高等應(yīng)用數(shù)學 課件 1.4 無窮小與無窮大

無窮小與無窮大

無窮小的性質(zhì)

無窮小的比較§1-4無窮小與無窮大內(nèi)容提要無窮小一1．無窮小的概念引例1【電容器放電】電容器放電時其電壓隨時間的增加而逐漸減少并無限趨近于0。引例2【洗滌效果】在用洗衣機清洗衣物時，清洗次數(shù)越多，衣物上殘留的污漬就越少，當清洗次數(shù)無限增大時，衣物上的污漬量就會無限趨近于0。當然，為了保護您的身體健康，健康專家建議我們少用或者最好不使用洗滌劑。定義1在自變量的某一變化過程中，極限為零的變量X稱為無窮小量，簡稱無窮小，即變量X是這一變化過程中的無窮小例如，，所以為時的無窮??；再如

，所以為時的無窮小。解例1討論自變量x在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無窮?。海?）（2）（3）（4）（1）因為，所以當時，為無窮小。（2）因為，所以當時，為無窮小。（3）因為，所以當時，為無窮小。（4）因為，所以當時，為無窮小。解例2【手機銷售】一款新手機上市，其銷售量與時間的函數(shù)關(guān)系為：請預(yù)測長期的銷售量。長期的銷售量應(yīng)理解為當時的銷售量，即由此可見，隨著時間的推移人們買此款手機的可能性將趨于零，故長期的銷售量為無窮小。在自變量的同一變化過程中，無窮小滿足以下性質(zhì)：性質(zhì)1有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小。性質(zhì)2有限個無窮小的乘積是無窮小。性質(zhì)3有界變量與無窮小的乘積是無窮小。2．無窮小的性質(zhì)解例3求極限：（1）（2）（1）因為當時，x2為無窮小，而有界。所以，由性質(zhì)3可知（2）因為當時，為無窮小，而有界。所以，由性質(zhì)3可知3．函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系在自變量的某一變化過程中，函數(shù)以

A為極限的充要條件是可以表示為極限A與一個無窮小的和，即定義2在自變量的變化過程中，絕對值無限增大的變量X稱為無窮大量，簡稱無窮大，記作。無窮大二1．無窮大的概念如果變量X取正值無限增大，則稱變量X為正無窮大，記作

；如果變量X取負值而絕對值無限增大，則稱變量X為負無窮大，記作。解例4討論自變量x在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無窮大：（1）（2）（3）（4）（1）因為，所以當時，為無窮小。（2）因為，所以當時，為無窮小。（3）因為，所以當時，為無窮小。（4）因為，所以當時，為無窮小。解例5【銀行存款】假設(shè)某人在銀行存入10000元，銀行的年利率為，試分析存款時間越長，本利和如何變化？由題設(shè)條件可得，t年后的本利和為隨著存款時間越長，即時，本利和變?yōu)榧串敶婵顣r間無限延長時，本利和將無限增大。2．無窮小與無窮大的關(guān)系在自變量的變化過程中，若變量X是無窮大，則是無窮??；反之，若變量X（）是無窮小，則是無窮大，即變量X（）是無窮小是無窮大例如，因為，所以。（1）若，則稱α是比β高階的無窮小，記作；定義3設(shè)

α與β是自變量在同一變化過程中的無窮小。無窮小的比較三1．無窮小比較的定義（2）若，則稱α是比β低階的無窮??；（3）若，則稱α是比β同階無窮??；（4）若，則稱α是比β等階無窮小，記作α～β；當時，下列函數(shù)之間為等價無窮?。?．等價無窮小的應(yīng)用求型函數(shù)極限時，利用以上常見的等價無窮小替換可以使計算過程簡化，結(jié)論如下：設(shè)自變量在同一變化過程中，無窮小，，若存在，則解例6問當時，與相比是什么階的無窮??？所以，當時，。因為當時，與都是無窮小，且解例7求下列函數(shù)的極限：（1）（2）（3）（1）因為當時，，，所以（2）因為當