專題41二項(xiàng)分布與超幾何分布正態(tài)分布（原卷版）

專題41二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布№專題41二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題41二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布命題解讀命題預(yù)測(cè)復(fù)習(xí)建議二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布是高考出題的知識(shí)點(diǎn)之一，其中二項(xiàng)分布和超幾何分布是離散型隨機(jī)變量分布列，正態(tài)分布是連續(xù)型隨機(jī)變量分布列，主要考查對(duì)分布列的認(rèn)識(shí)和理解，在選擇、填空中主要考正態(tài)分布，解答題中二項(xiàng)分布和超幾何分布的比較多一些。預(yù)計(jì)2024年的高考對(duì)于二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布的出題比較靈活，難于掌握出題方向，重點(diǎn)還是要掌握基礎(chǔ)知識(shí)。集合復(fù)習(xí)策略：1.掌握二項(xiàng)分布和超幾何分布；2.了解正態(tài)分布的含義及其均值、方差?！?考點(diǎn)精析←一、二項(xiàng)分布與超幾何分布1.二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~B(n，p)，并稱p為成功概率在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，2.超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X=k}發(fā)生的概率P(X=k)=CMkCN-X01…mPCC…C其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.二、正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈(-∞，+∞)，其中實(shí)數(shù)μ(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交;

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱;

③曲線在x=μ處達(dá)到峰值1σ④曲線與x軸之間的面積為1;

⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖10-58-1①所示;

⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中;σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.(如圖10-58-1②所示)

①②圖10-58-1(3)正態(tài)分布的定義及表示一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)=abφμ，σ(x)dx，正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)：P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827;

P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545;

P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.

→?真題精講←1.（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，經(jīng)計(jì)算，．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為______．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到0.1%）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．2．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）某工廠一臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：），經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到下面的頻率分布直方圖：(1)由頻率分布直方圖估計(jì)抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)和方差．（用每組的中點(diǎn)代表該組的均值）(2)已知這臺(tái)設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布，用直方圖的平均數(shù)估計(jì)值作為的估計(jì)值，用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值s作為估計(jì)值．（i）為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過(guò)程，每個(gè)生產(chǎn)周期中都要隨機(jī)抽測(cè)10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)，如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．下面是某個(gè)生產(chǎn)周期中抽測(cè)的10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)：利用和判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ii）若設(shè)備狀態(tài)正常，記X表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的零件個(gè)數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望．參考公式：直方圖的方差，其中為各區(qū)間的中點(diǎn)，為各組的頻率．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，，，．→?模擬精練←1．（多選）（多選）（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）若隨機(jī)變量，下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．期望C．期望 D．方差2．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知隨機(jī)變量，且，則__________.3．（2023·江蘇南通·三模）隨機(jī)變量，則__________.4．（多選）（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）已知某校高二男生的身高X（單位：cm）服從正態(tài)分布N（175，16），且，則（

）A．該校高二男生的平均身高是175cmB．該校高二男生身高的方差為4C．該校高二男生中身高超過(guò)183cm的人數(shù)超過(guò)總數(shù)的3%D．從該校高二男生中任選一人，身高超過(guò)180cm的概率與身高不超過(guò)170cm的概率相等5．（多選）（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）給出下列命題，其中正確的是（

）A．對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的值越大，說(shuō)明兩事件相關(guān)程度越大.B．若隨機(jī)變量，則C．若，則D．已知樣本點(diǎn)組成一個(gè)樣本，得到回歸直線方程，且，剔除兩個(gè)樣本點(diǎn)和得到新的回歸直線的斜率為，則新的回歸方程為6．（多選）（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考三模）下列命題中正確的是（

）B．已知隨機(jī)變量，且，則C．已知隨機(jī)變量，則D．已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系7．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知隨機(jī)變量，若，則______．8．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則_____________．9．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）設(shè)隨機(jī)變量，若，則____________．10．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）某大型商場(chǎng)為了回饋廣大顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在抽獎(jiǎng)箱中放8個(gè)大小相同的小球，其中4個(gè)為紅色，4個(gè)為黑色．抽獎(jiǎng)方式為：每名顧客進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)從抽獎(jiǎng)箱中一次性摸出兩個(gè)小球．如果每次抽獎(jiǎng)摸出的兩個(gè)小球顏色相同即為中獎(jiǎng)，兩個(gè)小球顏色不同即為不中獎(jiǎng)．(1)若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．(2)若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)如果你是商場(chǎng)老板，如何在上述問(wèn)兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇？請(qǐng)寫出你的選擇及簡(jiǎn)要理由．11．（2023·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）App是英文Application的簡(jiǎn)稱，現(xiàn)多指智能手機(jī)的第三方應(yīng)用程序．隨著智能手機(jī)的普及，人們?cè)跍贤?、社交、娛樂等活?dòng)中越來(lái)越依賴于手機(jī)App軟件．某公司為了了解其研發(fā)的App在某市的普及情況，進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男、女各100人進(jìn)行分析，從而得到下表（單位：人）：經(jīng)常使用偶爾或不用總計(jì)男性70100女性90100總計(jì)(1)完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為該市市民經(jīng)常使用該款A(yù)pp與性別有關(guān)；(2)將頻率視為概率，從該市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品，記其中經(jīng)常使用該款A(yù)pp的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差（該市參與調(diào)查的市民男女比例為1：1）．附：，其中．2.072(3)閱讀下列材料，回答問(wèn)題：以（2）中所求的概率為基準(zhǔn)，如果從該市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取100人贈(zèng)送禮品，每次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，記經(jīng)常使用該款A(yù)pp的人數(shù)為，計(jì)算．材料：二項(xiàng)分布與正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中兩大非常重要的分布，并且這兩大分布的關(guān)系非常密切，經(jīng)研究表明，如果一個(gè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，當(dāng)且時(shí)，二項(xiàng)分布就可以用正態(tài)分布近似替代，即，其中隨機(jī)變量．參考數(shù)據(jù)：，，，．12．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）某高中為大力提高高中生的體能，預(yù)計(jì)在年初推出六項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，要求全校每名學(xué)生必須參加一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，且只參加一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，在這一整年里學(xué)生不允許更換體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，并在年終進(jìn)行達(dá)標(biāo)測(cè)試.一年后分項(xiàng)整理得到下表：體育項(xiàng)目第一項(xiàng)第二項(xiàng)第三項(xiàng)第四項(xiàng)第五項(xiàng)第六項(xiàng)學(xué)生人數(shù)14050300200800510未達(dá)標(biāo)率未達(dá)標(biāo)率是指：某一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)未達(dá)到規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)生數(shù)與該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的學(xué)生數(shù)的比值.假設(shè)所有體育項(xiàng)目是否達(dá)標(biāo)相互獨(dú)立.(1)從全校隨機(jī)抽取1名同學(xué)，求該同學(xué)是“第四項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中的達(dá)標(biāo)者”的概率；(2)從參加第四項(xiàng)和第五項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的同學(xué)中各隨機(jī)選取1人，求恰有1人獲得體育達(dá)標(biāo)的概率；(3)假設(shè)每項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目學(xué)生未達(dá)標(biāo)的概率與表格中該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目未達(dá)標(biāo)率相等，用“”表示第項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目達(dá)標(biāo)，“”表示第項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目未達(dá)標(biāo).計(jì)算并直接寫出方差的大小關(guān)系（不用寫出計(jì)算過(guò)程）.→?專題訓(xùn)練←1.?脆而易剝，酸甜適度，汁多爽口，余味清香，榮獲農(nóng)業(yè)部?jī)?yōu)質(zhì)水果?中國(guó)國(guó)際農(nóng)業(yè)博覽會(huì)金獎(jiǎng)等榮譽(yù).據(jù)統(tǒng)計(jì)，奉節(jié)臍橙的果實(shí)橫徑(單位：)服從正態(tài)分布，則果實(shí)橫徑在的概率為（）附：若，則；. 2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．73.某籃球運(yùn)動(dòng)員每次投籃投中的概率是，每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立，那么在他10次投籃中，記最有可能投中的次數(shù)為，則的值為（）A．5 B．6 C．7 D．84.在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則至少取到1件次品的概率為（）A． B． C． D．5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？既＃┘住⒁覂蛇x手進(jìn)行一場(chǎng)體育競(jìng)技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，即.(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說(shuō)明該結(jié)論的實(shí)際含義.6，第二組每道題答對(duì)的概率均為，兩組題至少答對(duì)3題才可獲得一枚紀(jì)念章.(1)記甲同學(xué)在一輪比賽答對(duì)的題目數(shù)為，請(qǐng)寫出的分布列，并求；(2)若甲同學(xué)進(jìn)行了10輪答題，試問(wèn)獲得多少枚紀(jì)念章的概率最大.7．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）天宮空間站是我國(guó)建成的國(guó)家級(jí)太空實(shí)驗(yàn)室，由天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙組成，已經(jīng)開啟長(zhǎng)期有人駐留模式，結(jié)合空間站的相關(guān)知識(shí)，某職業(yè)學(xué)校的老師設(shè)計(jì)了以空間站為主題的編程訓(xùn)練，訓(xùn)練內(nèi)容由“太空發(fā)射”、“自定義漫游”、“全尺寸太陽(yáng)能”、“空間運(yùn)輸”等10個(gè)相互獨(dú)立的編程題目組成，訓(xùn)練要求每個(gè)學(xué)生必須選擇兩個(gè)不同的題目進(jìn)行編程練習(xí)，并且學(xué)生間的選擇互不影響，老師將班級(jí)學(xué)生分成四組，指定甲、乙、丙、丁為組長(zhǎng).(1)求甲、乙、丙、丁這四個(gè)人中至少有一人選擇“太空發(fā)射”的概率；(2)記X為這四個(gè)人中選擇“太空發(fā)射”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)如果班級(jí)有n個(gè)學(xué)生參與編程訓(xùn)練（其中n是能被5整除的正整數(shù)），則這n個(gè)學(xué)生中選擇“太空發(fā)射”的人數(shù)最有可能是多少人？8．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）chatGPT是由OpenAI開發(fā)的一款人工智能機(jī)器人程序，一經(jīng)推出就火遍全球.chatGPT的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，訓(xùn)練分為以下三個(gè)階段.prompt數(shù)據(jù)，人工進(jìn)行高質(zhì)量的回答，獲取<prompt，answer>數(shù)據(jù)對(duì)，幫助數(shù)學(xué)模型GPT-3.5更好地理解指令.第二階段：訓(xùn)練獎(jiǎng)勵(lì)模型.用上一階段訓(xùn)練好的數(shù)學(xué)模型，生成個(gè)不同的回答，人工標(biāo)注排名，通過(guò)獎(jiǎng)勵(lì)模型給出不同的數(shù)值，獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)值越高越好.獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)值可以通過(guò)最小化下面的交叉熵?fù)p失函數(shù)得到：，其中，且.第三階段：實(shí)驗(yàn)與強(qiáng)化模型和算法.通過(guò)調(diào)整模型的參數(shù)，使模型得到最大的獎(jiǎng)勵(lì)以符合人工的選擇取向.參考數(shù)