高中數(shù)學(xué)第九章統(tǒng)計9.2用樣本估計總體（1）教案新人教A版必修第二冊

9.2.3總體集中趨勢的估計本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修二（人教A版）第九章《9.2.3總體集中趨勢的估計》，本節(jié)課通過對反映樣本數(shù)據(jù)集中趨勢量；平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的回顧，進(jìn)一步學(xué)習(xí)在頻率分布直方圖中對三個量的算法，同時加深對它們的理解和應(yīng)用。進(jìn)一步體會用樣本估計總體的思想與方法。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù))．B.會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．C.理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.1.數(shù)學(xué)建模：在具體情境中運用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)2.邏輯推理：運用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)進(jìn)行判斷3.數(shù)學(xué)運算：計算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)4.數(shù)據(jù)分析：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的含義1.教學(xué)重點：會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．2.教學(xué)難點：理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、溫故知新1、定義:一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.2、計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟:第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算i=n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).3、根據(jù)頻率分布直方圖（頻率分布表）計算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)：首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計算，其次估計百分位數(shù)在哪一組，再應(yīng)用方程的思想方法，設(shè)出百分位數(shù)，解方程可得．眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）．做一做1．判斷下列說法是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)改變一組數(shù)據(jù)中的一個數(shù)，則這些數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定會改變．()(2)改變一組數(shù)據(jù)中的一個數(shù)，則其中位數(shù)也一定會改變．()(3)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形中點的橫坐標(biāo)．()√;√;×2、求下列各組數(shù)據(jù)的眾數(shù)（1）、1，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9眾數(shù)是：3和8（2）、1，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9眾數(shù)是：33、求下列各組數(shù)據(jù)的中位數(shù)（1）、1，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9中位數(shù)是：5（2）1，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9中位數(shù)是：44.在一次中學(xué)生田徑運動會上，參加男子跳高的17名運動員的成績?nèi)缦卤硭荆撼煽?米)1．501．601．651．701．751．801．851．90人數(shù)23234111分別求這些運動員成績的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)。解：在17個數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75．上面表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；答：17名運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）。這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是二、探究新知為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計總體的分布規(guī)律，但有時候，我們可能不太關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征，例如，對于某縣今年小麥的收成情況，我們可能會更關(guān)注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量，而不是產(chǎn)量的分布；對于一個國家國民的身高情況，我們可能會更關(guān)注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等.在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。下面我們通過具體實例進(jìn)一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢估計總體的集中趨勢.例1.利用下表中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).7.128.010.213.817.910.1所以估計全市居民用戶的月均用水量約為8.79t，其中位數(shù)約為6.6t.跟蹤練習(xí)1.小明用統(tǒng)計軟件計算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)，但在錄入數(shù)據(jù)不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù).思考:并與真實的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較。哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？平均數(shù)由原來的8.79t變?yōu)?.483t,中位數(shù)沒有變化.這是因為樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變會引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值,并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變,因此,與中位數(shù)較,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息,對樣本中的極端值更加敏感.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖的三種頻率分布直方圖形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？例2.某學(xué)校要定制高一年級的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格，據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示，校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和數(shù)中，哪個量比較合適？試討論用上表中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性.分析：雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表示的，但它們事實上是幾種不同的類別，對于這樣的分類數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合適.解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)（下圖)可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適.由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學(xué)校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點缺點平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值不敏感探究:樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)，例如，我們在報紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖，這時該如何估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？在頻率分布直方圖中，損失了大量的原始數(shù)據(jù)，只知道分組和每組的頻率，我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時，通常假設(shè)它們在組內(nèi)均勻分布，這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進(jìn)而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).你能以下圖居民用水的頻率分布直方圖提供的信息，估計出樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)嗎?因為樣本平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.如圖所示，可以測出圖中每個小矩形的高度，于是平均數(shù)的近似值為根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等這個結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得的中位數(shù)6.6相差不大.由于0.077×3=0.231,(0.077+0.107)×3=0.552.因此中位數(shù)落在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi).設(shè)中位數(shù)為x,由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5得到x≈6.71.因此，中位數(shù)約為6.71,如圖所示.在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點5.7作為眾數(shù)的估計值，如圖所示，眾數(shù)常用在描述分類型數(shù)據(jù)中，在這個實際問題中，眾數(shù)“5.7”讓我們知道月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)的居民用戶最多，這個信息具有實際意義。在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時，通常假設(shè)它們在組內(nèi)均勻分布，這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進(jìn)而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).跟蹤訓(xùn)練x，由于前三個矩形面積之和為0.35，第四個矩形面積為0.3,0.35＋0.3>0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.3+0.03(x－70)=0.5，所以x=75.2.某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)(3)求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)．(2)設(shè)中位數(shù)為x，由圖知前三個矩形面積之和為0.4，0.3＋0.4>0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)得:0.4+0.03(x－70)=0.5，所以x≈73.3.解:由題干圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為：eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq\f(70＋80,2)×0.03×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72.（4）若例3條件不變，求80分以下的學(xué)生人數(shù)．[40,80)分的頻率為：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，所以80分以下的學(xué)生人數(shù)為80×0.7＝56.由回顧知識出發(fā)，提出問題，讓學(xué)生感受到對反映樣本數(shù)字集中趨勢量；平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)學(xué)習(xí)的重要性。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過具體問題，讓學(xué)生感受反映樣本數(shù)字集中趨勢量；平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)學(xué)習(xí)解決實際問題中的運用，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過實例分析，讓學(xué)生掌握反映樣本數(shù)字集中趨勢量；平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算方法，并熟悉的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計該市2019年全年空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和第80百分位(注：已知該市屬于“嚴(yán)重污染”等級的空氣質(zhì)量指數(shù)不超過400)2.某工廠人員及工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學(xué)徒合計日工資2200250220200100人數(shù)16510123合計22001500110020001006900（1）指出這個問題中日工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（2）這個問題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？分析：眾數(shù)為200，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300。因平均數(shù)為300，由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實地反映該工廠的工資水平。利用樣本數(shù)字特征進(jìn)行決策時的兩個關(guān)注點(1)平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受幾個極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點，無法客觀反映總體特征．(2)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值．3.某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；(3)求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分．解析:(1)由圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75.(2)由圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.(3)由圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均分為：eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq\f(70＋80,2)×0.03×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的意義1.平均數(shù)：平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù),特征:平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個數(shù)均有關(guān)系，其中任何數(shù)據(jù)的變動都會相應(yīng)引起平均數(shù)的變動。2.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)排列，中間的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。如果是奇數(shù)個數(shù)據(jù)，中間的數(shù)就為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果是偶數(shù)個數(shù)據(jù)，中間兩個數(shù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù),特征:中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列有關(guān)，部分?jǐn)?shù)據(jù)的變動對中位數(shù)可能沒有影響。3.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出