東莞市2021－2022學年度第一學期期末教學質量檢查數(shù)學試題和參考答案

2021-2022學年度第一學期教學質量檢查高三數(shù)學一、單項選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑.1.設集合A={x|0≤x≤4}，B={x|x2-2x-3≤0}，則ANB=A.{x|0≤x≤3}+B.{x|-1≤x≤4}C.{x|-1≤x≤3}D.{x|0≤x≤1}2.(x+1)2+(x+1)’+(x+1)‘的展開式中x項的系數(shù)是A.9B.10C.11D.123.已知函數(shù)f(x)=sinx，g(x)=e'+e*，則下列結論正確的是A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)4.若a∈(0,/)，2tana=，則tana=cos2aA./2B.1C.2-√3D.√35.甲乙兩人在數(shù)獨APP上進行“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時解一道題，先解出題的人贏得一局，假設無平局，且每局甲乙兩人贏的概率相同，先贏3局者獲勝，則甲獲勝且比賽恰進行了4局的概率是BD./1C.6.“中國天眼”(如圖1)是世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠鏡，其形狀可近似地看成一個球冠(球冠是球面被平面所截的一部分，如圖2所示，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的線段叫做球冠的高，若球面的半徑是R，球冠的高度是h，則球冠的面積S=2πRh).已知天眼的球冠的底的半徑約為250米，天眼的反射面總面積(球冠面積)約為25萬平方米，則天眼的球冠高度約為(參考數(shù)值，--1≈0.52)圖1圖2A.52米B.104米C.130米D.156米7.已知直線/過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點，且與該拋物線交于M,N兩點.若線段MN的長為16，MN的中點到y(tǒng)軸距離為6，則AMON(0為坐標原點)的面積是A.8√3B.8√2C.6√2D.68、已知0為坐標原點，點P為函數(shù)y=cosx圖象上一動點，當點P的橫坐標分別為告告告時，對應的點分別為P,P,P，則下列選項正確的是A.|OP|>|OP|>|OP|B.|OP|>|OP,|>|OP|C.|OP|>\OP,|>|OP|D.|OP,|>|OP|>|OP|高三數(shù)學第1頁(共4頁)數(shù)學鎮(zhèn)數(shù)學村二、多項選擇題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分，請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑.9.已知復數(shù)z,z,ら3，云是z的共軛復數(shù)，則下列結論正確的是A.若z+z?=0，則|z|=|=|B.若z?=云，則|z|=|z?|C.若z?=z,?2，則|2|=|=,||2=|D.若|+1|=|2?+1|，則|z|=|z2|10.已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx,若f(0)=√3且對任意x∈R都有f(x)≤f(/號)則下列結論正確的是A.f(x)=2v3cs(x+/)B.f(x)=2√3sin(x+/)c.f(x)的圖象向左平移個單位后，圖象關于原點對稱D.f(x)的圖象向右平移，個單位后，圖象關于y軸對稱11.氣象意義上從春季進入夏季的標志為“當且僅當連續(xù)5天每天日平均溫度不低于22℃”.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天日平均溫度的記錄數(shù)據(數(shù)據均為正整數(shù)，單位C)且滿足以下條件:甲地:5個數(shù)據的中位數(shù)是24，眾數(shù)是22;乙地:5個數(shù)據的中位數(shù)是27，平均數(shù)是24;丙地:5個數(shù)據有1個是30，平均數(shù)是24，方差是9.6;根據以上數(shù)據，下列統(tǒng)計結論正正確的是A，甲地進入了夏季B.乙地進入了夏季C.不能確定丙地進入了夏季D.恰有2地確定進入了夏季[9x2-12x+4x≤112.已知函數(shù)(x)=÷f(x-1)x>1，則下列結論正確的是A.f(n)=4'-",neN"B.3x∈(0,+∞),f(x)>-C.關于x的方程f(x)=4'"(neN’)的所有根之和為㎡+”D.關于x的方程f(x)=4'"(neN')的所有根之積小于(n!)三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡的相應位置上.13.已知F為雙曲線c:=1的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為91614.已知一個圓錐的底面半徑為3，其側面積為15π，則該圓錐的體積為_15.桌面上有一張邊長為2的正三角形的卡紙，設三個頂點分別為A，B，C，將卡紙繞頂點C順時針旋轉，得到A、B的旋轉點分別為4、B，則A·BB=.高三數(shù)學第2頁(共4頁)16.龍曲線是由一條單位線段開始，按下面的規(guī)則畫成的圖形:將前一代的每一條折線段都作為這一代的等腰直角三角形的斜邊，依次畫出所有直角三角形的兩段，使得所畫的相鄰兩線段永遠垂直(即所畫的直角三角形在前一代曲線的左右兩邊交替出現(xiàn))，例如第一代龍曲線(圖3)是以AA為斜邊畫出等腰直角三角形的直角邊AA，A,A,所得的折線圖，圖4、圖5依次為第二代、第三代龍曲線(虛線即為前一代龍曲線)，A，A，A為第一代龍曲線的頂點，設第n代龍曲線的頂點數(shù)為a，由圖可知a=3，a,=5，a,=9,則a=___;數(shù)列2”a,an+i的前n項和s?=__.A3A4A3AsA3AA2A1AA5A9圖3圖4圖5四、解答題:本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應題號指定的區(qū)域內，超出指定區(qū)域的答案無效.17.(本小題滿分10分)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a2=bcosC+ccosB.(1)求a;(2)若A=/，△ABC的面積為/，求△ABC的周長.18.(本小題滿分12分)設等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，且a,=17，S」=2az+22.(1)求數(shù)列{a?}的通項公式;(2)在任意相鄰兩項a和a+(k=1,2,3,...)之間插入2“個1，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列{?}，求數(shù)列{b?}的前200項的和T200.19.(本小題滿分12分)如圖6，在正四棱錐S-ABCD中，點O，E分別是BD,BC中點，點F是SE上的一點.(1)證明:OF1BC;(2)若四棱錐S-ABCD的所有棱長為2√2，求直線OF與平面SDE所成角的正弦值的最大值.DCEB圖6高三數(shù)學第3頁(共4頁)數(shù)學鎮(zhèn)數(shù)學村20.(本小題滿分12分)已知某次比賽的乒乓球團體賽采用五場三勝制，第一場為雙打，后面的四場為單打.團體賽在比賽之前抽簽確定主客隊.主隊三名選手的一單、二單、三單分別為選手A、B、C，客隊三名選手的一單、二單、三單分別為選手X、Y、Z、比賽規(guī)則如下:第一場為雙打(YZ對陣BC)、第二場為單打(X對陣A)、第三場為單打(Z對陣C)、第四場為單打(Y對陣A)、第五場為單打(X對陣B)。已知雙打比賽中YZ獲勝的概率是一，，單打比賽中X、Y、Z分別對陣A、B、C時，X、Y、Z獲勝的概率如下表:選手ABC選手2-31-21-31-31-22-3Y1-42-31-2(1)求主、客隊分出勝負時恰進行了3場比賽的概率;(2)客隊輸?shù)綦p打比賽后，能否通過臨時調整選手Y為三單、選手z為二單使得客隊團體賽獲勝的概率增大?請說明理由.21.(本小題滿分12分)已知點4為橢圓C:/+2=1(a>b>0)的左頂點，點F(1,0)為右焦點，直線1:x=4與x軸的交點為N，且|AF|=\FN|，點M為橢圓上異于點A的任意一點，直線AM交/于點P.(1)求橢圓C的標準方程;(2)證明:∠MFN=2ZPFN.22.(本小題滿分12分)已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)=log?x+-ax2.(1)若a=e，求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.高三數(shù)學第4頁(共4頁)2021-2022學年度第一學期教學質量檢查高三數(shù)學參考答案單項選擇題題號1234568答案ABCBDCBD二、多項選擇題(全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)題號9101112答案ABCBDACACD三、填空題(16題第一空2分，第二空3分)13.414.12π15.4+2√316.17;32+1四、解答題17.解:(1)方法一:因為a2=bcosC+ccosB，由正弦定理a0sinAsinBsinC'得asinA=sinBcosC+sinCcosB，…………….………………...2分即asinA=sin(B+C)，…………--3分由B+C=π-A，得asinA=sin(B+C)=sinA，…………4分因為sinA>0，所以a=1....…5分方法二:因為a=bcosC+ccosB，由余弦定理得a2=ba2+b2-è+a2+2-b2,-.2分2ab2ac化簡得2a’=a2+b2-c2+a2+c2-b2，即a=a2，…-.-----4分因為a≠0，則a=1...-5分(2)-=.…………6分解得bc=1，…7分由a2=b2+c2-2bccosA,即a2=b2+c-bc，即b+c=2，……………8分由(b+c)2=b2+c2+2bc=4，得b+c=2，………9分故a+b+c=3，所以AABC的周長為3.………-10分18.解:(1)設等差數(shù)列{a?}的公差為d，a3=17a,+4d=17由題得[4a,+4d=2(a,+d)+22’{s」=2a?+22’即…..+.++++..+....++++++*.…++++-+-2分∫a,+4d=17整理得{a,+2d=11'.....….3分解得9=5[d=3'……………4分所以a?=3n+2..……-…5分數(shù)學鎮(zhèn)數(shù)學村(2)方法一:由題意可知，{b?’的各項為9,LLa,,1LLa,11,1,,…a叢!……即5,1,1,8,1,1,1,1,11,1,1,11,11,11..3k+2,11...k+*...……….因為2+22+23+2*+25+26+7=133<200，且2+22+2’+2*+25+26+27+7=261>200,-----..….---------------8分所以a,a2,az,a,as,a,a,會出現(xiàn)在數(shù)列的前200項中，所以a,前面(包括a,)共有126+7=133項，所以a,后面(不包括a,)還有67個1,……10分所以T∞=(5+8+11+14+17+20+23)+(2+22+23+24+25+26)+67=291.…12分方法二:在數(shù)列{b?}中，a前面(包括a共有2+22+23+2*+.2*-+k=2*+k-2項,.......-6分令2*+k-2≤200(k=1,2,…)，則k≤7，……...…8分所以a,a2,az,a,a,a,a,會出現(xiàn)在數(shù)列{b?}的前200項中，所以a前面(包括a,)共有126+7=133項，所以a,后面(不包括a)還有67個1，…10分所以T2∞=(5+8+11+14+17+20+23)+(2+22+2’+24+23+20+67=291.-…12分19.解:(1)如圖，連接SO和OE，因為S-ABCD是正四棱錐，所以SO1平面ABCD，又因為BCc平面ABCD，所以SO⊥BC①….………….……1分因為ABCD是正方形，所以DCLBC，又因為點O，E分別是BD,BC中點，所以OE//DC，所以OE⊥BC②…3分又因為OE∩SO=0，OE、SOC平面SOE，所以BC工平面SOE.…….….……4分因為OFC平面SOE，所以OF⊥BC:…..............5分(2)易知OB,OC,OS兩兩相互垂直，如圖，以點0為原點，OB，OC，OS為x，y，z軸建立空間直角坐標系，DBX因為四棱錐S-ABCD的所有棱長為2√2，所以BD=4，SO=2，所以0(0,0,0)，S(0,0,2)，D(-2,0,0)，E(1,1,0)，…...............…..….…………6分設SF=λSE(0<λ<1)，得F(λ,λ,2-2λ)，則SD=(-2,0,-2)，死=(3,1,0)，F(xiàn)=(λ,λ,2-2a)…………….-…7分設平面SDE的法向量為n=(x,y,z)，則[n.SD=-2x-2z=0Jz=-xn.DE=3x+y=0，解得{y=-3x，取x=1，得n=(1,-3,-)…………分設直線OF與平面SDE所成角為0，則sinθ=|cos<π,℉>|=_|λ-3λ-2+2λ|√√+22+(2-2a)22(0<λ<1)，…√1.√6λ2-8λ+411分當=---1時，62-82+4取得最小號，此時sin日取得最大值12分20.解:(1)設“主、客隊分出勝負時恰進行了3場比賽”事件為事件A，則事件A包含“主隊3場全勝”和“客隊3場全勝”兩類事件，.--1分“主隊3場全勝”的概率為(1)(1/)(1/1)-言...……….………2分“客隊3場全勝”的概率為*/1,3分所以P(A)=+1-s81224所以主、客隊分出勝負時恰進行了3場比賽的概率為/4.….…..….……4分(2)能，理由如下:設“剩余四場比賽未調整Y、Z出場順序，客隊獲勝”為事件M，第二場單打(X對陣A)、第三場單打(Z對陣C)、第四場單打(Y對陣A)、第五場單打(X對陣B)的勝負情況分別為:勝勝勝、勝負勝勝、勝勝負勝、負勝勝勝:….............5分則P(M)=/3x/x3+/x1x3+/x/+33x1---7分設“剩余四場比賽調整Y、Z出場順序，客隊獲勝”為事件N，第二場單打(X對陣A)、第三場單打(Y對陣C)、第四場單打(Z對陣A)、第五場單打(X對陣B)的勝負情況分別為:勝勝勝、勝負勝勝、勝勝負勝、負勝勝勝;...8分則P()=/x/x++*++/4x1-2-/3..……0分因為P(M)<P(N)，………..…..…………-…11分所以客隊調整選手Y為三單、選手Z為二單獲勝的概率更大.…………12分21.解:(1)由題知|AF|=|FN|，得a+c=4-c，….…………1分又因為右焦點為F(1,0)，則c=1,解得a=2，………...……2分所以b=√2-α=√3，....…........++++…3分所以橢圓C的方程+=1.…...4分(2)設點M的坐標為(x,%)，則k=x2所以直線AM的方程是=?(+2)，-5分當x=4時，’=x+2'6y所以點P的坐標為(4.)………6分所以unPN?-，=---分2.2y02tan∠PFNx0+2_4(x。+2)y所以tan2∠PFN=.…..8分1-tan’∠PFN1-(x+2)-4因為點M(x3)在÷+上,+/=14=123x*---所以tan2∠PFN=_4(x。+2)y_4(+2)y。(x+2)2-4y(x。+2)-(12-3x。2)4(x。+2)y。_(x。+2)%__y=M………………4x2+4x。-8ˉ(x。-1)(x+2)x-1又因為ZPFN和∠MFN是銳角，所以∠MFN=2∠PFN.……