1，－1B．2，－2C．1，－2【解析】選B法一：特殊值驗(yàn)證：當(dāng)y＝1，x＝0時(shí)，x＋2y＝2，排除A，C；當(dāng)y＝－1，x＝0時(shí)，x＋2y＝－2，排除D，故選B.法二：直接求解：如圖，先畫出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面區(qū)域，易知當(dāng)直線x＋2y＝u經(jīng)過點(diǎn)B，D時(shí)分別對(duì)應(yīng)u的最大值和最小值，所以u(píng)max＝2，umin＝－2.44（·山東高考文）不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是()A．[－5,7]B．[－4,6]C．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)【解析】選D|x－5|＋|x＋3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)到－3,5的距離之和，不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(－∞，－4]∪[6，＋∞)．45（·四川高考文）某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)350元．該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤(rùn)z＝()A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元【解析】選C設(shè)派用甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋6y≥72,x＋y≤12,2x＋y≤19,0≤x≤8,0≤y≤7))，目標(biāo)函數(shù)z＝450x＋350y，畫出可行域如圖，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A(7,5)時(shí)，利潤(rùn)z最大，為4900元．46（·湖南高考文）設(shè)m>1，在約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x，,y≤mx，,x＋y≤1))下，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my的最大值小于2，則m的取值范圍為()A．(1,1＋eq\r(2))B．(1＋eq\r(2)，＋∞)C．(1,3)D．(3，＋∞)【解析】選A變換目標(biāo)函數(shù)為y＝－eq\f(1,m)x＋eq\f(z,m)，由于m>1，所以－1<－eq\f(1,m)<0，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，只有直線y＝－eq\f(1,m)x＋eq\f(z,m)在y軸上的截距最大時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．顯然在點(diǎn)A處取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，得A(eq\f(1,1＋m)，eq\f(m,1＋m))，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值是eq\f(1,1＋m)＋eq\f(m2,1＋m)<2，即m2－2m－1<0，解得1－eq\r(2)<m<1＋eq\r(2)，故m的取值范圍是(1,1＋eq\r(2))．47（·重慶高考）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2)B．4C.eq\f(9,2)D．5【解析】選C依題意得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))(a＋b)＝eq\f(1,2)[5＋(eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b))]≥eq\f(1,2)(5＋2eq\r(\f(b,a)×\f(4a,b)))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2,\f(b,a)＝\f(4a,b),a＞0，b＞0))，即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)時(shí)取等號(hào)，即eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是eq\f(9,2)，選C.48.（·重慶高考）設(shè)m，k為整數(shù)，方程mx2－kx＋2＝0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則m＋k的最小值為()A．－8B．8C．12【解析】選D依題意，記f(x)＝mx2－kx＋2，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0,f1＝m－k＋2＞0,0＜\f(k,2m)＜1,Δ＝k2－8m＞0))，即①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，k＞0,k＜m＋2,k＜2m,k＞2\r(2m))).通過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)當(dāng)m＝1,2時(shí)均不存在滿足不等式組①的整數(shù)k.當(dāng)m＞2時(shí)，顯然有m＋2＜2m，此時(shí)不等式組①可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，k＞0,m＋2＞k＞2\r(2m)))；又m，k均為整數(shù)，故可進(jìn)一步化為②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，k＞0,m＋1≥k＞2\r(2m)))，要使②成立，必有m＋1＞2eq\r(2m)；又m＞2，因此有m＞3＋2eq\r(2)，顯然5＜3＋2eq\r(2)＜6，于是有m≥6.當(dāng)m＝6時(shí)，由②式得k＝7，此時(shí)方程mx2－kx＋2＝6x2－7x＋2＝0的根是eq\f(1,2)、eq\f(2,3)滿足題意．又當(dāng)m進(jìn)一步增大時(shí)，滿足②式的k不會(huì)減小，所以m＋k取最小值時(shí)m也取最小值，也就是說，當(dāng)m＝6，k＝7時(shí)，m＋k取最小值13，選D.49（·廣東高考）已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(2),y≤2,x≤\r(2)y))給定．若M(x，y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(eq\r(2)，1)，則z＝OM→·OA→的最大值為()A．3B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)【解析】選B畫出區(qū)域D，如圖中陰影部分所示，而z＝OM→·OA→＝eq\r(2)x＋y，∴y＝－eq\r(2)x＋z.令l0：y＝－eq\r(2)x，將l0平移到過點(diǎn)(eq\r(2)，2)時(shí)，截距z有最大值，故zmax＝eq\r(2)×eq\r(2)＋2＝4.50（·福建高考）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1,1)．若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OA→·OM→的取值范圍是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]【解析】選C平面區(qū)域如圖中陰影部分所示的△BDN，N(0,2)，D(1,1)，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因點(diǎn)A(－1,1)，則z＝OA→·OM→＝－x＋y，由圖可知；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝－x＋y過點(diǎn)D時(shí)，zmin＝－1＋1＝0；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝－x＋y過點(diǎn)N時(shí)，zmax＝0＋2＝2，故z的取值范圍為[0,2]，即OA→·OM→的取值范圍為[0,2]，故選C.51（·湖北高考）已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y滿足不等式|x|＋|y|≤1，則z的取值范圍為()A．[－2,2]B．[－2,3]C．[－3,2]D．[－3,3]【解析】選D因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝0，所以2x＋3y＝z，不等式|x|＋|y|≤1可轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1x≥0，y≥0,x－y≤1x≥0，y＜0,－x＋y≤1x＜0，y≥0,－x－y≤1x＜0，y＜0))，由圖可得其對(duì)應(yīng)的可行域?yàn)檫呴L(zhǎng)為eq\r(2)，以點(diǎn)(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)為頂點(diǎn)的正方形，結(jié)合圖象可知當(dāng)直線2x＋3y＝z過點(diǎn)(0，－1)時(shí)z有最小值－3，當(dāng)過點(diǎn)(0,1)時(shí)z有最大值3.所以z的取值范圍為[－3,3]．52（·浙江高考）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＞0，,2x＋y－7＞0，,x≥0，y≥0.))若x，y為整數(shù)，則3x＋4y的最小值是()A．14B．16C．17【解析】選B對(duì)于線性區(qū)域內(nèi)邊界的整點(diǎn)為(3,1)，因此最符合條件的整點(diǎn)可能為(4,1)或(3,2)，對(duì)于點(diǎn)(4,1)，3x＋4y＝3×4＋4×1＝16；對(duì)于點(diǎn)(3,2)，3x＋4y＝3×3＋4×2＝17，因此3x＋4y的最小值為16.53（·遼寧高考）設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x＞1，))則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是()A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)【解析】選D當(dāng)x≤1時(shí)，21－x≤2，解得，x≥0，所以，0≤x≤1；當(dāng)x＞1時(shí)，1－log2x≤2，解得，x≥eq\f(1,2)，所以，x＞1.綜上可知x≥0.54．（·遼寧高考）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對(duì)任意x∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)【解析】選B令函數(shù)g(x)＝f(x)－2x－4，則g′(x)＝f′(x)－2＞0，因此，g(x)在R上是增函數(shù)，又因?yàn)間(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化為：g(x)＞g(－1)，由g(x)的單調(diào)性，可得x＞－1.填空題55.（·福建高考理）當(dāng)x∈R，|x|<1時(shí)，有如下表達(dá)式：1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝eq\f(1,1－x).兩邊同時(shí)積分得：eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)01dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)0xdx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)0x2dx＋…＋eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)0xndx＋…＝eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)0eq\f(1,1－x)dx，從而得到如下等式：1×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋eq\f(1,n＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1＋…＝ln2.請(qǐng)根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計(jì)算：Ceq\o\al(0,n)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\f(1,3)Ceq\o\al(2,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋eq\f(1,n＋1)Ceq\o\al(n,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1＝________.【解析】本題考查定積分、二項(xiàng)式定理、類比推理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的轉(zhuǎn)化和歸能力、類比推理能力和運(yùn)算求解能力．法一：設(shè)f(x)＝Ceq\o\al(0,n)x＋eq\f(1,2)×C eq\o\al(1,n)x2＋eq\f(1,3)×Ceq\o\al(2,n)x3＋…＋eq\f(1,n＋1)×Ceq\o\al(n,n)xn＋1，所以f′(x)＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn＝(1＋x)n，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)0f′(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)0(1＋x)ndx＝eq\f(1,n＋1)(1＋x)n＋1eq\f(1,2)0＝eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))n＋1－eq\f(1,n＋1)(1＋0)n＋1＝eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n＋1－1)).法二：Ceq\o\al(0,n)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\f(1,3)Ceq\o\al(2,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋eq\f(1,n＋1)Ceq\o\al(n,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1＝1×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\f(1,3)×eq\f(nn－1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋eq\f(1,n＋1)×eq\f(nn－1×…×2×1,nn－1×…×2×1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1＝eq\f(1,n＋1)(n＋1)×eq\f(1,2)＋eq\f(n＋1n,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\f(n＋1nn－1,3×2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋eq\f(n＋1nn－1×…×2×1,n＋1nn－1×…×2×1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1＝eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,n＋1)×\f(1,2)＋C\o\al(2,n＋1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋…＋C\o\al(n＋1,n＋1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1))＝eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))n＋1－C\o\al(0,n＋1)))＝eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n＋1－1)).【答案】eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n＋1－1))56.（·浙江高考理）設(shè)z＝kx＋y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,2x－y－4≤0，))若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k＝________.【解析】本題考查用平面區(qū)域表示二元一次不等式組、直線方程中參數(shù)的幾何意義以及分析問題、解決問題的能力．畫出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最大值12時(shí)，最優(yōu)解一定為(4,4)，這時(shí)12＝4k＋4，k＝2.【答案】257．（·陜西高考理）若點(diǎn)(x，y)位于曲線y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，則2x－y的最小值為________．【解析】本題考查分段函數(shù)的圖象和線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查考生的數(shù)形結(jié)合能力．由題意知y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1x≥1，,1－xx<1，))作出曲線y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，如圖中陰影部分所示，即得過點(diǎn)A(－1,2)時(shí)，2x－y取最小值－4.【答案】－458.（·陜西高考理）觀察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________．【解析】本題考查考生的觀察、歸納、推理能力．觀察規(guī)律可知，第n個(gè)式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)59（·廣東高考理）不等式x2＋x－2<0的解集為________．【解析】本題考查一元二次不等式的解集，考查考生的運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合思想的領(lǐng)悟能力．令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)·(x－1)，畫出函數(shù)圖象可知，當(dāng)－2<x<1時(shí)，f(x)<0，從而不等式x2＋x－2<0的解集為{x|－2<x<1}．【答案】{x|－2<x<1}60．（·廣東高考理）給定區(qū)域D：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y≥4，,x＋y≤4，,x≥0.))令點(diǎn)集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)}，則T中的點(diǎn)共確定________條不同的直線．【解析】本題考查線性規(guī)劃、集合、直線方程等知識(shí)，考查考生的創(chuàng)新意識(shí)及運(yùn)算能力、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是要讀懂?dāng)?shù)學(xué)語言，x0，y0∈Z，說明x0，y0是整數(shù)，作出圖形可知，△ABF所圍成的區(qū)域即為區(qū)域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的點(diǎn)，B，C，D，E，F(xiàn)是z在D上取得最大值的點(diǎn)，則T中的點(diǎn)共確定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6條不同的直線．【答案】661．（·大綱卷高考理）記不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若直線y＝a(x＋1)與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．【解析】本題考查線性規(guī)劃問題．畫出可行域，易知直線y＝a(x＋1)過定點(diǎn)(－1,0)，當(dāng)直線y＝a(x＋1)經(jīng)過x＋3y＝4與3x＋y＝4的交點(diǎn)(1,1)時(shí)，a取得最小值eq\f(1,2)；當(dāng)直線y＝a(x＋1)經(jīng)過x＝0與3x＋y＝4的交點(diǎn)(0,4)時(shí)，a取得最大值4，故a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4)).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))62．（·湖北高考理）設(shè)x，y，z∈R，且滿足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝eq\r(14)，則x＋y＋z＝________.【解析】本題主要考查不等式的性質(zhì)與方程的求解，意在考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力．根據(jù)柯西不等式可得，(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14，所以要取到等號(hào)，必須滿足eq\f(x,1)＝eq\f(y,2)＝eq\f(z,3)，結(jié)合x＋2y＋3z＝eq\r(14)，可得x＋y＋z＝eq\f(3\r(14),7).【答案】eq\f(3\r(14),7)63．（·四川高考理）已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．【解析】本題考查二次函數(shù)、不等式、函數(shù)的奇偶性，意在考查考生的運(yùn)算能力和化歸的數(shù)學(xué)思想．當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－4x＜5的解集為[0,5)，又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＜5的解集為(－5,5)．所以f(x＋2)＜5的解集為(－7,3)．【答案】(－7,3)64．（·四川高考理）設(shè)P1，P2，…，Pn為平面α內(nèi)的n個(gè)點(diǎn)．在平面α內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到點(diǎn)P1，P2，…，Pn的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)P1，P2，…，Pn的一個(gè)“中位點(diǎn)”．例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A，B的中位點(diǎn)．現(xiàn)有下列命題：①若三個(gè)點(diǎn)A，B，C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點(diǎn)；②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；③若四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；④梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．其中的真命題是________．(寫出所有真命題的序號(hào))【解析】本題主要考查求函數(shù)最值，兩點(diǎn)間的距離公式，建立坐標(biāo)系，以及不等式的放縮等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，意在考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力，推理論證和運(yùn)算求解能力．對(duì)于①，不妨假設(shè)A，C，B三點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的x軸上由左至右排列，A(0,0)，C(c,0)，B(b,0)，0＜c＜b，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＝eq\r(x2＋y2)＋eq\r(x－b2＋y2)＋eq\r(x－c2＋y2)≥|x|＋|x－b|＋|x－c|.因?yàn)?＜c＜b，所以當(dāng)x＝c時(shí)，(|MA|＋|MB|＋|MC|)min＝b，此時(shí)M(c,0)，也就是M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，故①正確；對(duì)于②，設(shè)△ABC中∠C為直角，以C為原點(diǎn)，CA，CB分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，并設(shè)點(diǎn)A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，M(x，y)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，則|MA|＋|MB|＋|MC|＝eq\r(x－a2＋y2)＋eq\r(x2＋y－b2)＋eq\r(x2＋y2)，當(dāng)x＝eq\f(a,2)，y＝eq\f(b,2)時(shí)，|MA|＋|MB|＋|MC|＝eq\f(3,2)eq\r(a2＋b2)，而當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，|MA|＋|MB|＋|MC|＝a＋b，因?yàn)閑q\f(9,4)(a2＋b2)－(a＋b)2＝eq\f(5a2＋5b2－8ab,4)≥eq\f(1,2)ab＞0，所以斜邊的中點(diǎn)不是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，不妨假設(shè)A，B，C，D四點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的x軸上由左至右排列，A(0,0)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，0＜b＜c＜d，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＝