高考數(shù)一輪復(fù)習 第六章 第四節(jié) 基本不等式突破熱點題型 文

第四節(jié)基本不等式考點一利用基本不等式證明不等式[例1]已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8.[自主解答]eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))，∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2＝4，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當a＝b＝\f(1,2)時等號成立)).【互動探究】保持例題條件不變，證明：eq\r(a＋\f(1,2))＋eq\r(b＋\f(1,2))≤2.證明：∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴eq\r(a＋\f(1,2))＋eq\r(b＋\f(1,2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))×1)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)))×1)≤eq\f(a＋\f(1,2)＋1,2)＋eq\f(b＋\f(1,2)＋1,2)＝eq\f(a＋b＋3,2)＝eq\f(4,2)＝2.當且僅當a＋eq\f(1,2)＝1，b＋eq\f(1,2)＝1，即a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立．【方法規(guī)律】利用基本不等式證明不等式的方法技巧利用基本不等式證明不等式時，要充分利用基本不等式及其變形，同時注意基本不等式成立的條件．對待證明的不等式作適當變形，變出基本不等式的形式，然后利用基本不等式進行證明．設(shè)a、b均為正實數(shù)，求證：eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋ab≥2eq\r(2).證明：由于a、b均為正實數(shù)，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥2eq\r(\f(1,a2)·\f(1,b2))＝eq\f(2,ab)，當且僅當eq\f(1,a2)＝eq\f(1,b2)，即a＝b時等號成立，又因為eq\f(2,ab)＋ab≥2eq\r(\f(2,ab)·ab)＝2eq\r(2)，當且僅當eq\f(2,ab)＝ab時等號成立，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋ab≥eq\f(2,ab)＋ab≥2eq\r(2)，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,b2)，,\f(2,ab)＝ab，))即a＝b＝eq\r(4,2)時取等號.高頻考點考點二利用基本不等式求最值1．利用基本不等式求最值是高考的常考內(nèi)容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題．2．高考對利用基本不等式求最值的考查常有以下幾個命題角度：(1)知和求積的最值；(2)知積求和的最值；(3)構(gòu)造不等式求最值．[例2](1)(·福建高考)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2](2)(·山東高考)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當eq\f(z,xy)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為()A．0B.eq\f(9,8)C．2D.eq\f(9,4)(3)(·天津高考)設(shè)a＋b＝2，b>0，則eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)的最小值為________．[自主解答](1)因為2x>0,2y>0，所以1＝2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)，故eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，即2x＋y≤eq\f(1,4)＝2－2，所以x＋y≤－2.(2)eq\f(z,xy)＝eq\f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)－3≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1，當且僅當eq\f(x,y)＝eq\f(4y,x)，即x＝2y時等號成立．此時z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2.∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y－1)2＋2，∴當y＝1，x＝2，z＝2時，x＋2y－z取最大值，最大值為2.(3)∵a＋b＝2，b>0，∴b＝2－a>0，得a<2.令t＝eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(a＋b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)，①當0<a<2時，t＝eq\f(a＋b,4a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(1,4)＋eq\f(b,4a)＋eq\f(a,b)≥eq\f(1,4)＋2eq\r(\f(1,4))＝eq\f(5,4)，當且僅當eq\f(b,4a)＝eq\f(a,b)，即b＝2a，a＝eq\f(2,3)∈(0,2)時，t取得最小值為eq\f(5,4).②當a<0時，t＝－eq\f(a＋b,4a)－eq\f(a,b)＝－eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,4a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)))≥－eq\f(1,4)＋2eq\r(\f(1,4))＝eq\f(3,4)，當且僅當－eq\f(b,4a)＝－eq\f(a,b)，即b＝－2a，a＝－2時，t取得最小值為eq\f(3,4).∵eq\f(5,4)>eq\f(3,4)，∴eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)的最小值為eq\f(3,4).[答案](1)D(2)C(3)eq\f(3,4)利用基本不等式求最值問題的常見類型及解題策略(1)知和求積的最值．求解此類問題的關(guān)鍵：明確“和為定值，積有最大值”．但應(yīng)注意以下兩點：①具備條件——正數(shù)；②驗證等號成立．(2)知積求和的最值．明確“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件．(3)構(gòu)造不等式求最值．在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解．1．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x<0)，則f(x)有()A．最大值為0B．最小值為0C．最大值為－4D．最小值為－4解析：選C∵x<0，∴－x>0，∴x＋eq\f(1,x)－2＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2eq\r(－x·\f(1,－x))－2＝－4，當且僅當－x＝－eq\f(1,x)，即x＝－1時等號成立．2．(·衢州模擬)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))的最小值為________．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,b)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,b)))＝5＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9.當且僅當a＝b＝eq\f(1,2)時，取等號．答案：93．(·四川高考)已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.解析：∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，當且僅當4x＝eq\f(a,x)時等號成立，此時a＝4x2，由已知x＝3時函數(shù)取得最小值，所以a＝4×9＝36.答案：36考點三基本不等式的實際應(yīng)用[例3]為響應(yīng)國家擴大內(nèi)需的政策，某廠家擬在年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用t(t≥0)萬元滿足x＝4－eq\f(k,2t＋1)(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)．(1)將該廠家年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；(2)該廠家年的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？[自主解答](1)由題意有1＝4－eq\f(k,1)，得k＝3，故x＝4－eq\f(3,2t＋1).故y＝1.5×eq\f(6＋12x,x)×x－(6＋12x)－t＝3＋6x－t＝3＋6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2t＋1)))－t＝27－eq\f(18,2t＋1)－t(t≥0)．(2)由(1)知：y＝27－eq\f(18,2t＋1)－t＝27.5－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,t＋\f(1,2))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2))))).基本不等式eq\f(9,t＋\f(1,2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))≥2×eq\r(\f(9,t＋\f(1,2))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2))))＝6，當且僅當eq\f(9,t＋\f(1,2))＝t＋eq\f(1,2)，即t＝2.5時等號成立．故y＝27－eq\f(18,2t＋1)－t＝27.5－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,t＋\f(1,2))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))))≤27.5－6＝21.5.當且僅當eq\f(9,t＋\f(1,2))＝t＋eq\f(1,2)，即t＝2.5時，等號成立，y有最大值21.5.所以年的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家利潤最大，最大利潤為21.5萬元．【方法規(guī)律】解實際應(yīng)用題時應(yīng)注意的問題(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需再利用基本不等式求得函數(shù)的最值；(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求．(4)有些實際問題中，要求最值的量需要用幾個變量表示，同時這幾個變量滿足某個關(guān)系式，這時問題就變成了一個條件最值，可用求條件最值的方法求最值．某單位建造一間地面積為12m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5m．房屋正面的造價為400元/m2，房屋側(cè)面的造價為150元/m2，房頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3m，且不計房屋背面的費用．當側(cè)面的長度為多少時，總造價最低？解：由題意可得，造價y＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x×150＋\f(12,x)×400))＋5800＝900eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋5800(0<x≤5)，則y＝900eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋5800≥900×2eq\r(x×\f(16,x))＋5800＝13000(元)，當且僅當x＝eq\f(16,x)，即x＝4時取等號．故當側(cè)面的長度為4米時，總造價最低．———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1個技巧——公式的逆用運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤eq\f(a2＋b2,2)；eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b>0)逆用就是ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b>0)等，還要注意“添”“拆”項技巧和公式等號成立的條件等．2個變形——基本不等式的變形(1)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab(a，b∈R，當