概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版第2版）課件 張?zhí)斓?第1章 隨機(jī)事件與概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第1講隨機(jī)事件第1章隨機(jī)事件與概率第一講隨機(jī)事件2隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性隨機(jī)試驗(yàn)如何研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性？概率統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象

概率統(tǒng)計(jì)的研究?jī)?nèi)容全概率統(tǒng)計(jì)的研究方法01隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間02隨機(jī)事件03隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算本講內(nèi)容隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性是通過大量試驗(yàn)呈現(xiàn)出來的，為了研究這種規(guī)律性，我們需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行調(diào)查、觀察或試驗(yàn).這類工作我們統(tǒng)稱為“隨機(jī)試驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱為“試驗(yàn)”，用E表示.401

隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間（1）試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有結(jié)果明確可知，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)只能出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，事先不能確定.??隨機(jī)試驗(yàn)具有下列三個(gè)特點(diǎn)：給微信好友發(fā)消息，觀察對(duì)方是否回復(fù)；（1）試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有結(jié)果明確可知，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)只能出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，事先不能確定.??隨機(jī)試驗(yàn)具有下列三個(gè)特點(diǎn)：檢驗(yàn)10件產(chǎn)品，記錄其中的次品數(shù)；調(diào)查某收銀臺(tái)一天內(nèi)使用移動(dòng)支付的次數(shù)；研究某品牌電腦的使用壽命.??例101

隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)E所有可能的結(jié)果組成的集合，記為S或Ω.E1

給微信好友發(fā)消息，觀察對(duì)方是否回復(fù).E2

檢驗(yàn)10件產(chǎn)品，記錄其中的次品數(shù).601

隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間??樣本空間??例2S1={回復(fù)，不回復(fù)}S2={0,1,2,…,10}E4

研究某品牌電腦的使用壽命.E3

調(diào)查某收銀臺(tái)一天內(nèi)使用移動(dòng)支付的次數(shù).701

隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間??注研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí),第一步就是建立樣本空間.S3={0,1,2,3,…}S4={t|t≥0}01隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間02隨機(jī)事件03隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算本講內(nèi)容每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的基本結(jié)果（樣本點(diǎn)）稱為基本事件，由若干個(gè)基本事件組成的隨機(jī)事件.樣本空間的子集,記為A,B,…9??隨機(jī)事件??基本事件??復(fù)合事件02

隨機(jī)事件基本事件可以用一個(gè)樣本點(diǎn)表示.每次試驗(yàn)必定不發(fā)生的事件，記為?.

每次試驗(yàn)必定發(fā)生的事件，即樣本空間S.10??必然事件??不可能事件拋骰子??例302

隨機(jī)事件B={偶數(shù)}A={2}C={點(diǎn)數(shù)不大于6}??={點(diǎn)數(shù)大于6}AS

文氏圖

(Venndiagram)11在一般情況下，事件的關(guān)系是怎樣的呢？事件是樣本空間的子集，因此，事件的關(guān)系和運(yùn)算02

隨機(jī)事件與集合的關(guān)系和運(yùn)算是完全相似的.要學(xué)會(huì)利用概率論的語言來解釋這些關(guān)系及其運(yùn)算.這里需要強(qiáng)調(diào)的是，01隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間02隨機(jī)事件03隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算本講內(nèi)容A=BSAB13它表示：事件A與事件B的樣本點(diǎn)完全相同.03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??包含關(guān)系如果事件A?的樣本點(diǎn)都在事件B中，則稱事件A包含于事件B.拋一枚骰子中的隨機(jī)試驗(yàn)中，??例4它表示：事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生.，事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定發(fā)生.??相等關(guān)系

A=B，如果，且14

??事件的和(并)考察某同學(xué)期末考試的成績(jī)情況.??例5事件A與事件B的樣本點(diǎn)合在一起構(gòu)成的事件.它表示：事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生.

ABS

它表示：英語、高數(shù)至少有一門及格.03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

.??推廣??推廣15

03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

16它表示：英語、高數(shù)兩門課都及格.

??事件的積(交)

事件A與事件B共有的樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件.考察某同學(xué)期末考試的成績(jī)情況.??例6它表示：事件A與事件B同時(shí)發(fā)生.

03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

??推廣??推廣1703

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

表示同時(shí)發(fā)生.

表示同時(shí)發(fā)生.18

??事件的差由屬于A

但不屬于B的樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件.考察電視機(jī)的使用壽命t(h).

??例7它表示：事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生.

03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

19??互不相容（互斥）考察電視機(jī)的使用壽命t(h).

??例8AB

則事件A與B互不相容.則稱事件A與B互不相容.03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算若事件A,B不能同時(shí)發(fā)生，即A∩B=，20??對(duì)立事件（逆事件）對(duì)于事件A，由所有不包含在A中的樣本點(diǎn)所組成的事件稱為A的對(duì)立事件，SA

03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

則

對(duì)應(yīng)事件運(yùn)算集合運(yùn)算21??運(yùn)算規(guī)律

（2）結(jié)合律：

（3）分配律：03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

逆交和差22??運(yùn)算順序括號(hào)優(yōu)先

（4）對(duì)偶律（D.Morgan律）：03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算23利用事件的關(guān)系和運(yùn)算可表達(dá)復(fù)雜事件.??例9設(shè)A,B,C

表示三個(gè)事件，利用A,B,C

表示下列事件.

（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生.

（2）A與B發(fā)生，C不發(fā)生.

（3）A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生.

（4）A,B,C都發(fā)生.03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算——A,B,C

不都發(fā)生.

24

（5）A,B,C都不發(fā)生.

（6）A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生.（7）A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生

（8）A,B,C中不至少有兩個(gè)發(fā)生.03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算如右圖所示的電路中，設(shè)事件A,B,C分別表示開關(guān)a,b,c閉合，用A,B,C表示事件“指示燈亮”及事件“指示燈不亮”.??例1025解

D發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A及B∪C都發(fā)生，03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

26設(shè)A,B,C分別表示第1、2、3個(gè)產(chǎn)品為次品，用A,B,C的運(yùn)算可表示下列各事件.??例11（1）至少有一個(gè)次品（2）沒有次品（3）恰有一個(gè)次品（4）恰有兩個(gè)個(gè)次品03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

27

（5）至多有兩個(gè)次品

03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算（考慮其對(duì)立事件）28??例12

在圖書館中隨意抽取一本書，記事件B表示中文書，C表示平裝書.

則03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算A表示數(shù)學(xué)書，

29

03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算30

03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

解31??例15向目標(biāo)射擊兩次，用A表示事件“第一次擊中目標(biāo)”，用B表示事件“第二次擊中目標(biāo)”，試用A、B表示下列各事件（）：（1）“只有第一次擊中目標(biāo)”（2）“僅有一次擊中目標(biāo)”（3）“兩次都未擊中目標(biāo)”（4）“至少一次擊中目標(biāo)”03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算解（1）只有第一次擊中目標(biāo)隱含著第二次未擊中目標(biāo)，即或第一次未擊中而第二次擊中目標(biāo)，即（2）僅有一次擊中目標(biāo)意味著第一次擊中而第二次未擊中目標(biāo)，32??例16向目標(biāo)射擊兩次，用A表示事件“第一次擊中目標(biāo)”，用B表示事件“第二次擊中目標(biāo)”，試用A、B表示下列各事件（）：（1）“只有第一次擊中目標(biāo)”（2）“僅有一次擊中目標(biāo)”（3）“兩次都未擊中目標(biāo)”（4）“至少一次擊中目標(biāo)”03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算解（3）兩次都未擊中目標(biāo)顯然可以表示為因此可表示為，即或（4）至少一次擊中目標(biāo)包括僅一次擊中目標(biāo)或者兩次都擊中目標(biāo)，33??例17

證明：

03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算證明

34??例1803

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算35因此選

B

03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算36

??例19

D未必成立AB

解03

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

3703

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算解由已知

，則得第1講隨機(jī)事件38這一講我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件以及事件間的關(guān)系與運(yùn)算，利用這些關(guān)系與運(yùn)算，我們可以用簡(jiǎn)單事件去雜事件，表示復(fù)從而利用簡(jiǎn)單事件的概率得到復(fù)雜事件的概率.下一講我們介紹一類簡(jiǎn)單概率模型

——古典概型.學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第2講古典概率與幾何概率第1章隨機(jī)事件與概率01古典概率02幾何概率本講內(nèi)容在概率論發(fā)展的歷史上，最早研究的一類最直觀、拋擲一枚均勻的硬幣，或拋擲一顆均勻的骰子，這類隨機(jī)試驗(yàn)，它們都有如下的兩個(gè)特點(diǎn)：4201

古典概率??例1最簡(jiǎn)單的問題是等可能摡型，在這類問題中，樣本空間中每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的.基本事件的個(gè)數(shù)有限.4301

古典概率有限性等可能性.??注??結(jié)論具有上述特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)E稱為古典（等可能）概型.每個(gè)基本事件等可能性發(fā)生.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E為古典概型，記:對(duì)古典概率的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為對(duì)樣本點(diǎn)的計(jì)數(shù)4401

古典概率古典概率概率的古典定義.??注問題，該問題通?？梢越柚帕薪M合公式以及加法和乘法原理等進(jìn)行計(jì)算.

則

樣本空間S中所包含的基本事件的個(gè)數(shù).

事件A中所包含的基本事件的個(gè)數(shù).4501

古典概率??加法原理??乘法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第i種方式有ni種方法，則完成這件事共有：n1+n2+?+nm

種不同的方法.設(shè)完成一件事需要m個(gè)步驟，第i個(gè)步驟有ni種方法，則完成這件事共有：n1×n2×…×nm

種不同的方法.4601

古典概率??排列公式??組合公式從n個(gè)不同元素中任取k個(gè)的不同排列總數(shù).從n個(gè)不同元素中任取k個(gè)的不同組合總數(shù).

4701

古典概率??例2從1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)組成四位數(shù)，則所有可能組成的四位數(shù)共有多少個(gè).解

4801

古典概率??例3從10名辯論賽培訓(xùn)隊(duì)員中選出4名組成一個(gè)參賽隊(duì)，問共有多少種組隊(duì)方法？解按組合的定義，組隊(duì)方法共有

（種）設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，現(xiàn)從這N件中任取n件，求其中恰有k件次品的概率.4901

古典概率解超幾何公式.??注令A(yù)={恰有k件次品}??例4

口袋中a只黑球，b只白球．隨機(jī)地一只

(1)有放回抽?。?001

古典概率??例5解一只抽取，求第k次摸得黑球的概率．無放回和有放回答案相同！5101

古典概率??注簡(jiǎn)單理解是“抽簽理論或排隊(duì)理論”：電器含3個(gè)快充，每次抽中快充的概率都是3/10，與次序無關(guān)！如10個(gè)充??例5把球編號(hào)，按抽取次序把球排成一列，樣本點(diǎn)總口袋中a只黑球，b只白球.隨機(jī)地一只一只抽取，(2)不放回抽取.求第k次摸得黑球的概率．5201

古典概率解法1數(shù)就是a+b個(gè)球的全排列數(shù)(a+b)!.

事件A相當(dāng)于在第k

位放黑球，共有a種放法，法又對(duì)應(yīng)其它a+b－1個(gè)球的(a+b－1)!種放法，故事件每種放A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為a(a+b－1)!.只考慮前k個(gè)位置

共a+b個(gè)次序，總數(shù)：從a+b個(gè)次序里邊挑a個(gè)給黑球.事件A的次數(shù)：把第k個(gè)位置放黑球，剩下a+b-1個(gè)位置，挑a-1個(gè)給黑球：5301

古典概率解法2解法3

（1）作放回抽樣（每次抽取后記錄結(jié)果，然后放回）；（2）作不放回抽樣（抽取后不再放回）；5401

古典概率??例6箱中放有a+b個(gè)外形一樣的手機(jī)充電器（不含充電線），其中a個(gè)充電器具有快充功能，其余b個(gè)沒有快充功能，k(k≤a+b)個(gè)人依次在箱中取一個(gè)充電器，求第i(i=1,2,?,k)人取到具有快充功能的充電器（記為事件A）的概率.（1）放回抽樣的情況下，每個(gè)人都有a+b

種抽取5501

古典概率解法，古典概率的定義:（抽到具有快充功能的充電器）包含a種抽取方法，由于其中a個(gè)充電器具有快充功能，因此事件A由

5601

古典概率（2）在不放回抽樣的情況下，k個(gè)人依次抽取，根據(jù)乘

法原理，完成抽取后樣本空間共有個(gè)基本結(jié)果.于事件A要求第i人抽到具有快充功能的充電器，由第i人有a種取法，其余k?1人從剩余的a+b?1個(gè)充電器

種取法，中任選k?1

個(gè)，有

種基本結(jié)果，由古典概率的定義：A共包含根據(jù)乘法原理事件因而

5701

古典概率從該例可以看出，無論是放回抽樣還是不放回抽樣，抽到具有快充功能充電器的概率都和抽取順序無關(guān).此問題和抽簽問題類似，因此從概率意義上，抽簽是公平的，不必爭(zhēng)先恐后.5801

古典概率??例7解貨架上有外觀相同的商品15件，其中12件來自甲產(chǎn)地，3件來自乙產(chǎn)地.現(xiàn)從貨架上隨機(jī)抽取兩件，求這兩件商品來自同一產(chǎn)地的概率.A1表示“兩件商品都來自甲產(chǎn)地”，A2

表示“兩件商品都來自乙產(chǎn)地”.即樣本空間中有105個(gè)樣本點(diǎn).有從15件商品中取出兩件，共5901

古典概率事件A1

要求兩件商品都來自甲產(chǎn)地，因而事件A1

共包

含個(gè)樣本點(diǎn)，個(gè)樣本點(diǎn).

同理事件包含而事件A=“兩件上商品來自同一產(chǎn)地”可以表示A1∪A2

，且事件A1

和事件A2

互斥，k=k1+k2=69個(gè)樣本點(diǎn)，所以這兩件上商品來自同一產(chǎn)地的概率：因而事件A包含

假設(shè)該醫(yī)院白內(nèi)障手術(shù)的時(shí)間沒有規(guī)定,而病人在一周的任一天去醫(yī)院是等可能的.則5次白內(nèi)障手術(shù)都在周二、周四的概率為60??例8解

某醫(yī)院一周曾做過5次白內(nèi)障手術(shù),已知這5次手術(shù)都是在周二和周四進(jìn)行的,請(qǐng)問是否可以推斷該醫(yī)院白內(nèi)障手術(shù)的時(shí)間是有規(guī)定的?01

古典概率61人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的”（實(shí)際推斷原理），

概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由現(xiàn)在

懷疑假設(shè)的正確性，來訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的.從而推斷接待站不是每天都接待01

古典概率62??例9某福利彩票游戲規(guī)則：購買者從01~35共35個(gè)號(hào)碼中選取7個(gè)號(hào)碼作為一注進(jìn)行投注，7個(gè)號(hào)碼中6個(gè)為基本號(hào)碼另外1個(gè)號(hào)碼為特別號(hào)碼，每注彩票2元，每期銷售彩票總金額的50%用來作為獎(jiǎng)金.01

古典概率獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置為一等獎(jiǎng)：選7中6+1（不考慮基本號(hào)碼的順序）；二等獎(jiǎng)：選7中6；三等獎(jiǎng)：選7中5+1；四等獎(jiǎng)：選7中5；五等獎(jiǎng)：選7中4+1；六等獎(jiǎng)：選7中4；七等獎(jiǎng)：選7中3+1.試計(jì)算單注中獎(jiǎng)概率.63解這一類型彩票游戲可以看作不放回摸球問題：袋中有35個(gè)（同類型）球，其中6個(gè)紅球1個(gè)黃球，28個(gè)一個(gè)白球.現(xiàn)不放回從袋中取7個(gè)球，求7個(gè)球中恰有i個(gè)紅球和j個(gè)黃球的概率，i=0,1,…6；j=0,1.

因此中一等獎(jiǎng)的概率01

古典概率

64類似可求得單注中k等獎(jiǎng)的概率pk，k＝2,…,7，它們分別為：01

古典概率65單注中獎(jiǎng)概率為：

通過以上可以看出單注中獎(jiǎng)的概率不到2%，而中頭獎(jiǎng)的概率僅有百萬分之一點(diǎn)五左右，根據(jù)實(shí)際推斷原理，偶爾買一次彩票就中大獎(jiǎng)幾乎是不可能的.01

古典概率66??例10

（分房模型）設(shè)有k

個(gè)不同的球,每個(gè)球等可能地落入N

個(gè)盒子中（），設(shè)每個(gè)盒子容球數(shù)無限，求下列事件的概率：（1）某指定的k

個(gè)盒子中各有一球；（2）某指定的一個(gè)盒子恰有m個(gè)球（）；

（3）恰有k個(gè)盒子中各有一球.01

古典概率（1）某指定的k

個(gè)盒子中各有一球（3）恰有k

個(gè)盒子中各有一球（每個(gè)盒子至多一球）（2）某指定的一個(gè)盒子恰有m

個(gè)球()6701

古典概率解

某班級(jí)有k(k≤365)個(gè)人，求k

個(gè)人的生日均不相同的概率.??例11（“分房模型”的應(yīng)用）下一講揭曉.等價(jià)于：恰有k

個(gè)盒子中各有一球6801

古典概率

問：如何求“至少有兩人同生日”的概率？解6901

古典概率??例12袋子里有1~10號(hào)球，任取3個(gè)，求：(1)最小號(hào)碼為5的概率；(2)最大號(hào)碼為5的概率；(3)中間號(hào)碼為5的概率。

則只需從前3次中任選一次，使它從另外2種顏色中取到某一種顏色：7001

古典概率??例13設(shè)袋中有紅、白、黑球各1個(gè)，從中有放回地取球，每次取1個(gè)，直到3種顏色的球都取到時(shí)停止，求取球次數(shù)恰好為4的概率.①第4次取到一種顏色，前3次取到2種顏色：

②已有一色在第4次被取到，

解01古典概率02幾何概率本講內(nèi)容古典概型考慮了樣本空間僅包含有限個(gè)樣本點(diǎn)的等(1)設(shè)樣本空間S是平面上某個(gè)區(qū)域，它的面積記為μ(S);S7202

幾何概率??幾何概型(古典概型的推廣)可能概率模型，但等可能概型還有其它類型，間為一線段、平面或空間區(qū)域等，幾何概型，思路如下：如樣本空這類等可能概型稱為該點(diǎn)落入S內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域(2)向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，“隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是:S73的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān).02

幾何概率設(shè)事件A是S的某個(gè)區(qū)域，它的面積為μ(A)，則向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域A的概率為：SA74

02

幾何概率75(3)假如樣本空間S可用一線段，或空間中某個(gè)區(qū)域表示，并且向S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)的含義如前述，則事件A的概率仍可用確定，只不過把

理解為長(zhǎng)度

或體積即可.02

幾何概率76幾何概率率為:設(shè)樣本空間為有限區(qū)域S,若樣本點(diǎn)落入S內(nèi)任何區(qū)域A中的概率與區(qū)域A的測(cè)度成正比,則樣本點(diǎn)落入A內(nèi)的概02

幾何概率

某城際列車每1小時(shí)發(fā)一班車,某人開完會(huì)后到候車廳候車，求他候車時(shí)間少于10分鐘的概率.??例1477解以分鐘為單位,記上一班車發(fā)出時(shí)刻為0，下一班車發(fā)出時(shí)刻為60,因此這個(gè)人到達(dá)候車廳的時(shí)間必在區(qū)間(0,60)內(nèi),記“等待時(shí)間短于10分鐘”為事件A，則有02

幾何概率78

于是：02

幾何概率

在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于1/2的概率.??例15（約會(huì)問題）

79解法1利用幾何概型計(jì)算

解法2利用均勻分布計(jì)算（第三章）.

A

1/21Oyx02

幾何概率

某銷人員和客戶相約7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等候另一人半個(gè)小時(shí)，過時(shí)就離開.如果每個(gè)人可在指定的一小時(shí)內(nèi)任意時(shí)刻到達(dá)，試計(jì)算二人能夠會(huì)面的概率.??例16（會(huì)面問題）

80解記7點(diǎn)為0時(shí)刻，x,y分別表示甲、乙兩人到達(dá)指定02

幾何概率地點(diǎn)的時(shí)刻，則樣本空間為：

81以A表示“兩人能會(huì)面”，如圖所示，根據(jù)題意，這是一個(gè)幾何概型，于是

02

幾何概率則有11212121|x-y|＜Oyx

8202

幾何概率??例17有一根長(zhǎng)為l的木棒，任意折成三段，求恰好能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率.

解8302

幾何概率

??例18

84

設(shè)如圖所示事件A表示“點(diǎn)與原點(diǎn)的02

幾何概率

解8502

幾何概率

第2講古典概率與幾何概率86古典概型是最簡(jiǎn)單的一種概率模型，要掌握好古典幾何概型的概率計(jì)算的關(guān)鍵是將樣本空間和隨機(jī)事????概型，必須學(xué)好排列組合公式.去求樣本點(diǎn)總數(shù)和事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).件用正確的圖形表示出來.會(huì)利用排列組合公式知識(shí)點(diǎn)解讀—古典概型與幾何概型第2講古典概率與幾何概率87幾何圖形的度量主要是長(zhǎng)度，面積或體積等，經(jīng)常??運(yùn)用積分等工具去求解.學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3講概率的公理化定義與運(yùn)算性質(zhì)第1章隨機(jī)事件與概率01概率的公理化定義02概率的運(yùn)算性質(zhì)本講內(nèi)容歷史上概率的三次定義③公理化定義②統(tǒng)計(jì)定義①古典定義概率的最初定義.基于頻率的定義.1933年由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出.

研究隨機(jī)現(xiàn)象，我們不僅要關(guān)心會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更關(guān)心這些事件出現(xiàn)的可能性大小，所謂事件的概率就是度量事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值.91概率的公理化定義什么是概率？01

概率論的公理化定義通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義92歷史上概率的三次定義??古典定義不足：僅適用于等可能概型.??統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義:在大量重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p的周圍，件A發(fā)生的概率，并記不足：不精確不嚴(yán)格不便使用.??公理化定義概率.01

概率論的公理化定義則稱該常數(shù)p為事93??概率的公式化定義（1）非負(fù)性（2）規(guī)范性

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E

的樣本空間為S，若對(duì)E

的每一事件A

都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)與之對(duì)應(yīng)，并且滿足下列三條公理，則稱P(A)為事件A的概率.對(duì)每一個(gè)事件A，有01

概率論的公理化定義它給出了概率所必須滿足的最基本的性質(zhì)，為建立嚴(yán)格的概率理論提供了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).9401

概率論的公理化定義有（3）可列可加性對(duì)任意個(gè)兩兩互不相容事件.01概率的公理化定義02概率的運(yùn)算性質(zhì)本講內(nèi)容96概率的運(yùn)算性質(zhì)三條公理（1）非負(fù)性（2）規(guī)范性基本性質(zhì)（3）可列可加性加法公式.對(duì)任意個(gè)兩兩互不相容事件02

概率的運(yùn)算性質(zhì)有97加法公式若事件A,B互斥，則，若事件A1,A2,?,An

兩兩互斥，則，??性質(zhì)102

概率的運(yùn)算性質(zhì)

對(duì)任一事件A，有

如果正面計(jì)算事件

A的概率不容易，而計(jì)算其對(duì)立事件的概率較易時(shí)，可以使用性質(zhì)2.ＡA98逆事件公式??性質(zhì)2??注02

概率的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)Ａ、B是兩個(gè)事件，若,則有99減法公式??性質(zhì)302

概率的運(yùn)算性質(zhì)??注對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,有AB對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，有再由性質(zhì)3得證.100廣義加法公式??性質(zhì)402

概率的運(yùn)算性質(zhì)右端共有項(xiàng).101推廣：一般：02

概率的運(yùn)算性質(zhì)

設(shè)有50件產(chǎn)品，其中有3件不合格品，從中任取4件，求至少有一件不合格品的概率.??例1102解法1設(shè)A表示至少有一件不合格品，Ai

表示恰好有i件不合格品，則：性質(zhì)102

概率的運(yùn)算性質(zhì)

103解法2因?yàn)?/p>

表示全是合格品，則性質(zhì)2計(jì)算事件A的概率不容易，而計(jì)算其對(duì)立事件的概率較易時(shí)，可以利用性質(zhì)2.02

概率的運(yùn)算性質(zhì)

某班級(jí)有k(k≤365)個(gè)人，求k

個(gè)人的生日均不相同的概率.求“至少有兩人同生日”的概率.恰有k

個(gè)盒子中各有一球104（“分房模型”的應(yīng)用）02

概率的運(yùn)算性質(zhì)??例2對(duì)某高校學(xué)生移動(dòng)支付使用情況進(jìn)行調(diào)查，使用支付寶的用戶占45%，使用微信支付的用戶占35%，同時(shí)使用兩種移動(dòng)支付的占10%.求至少使用一種移動(dòng)支付的概率和只使用一種移動(dòng)支付的概率.??例3105解記“使用支付寶”為事件A，“使用微信支付”為事件B，而“只使用一種移動(dòng)支付”可表示為且易知?jiǎng)t“至少使用一種移動(dòng)支付”可以示為A∪B，02

概率的運(yùn)算性質(zhì)106至少使用一種移動(dòng)支付的概率：只使用一種移動(dòng)支付的概率：02

概率的運(yùn)算性質(zhì)??例4A,B是兩個(gè)事件，已知107解求而因此02

概率的運(yùn)算性質(zhì)??例5108解則事件A,B,C都不發(fā)生的概率為?02

概率的運(yùn)算性質(zhì)109??例6設(shè)(1)若A,B互斥，則則(2)若02

概率的運(yùn)算性質(zhì)因?yàn)锳,B互不相容,所以.110??例7若A,B為任意兩個(gè)事件，則（）解02

概率的運(yùn)算性質(zhì)

11102

概率的運(yùn)算性質(zhì)??例8設(shè)A與B互為對(duì)立事件，判斷以下等式是否成并說明理由.解

11202

概率的運(yùn)算性質(zhì)

11302

概率的運(yùn)算性質(zhì)從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？下面的算法錯(cuò)在哪里？錯(cuò)在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只??例911402

概率的運(yùn)算性質(zhì)從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？97321456810正確答案請(qǐng)思考：還有其它解法嗎？??例9

11502

概率的運(yùn)算性質(zhì)??例10解或

11602

概率的運(yùn)算性質(zhì)

??例11解

11702

概率的運(yùn)算性質(zhì)

由P(A)=0.6，P(B)=0.7

知AB≠φ，（否則P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1）從而由加法定理得P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)??例12解

設(shè)A，B是兩事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.問（1）在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？11802

概率的運(yùn)算性質(zhì)（1）由0≤P(AB)≤P(A)知，當(dāng)AB=A，即A∩B時(shí)，P(AB)取到最大值，最大值為P(AB)=P(A)=0.6，（2）當(dāng)A∪B=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為

P(AB)=0.6+0.7－1=0.3.11902

概率的運(yùn)算性質(zhì)??例13(1)只訂A報(bào)的；(2)只訂A與B報(bào)的；(3)只訂一種報(bào)的；

某城市有A,B,C三種報(bào)紙.在居民中,訂A報(bào)的占45%,訂B報(bào)的占35%,訂C報(bào)的占30%,同時(shí)訂A與B報(bào)的占10%,同時(shí)訂A與C報(bào)的占8%,同時(shí)訂B與C報(bào)的占5%,同時(shí)訂A,B與C報(bào)的占3%,求下列概率：

12002

概率的運(yùn)算性質(zhì)(4)恰好訂兩種報(bào)的；(5)至少訂一種報(bào)的；(6)不定任何報(bào)的。

第3講概率的公理化定義與運(yùn)算性質(zhì)121到目前為止，我們學(xué)習(xí)了樣本空間、隨機(jī)事件等概念，給出了概率的公理化定義及概率的性質(zhì)，知識(shí)我們就可以求一般的隨機(jī)事件的概率。下一講我們將學(xué)習(xí)一種新的概率——條件概率.家多做練習(xí)，熟練掌握.利用這些希望大學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第4講條件概率與乘法公式第1章隨機(jī)事件與概率01條件概率02乘法公式本講內(nèi)容在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在某些附加條件世界萬物都是互相聯(lián)系、互相影響的，隨機(jī)事件也P(B|A)=?125條件概率01

條件概率不例外.下交通事故發(fā)生的可能性明顯比天氣狀況優(yōu)良情況下要著一定程度的相互影響．大得多．在同一個(gè)試驗(yàn)中的不同事件之間，通常會(huì)存在例如，在天氣狀況惡劣的情況下求事件的概率.的概率，將此概率記作P(B|A).P(B).如在事件A發(fā)生的條件下求事件B發(fā)生在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.求P(B)

,P(B|A).??例1126解由前例可知無論有放回抽樣和無放回抽樣都有（1）有放回抽樣（2）無放回抽樣獨(dú)立性如何定義？01

條件概率12701

條件概率.設(shè)A、B為兩事件,P(A)>0,則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.稱為在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.同理128??定義01

條件概率

條件概率也是概率,故概率的重要性質(zhì)都適用于條件概率.例如：

129??性質(zhì)01

條件概率

在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.??例1

2)可用縮減樣本空間法1)用定義計(jì)算:P(A)>0A發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中B所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無放回抽樣130??計(jì)算01

條件概率

.

設(shè)某種集成電路使用到2000h還能正常工作的概率為0.92,使用到3000h仍能正常工作的概率為0.85,問已經(jīng)工作了2000h的集成電路，能繼續(xù)工作到3000h的概率是多少？??例2131解設(shè)A表示“集成電路能用到2000h”，B表示“集成電路能用到3000h”，依題意，P(A)=所求概率為P(B|A).01

條件概率0.92,0.85.P(B)=設(shè)A，B，C是隨機(jī)事件，A與C互不相容，則132利用事件的關(guān)系及概率性質(zhì)公式求條件概率??例301

條件概率.

有某品牌的手機(jī)100部，其中98部續(xù)航時(shí)間合格，95部待機(jī)時(shí)間合格，92件續(xù)航時(shí)間和待機(jī)時(shí)間都合格，從中任取一部手機(jī)，已知該手機(jī)續(xù)航時(shí)間合格，求其待機(jī)時(shí)間也合格的概率.??例4133解

設(shè)A表示“續(xù)航時(shí)間合格”，B表示“待機(jī)時(shí)間合格”，則通過縮減樣本空間，有01

條件概率換??例513401

條件概率

某網(wǎng)站有三個(gè)熱門頻道：“娛樂”（記為A）、“數(shù)碼”（記為B）、“汽車”（記為C），通過對(duì)訪問者的閱讀習(xí)慣進(jìn)行調(diào)查，有如下結(jié)果：

試求改135解01

條件概率由條件概率的定義：若已知P(A),P(B|A)時(shí),可以反過來求P(AB).136??注乘法公式.01

條件概率01條件概率02乘法公式本講內(nèi)容138乘法公式推廣02

乘法公式

盒中裝有100個(gè)產(chǎn)品,其中3個(gè)次品，從中不放回地取產(chǎn)品,每次1個(gè),求（1）取兩次，兩次都取得正品的概率;（2）取三次，第三次才取得正品的概率.??例6139解令A(yù)i為第i次取到正品02

乘法公式

（波利亞罐子——傳染病模型）一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.14002

乘法公式隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白

球且第三、四次取到紅球的概率.回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出

的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)??例7

乘法公式應(yīng)用b個(gè)白球,r個(gè)紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球.”設(shè)Wi=Rj==P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)141解02

乘法公式1,2,3,4{第i次取出是白球}，i=j={第j次取出是紅球}，1,2,3,4.

對(duì)某通信及網(wǎng)絡(luò)服務(wù)運(yùn)營商的客戶數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果表明：有8%的客戶辦理了該運(yùn)營商的寬帶業(yè)務(wù)，在這些寬帶用戶中，有39%選擇了百兆寬帶業(yè)務(wù)，有30%選擇了千兆寬帶業(yè)務(wù).假設(shè)在所有客戶中隨機(jī)抽取一人，問：該客戶選擇百兆寬帶業(yè)務(wù)的概率是多少？該客戶選擇千兆寬帶業(yè)務(wù)的概率是多少？??例8142解02

乘法公式設(shè)A=“辦理寬帶業(yè)務(wù)”，B=“選擇百兆寬帶”，C=“選擇千兆寬帶”，由題意，14302

乘法公式由乘法公式，該客戶選擇百兆寬帶業(yè)務(wù)的概率是該客戶選擇千兆寬帶業(yè)務(wù)的概率是14402

乘法公式某人忘記了自己銀行卡密碼的最后一位數(shù)字，因而他隨機(jī)按號(hào),求他按號(hào)不超過三次而選正確的概率.??

記H表示按號(hào)不超過三次而能按對(duì)，Ai表示第i次按號(hào)能按對(duì)。

??例9解14502

乘法公式??例10解

由

知

又

即

將(?)式代入得

14602

乘法公式

??例11解法一

14702

乘法公式解法二

學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第5講全概率公式與貝葉斯公式第1章隨機(jī)事件與概率150全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式,乘法公式以及條件概率的綜合運(yùn)用.第5講

全概率公式與貝葉斯公式151全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0.第5講

全概率公式與貝葉斯公式152設(shè)甲、乙、丙三個(gè)廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總數(shù)的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%，從這批產(chǎn)品中任取一件，求它是次品的概率.??例1解分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)第5講

全概率公式與貝葉斯公式完備事件組153全概率公式兩兩互斥第5講

全概率公式與貝葉斯公式B表示產(chǎn)品為次品01全概率公式02貝葉斯公式本講內(nèi)容稱滿足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組.155全概率公式設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,則對(duì)任一事件B，有01

全概率公式加法公式乘法公式B156證明兩兩互不相容，得也兩兩互不相容；

01

全概率公式某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是：每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(BAi)=157??全概率公式的關(guān)鍵數(shù)學(xué)模型完備事件組P(Ai)P(B|Ai).01

全概率公式

已知某地區(qū)加油站的客戶中，40%使用92號(hào)汽油，35%使用95號(hào)汽油，25%使用98號(hào)汽油.加油時(shí)，使用92號(hào)汽油的客戶中有30%要加滿油箱，使用95號(hào)汽油的客戶中，有60%要加滿油箱，而使用98號(hào)汽油的客戶中，有50%要加滿油箱.現(xiàn)隨機(jī)選擇一位客戶，求該客戶加滿油箱的概率.??例2158解01

全概率公式15901

全概率公式由題意可知，由全概率公式，該客戶加滿油箱的概率為??例3160解設(shè)事件X、

Y分別表示機(jī)床加工零件A與B，Z表示機(jī)床停機(jī)，由題設(shè)知由全概率公式，得01

全概率公式一個(gè)機(jī)床有的時(shí)間加工零件A，其余時(shí)間加工零件B.加工零件A時(shí)，停機(jī)的概率是0.3，加工零件B時(shí)，停機(jī)的概率是0.4，求這個(gè)機(jī)床停機(jī)的概率.從而這個(gè)機(jī)床停機(jī)的概率為01全概率公式02貝葉斯公式本講內(nèi)容甲、乙、丙三個(gè)廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總數(shù)的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%，隨機(jī)地從中任取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，問它來自哪個(gè)廠的可能性大？??例4162解實(shí)際中還有另一類問題：已知結(jié)果求原因乙廠生產(chǎn)的可能性最大貝葉斯公式01

全概率公式

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.設(shè)A1,A2,…,An是完備事件組，則對(duì)任一事件B，有163貝葉斯公式02

貝葉斯公式貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果發(fā)生的最可能原因.——后驗(yàn)概率在B已經(jīng)發(fā)生的前提下，再對(duì)導(dǎo)致B發(fā)生的原因的可能性大小重新加以修正.P(Ai)——先驗(yàn)概率16402

貝葉斯公式它是由以往的經(jīng)驗(yàn)得到的，是事件

B的原因.

（醫(yī)學(xué)模型——稀有病癥的診斷率問題）甲胎蛋白（AFP）免疫檢測(cè)法被普遍用于肝病的早期診斷和普查.已知肝病患者經(jīng)AFP檢測(cè)呈陽性的概率為95%，而非肝病患者經(jīng)AFP檢測(cè)呈陽性（誤診）的概率為2%.設(shè)人群中肝病的發(fā)病率為0.04%，現(xiàn)有一人經(jīng)AFP檢測(cè)呈陽性，求此人確實(shí)患肝病的概率.??例5165解記A={肝病患者}，{經(jīng)AFP檢測(cè)呈陽性},B=02

貝葉斯公式由貝葉斯公式

經(jīng)AFP檢測(cè)顯陽性的人，真患有肝病的人不到2%.可見，對(duì)于稀有病癥，一次檢測(cè)的結(jié)果不必過于擔(dān)心.16602

貝葉斯公式

（例2續(xù)）現(xiàn)隨機(jī)選擇一位客戶，如果該客戶加滿了油箱，他使用92號(hào)汽油的概率.??例6167解由題意可知，所求概率為02

貝葉斯公式在例2中已經(jīng)計(jì)算出故由貝葉斯公式，換某機(jī)器由A、B、C三類元件構(gòu)成,其所占比例分別為0.1,0.4,0.5,且其發(fā)生故障的概率分別為0.7,0.1,0.2.現(xiàn)機(jī)器發(fā)生了故障,問應(yīng)從哪類元件開始檢查？??例7168解設(shè)D表示“機(jī)器發(fā)生故障”，A表示“元件是A類”，B表示“元件是B類”，C表示“元件是C類”，由全概率公式02

貝葉斯公式169由貝葉斯公式故應(yīng)從C元件開始檢查.同理02

貝葉斯公式設(shè)有甲乙兩袋，甲袋中裝有N個(gè)白球，M個(gè)黑球；乙袋中裝有n個(gè)白球，m個(gè)黑球，今從甲袋中任取一個(gè)球放入乙袋中，再從乙袋中任取一個(gè)球，問取到白球的概率是多少?17002

貝葉斯公式??例8解全概率公式

從數(shù)1，2，3，4中任取一個(gè)數(shù),記為X,再從1,?,X中任取一個(gè)數(shù),記為Y,則P{Y=2}=____17102

貝葉斯公式??例9解由全概率公式:

17202

貝葉斯公式故

17302

貝葉斯公式??例10解

17402

貝葉斯公式貝葉斯公式

盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新的，第一次比賽時(shí)從盒中任取3個(gè),用后仍放回盒中，第二次比賽時(shí)再從盒中任取3個(gè)，求第二次取出的都是新球的概率.?若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率.17502

貝葉斯公式??例11解設(shè)B表示第二次比賽取到3只新球表示第1次比賽取到i只新球

根據(jù)對(duì)某地快遞行業(yè)的調(diào)研，該地區(qū)95%的快遞公司為優(yōu)質(zhì)快遞公司，當(dāng)商家選擇這些優(yōu)質(zhì)快遞公司時(shí),其貨物的按時(shí)送達(dá)率為98%,而當(dāng)商家選擇其他快遞公司時(shí),其貨物的按時(shí)送達(dá)率為55%.假設(shè)有一批貨物，已知其按時(shí)送達(dá)，求商家選擇的是優(yōu)質(zhì)快遞公司的概率.??例1217602貝葉斯公式解A1=“選擇的是優(yōu)質(zhì)快遞公司”，A2=“選擇的是其他快遞公司”，B=“貨物按時(shí)送達(dá)”，由題意，17702貝葉斯公式由貝葉斯公式，得即商家選擇的是優(yōu)質(zhì)快遞公司的概率為97%.第5講

全概率公式與貝葉斯公式178這一講我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)重要的公式——全概率公式與貝葉斯公式.大家需要牢記，并會(huì)熟練運(yùn)用.在概率的計(jì)算中，經(jīng)常用到這兩個(gè)公式，

知識(shí)點(diǎn)解讀——全概率公式與貝葉斯公式學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第6講事件的獨(dú)立性第1章隨機(jī)事件與概率01兩事件的獨(dú)立性02

有限個(gè)事件的獨(dú)立性03系統(tǒng)的可靠性問題本講內(nèi)容在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)有放回抽樣前面我們介紹了條件概率，一般來說，P(B|A)≠P(B)，182??例1但也有例外.品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.兩事件的獨(dú)立性01

事件的獨(dú)立性的定義設(shè)A,B為兩事件，若則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.

等價(jià)于因此，我們有如下的定義.183這就是說，已知事件A發(fā)生，并不影響事件B發(fā)生的概率，這時(shí)稱事件A、B相互獨(dú)立.根據(jù)乘法公式??定義01

事件的獨(dú)立性的定義184獨(dú)立01

事件的獨(dú)立性的定義證明若，試證：事件A與B相互獨(dú)立.??例2185??性質(zhì)（1）若P(A)>0,??P(B)>0,??則也相互獨(dú)立.（2）若A與B相互獨(dú)立，則與B,?A

與證明事件A與B

相互獨(dú)立，有P(AB)=P(A)P(B).僅證事件與B相互獨(dú)立，其他可類似證明.由于所以因而，事件與B

相互獨(dú)立.01

事件的獨(dú)立性的定義請(qǐng)問：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？

即A,B不獨(dú)立.若A,B互斥，反之，若A,B獨(dú)立，??特別注意相互獨(dú)立≠互不相容“A,B相互獨(dú)立”和“A,B互不相容”不能同時(shí)成立.186若P(A)>0,P(B)>0，可以證明：即A,B相容.01

事件的獨(dú)立性的定義在實(shí)際應(yīng)用中，往往根據(jù)實(shí)際意義去判斷是否獨(dú)立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立.甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記A={甲命中}，

B={乙命中}，A與B是否獨(dú)立？一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率.187??例301

事件的獨(dú)立性的定義一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)Ai={第i件是合格品}(i=1,2).??例4188解若抽取是有放回的,則A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響.01

事件的獨(dú)立性的定義設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，A與C相互獨(dú)立，且??例5189解01

事件的獨(dú)立性的定義.

某公司生產(chǎn)洗衣機(jī)和烘干機(jī)，已知該公司生產(chǎn)的洗衣機(jī)有30%在保修期內(nèi)需要保修服務(wù)，而該公司生產(chǎn)的烘干機(jī)只有10%需要保修服務(wù)。如果有人同時(shí)購買了該品牌的洗衣機(jī)和烘干機(jī)，問：在保修期內(nèi)這兩臺(tái)機(jī)器都需要保修服務(wù)的可能性有多大？這兩臺(tái)機(jī)器都不需要服務(wù)的可能性有多大？190??例6解設(shè)A表示事件“洗衣機(jī)在保修期內(nèi)需要服務(wù)”，B表示事件“烘干機(jī)在保修期內(nèi)需要服務(wù)”，則01

事件的獨(dú)立性的定義

某公司生產(chǎn)洗衣機(jī)和烘干機(jī)，已知該公司生產(chǎn)的洗衣機(jī)有30%在保修期內(nèi)需要保修服務(wù)，而該公司生產(chǎn)的烘干機(jī)只有10%需要保修服務(wù)。如果有人同時(shí)購買了該品牌的洗衣機(jī)和烘干機(jī)，問：在保修期內(nèi)這兩臺(tái)機(jī)器都需要保修服務(wù)的可能性有多大？這兩臺(tái)機(jī)器都不需要服務(wù)的可能性有多大？191??例6通常這兩臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立工作，即A和B是相互獨(dú)立的，則所求概率分別為01

事件的獨(dú)立性的定義??例7

對(duì)于任意兩事件A和B有()192解01

事件的獨(dú)立性的定義A.若，則A,B一定獨(dú)立；B.若，則A,B有可能獨(dú)立；C.若，則A,B一定獨(dú)立；D.若，則A,B一定不獨(dú)立.若滿足的兩事件不一定滿足