第6章平面向量及其應(yīng)用章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)

第6章平面向量及其應(yīng)用章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)考點(diǎn)一平面向量的概念【例1】（2023·高一課時練習(xí)）下列命題：①兩個相等向量，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；②若，則；③若，則四邊形ABCD是平行四邊形；④若，，則；⑤若，，；⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段；⑦任何一個非零向量都可以平行移動．其中，假命題的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】對于①，兩個相等向量時，它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，①正確；對于②，若，方向不確定，則不一定相同，∴②錯誤；對于③，若，、不一定相等，∴四邊形不一定是平行四邊形，③錯誤；對于④，若，，則，④正確；對于⑤，若，，，當(dāng)時，不一定成立，∴⑤錯誤；對于⑥，向量沒有固定的起點(diǎn)，所以向量不是有向線段，但向量可以用有向線段表示，∴⑥錯誤；對于⑦，任何一個非零向量都可以平行移動，∴⑦正確；綜上，假命題是②③⑤⑥，共4個，故選：C.【一隅三反】1．（2023·高一課時練習(xí)）給出下列命題：①兩個具有公共終點(diǎn)的向量，一定是平行向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。虎郏閷?shí)數(shù)），則必為零；④為實(shí)數(shù)，若，則與共線；⑤向量的大小與方向有關(guān)．其中正確的命題的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于①，兩個向量具有公共終點(diǎn)，但兩向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)可能不共線，則兩向量不是平行向量，①錯誤；對于②，向量有大小和方向兩個維度，無法比較大?。坏蛄磕ｉL僅有大小一個維度，可以比較大小，②正確；對于③，當(dāng)時，可以為任意實(shí)數(shù)，③錯誤；對于④，當(dāng)時，，此時可以不共線，④錯誤；對于⑤，向量的大小即向量的模長，與方向無關(guān)，⑤錯誤.故選：A.2．（2023廣東深圳）（多選）給出下列命題正確的是（

）A．空間中所有的單位向量都相等B．長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量C．若滿足，且同向，則D．對于任意向量，必有【答案】BD【解析】對于A：向量相等需要滿足兩個條件：長度相等且方向相同，缺一不可，故A錯；對于B：根據(jù)相反向量的定義可知B正確；對于C：向量是矢量不能比較大小，故C錯；對于D：根據(jù)三角形三邊關(guān)系知正確；故選：BD.3．（2022福建福州）（多選）給出下列命題，其中正確的命題是（）A．若，則或B．若向量是向量的相反向量，則C．在正方體中，D．若空間向量，，滿足，，則【答案】BCD【解析】對于選項A：若，即向量與的模相等，但方向不確定，故A錯誤；對于選項B：相反向量是指大小相等方向相反的兩個向量，故B正確；對于選項C：在正方體中，與大小相等，方向相同，故，所以C正確；對于選項D：若，，則方向相同大小相等，故，若中有零向量結(jié)論也正確，所以D正確.故選：BCD.考點(diǎn)二平面向量的運(yùn)算【例2-1】（2022甘肅甘南）已知的重心為O，則向量（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)分別是的中點(diǎn)，由于是三角形的重心，所以.故選：C.【例2-2】（2023·四川綿陽）如圖，在邊長為2的等邊中，點(diǎn)為中線的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，，，，所以.由已知是的中點(diǎn)，所以，，.所以，，所以，.故選：B.【一隅三反】1．（2023·高一課時練習(xí)）對于非零向量與，下列不等式中恒成立的是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】B【解析】設(shè)非零向量與的夾角為，則，，則故選：2．（2023·高一課時練習(xí)）己知，，且與的夾角為，則________．【答案】【解析】.故答案為：.3．（2022·四川德陽）已知,是單位向量，且，若，那么當(dāng)時，______．【答案】【解析】因?yàn)?是單位向量，所以，當(dāng)時，，所以，所以，所以，所以，解得.故答案為：.4．（2023·高一課時練習(xí)）給出下列等式：①；②；③；④．其中等式成立的個數(shù)為________．【答案】【解析】對于①，，①正確；對于②，，，②正確；對于③，，③錯誤；對于④，，④正確；等式成立的個數(shù)為.故答案為：.考點(diǎn)三平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例3-1】（2022春·廣西玉林·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知向量，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】設(shè)，因?yàn)橄蛄?，，則，解得，所以，對于A，因?yàn)?，故A錯誤；對于B，因?yàn)椋逝c不共線，故B錯誤；對于C，，所以，所以，故C正確；對于D，，，所以，故D錯誤.故選：ABD..【例3-2】（2023·安徽）（多選）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則的值為C．若，則的值為D．若，則與的夾角為銳角【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以選項A說法正確；因?yàn)椋?，所以選項B說法不正確；因?yàn)?，所以，所以選項C說法正確；當(dāng)時，，所以，因此選項D說法不正確，故選：AC【例3-3】（廣東省佛山市2023屆）（多選）已知點(diǎn)、、、，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】對于A選項，，，則，故，A對；對于B選項，，所以，，B對；對于C選項，，所以，，C對；對于D選項，，則，D錯.故選：ABC.【一隅三反】1．（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A，，，與不垂直，A不正確；對于B，，有，B正確；對于C，，有，C不正確；對于D，，由選項C知，，D正確.故選：BD2．（2022秋·廣西）（多選）下列命題正確的是（

）A．已知，則向量在方向上的投影向量的長度為4B．若向量的夾角為鈍角，則C．若向量滿足，則或D．設(shè)是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，若，則可作為該平面的一個基底【答案】ABD【解析】對于選項A，因?yàn)?，所以向量在方向上的投影向量的長度為，A正確；對于選項B，因?yàn)橄蛄康膴A角為鈍角，所以，所以，B正確；對于選項C，當(dāng)時，，但且，C錯誤；對于選項D，假設(shè)共線，則，又，所以，因?yàn)椴还簿€，所以，方程組無解，故假設(shè)錯誤，即不共線，所以可作為該平面的一個基底，D正確；故選：ABD.3．（2023江蘇南京）（多選）已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若在上的投影向量為，則向量與夾角為C．與共線的單位向量只有一個為D．存在，使得【答案】BD【解析】A選項，若，則，，A選項錯誤.B選項，在上的投影向量為，所以，，由于，所以，B選項正確.C選項，與共線的單位向量可以是，即和，所以C選項錯誤.D選項，若，則，，，，其中，所以，由于，，則當(dāng)時，，所以存在，使得，D選項正確.故選：BD考點(diǎn)四平面向量的基本定理【例4-1】（2023·四川綿陽）如圖，在邊長為2的等邊中，點(diǎn)E為中線BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)D），點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】在邊長為2的等邊中,BD為中線，則故選：A【例4-2】（2022重慶南岸）如圖，在中，，，，M是邊上的中點(diǎn)，P是上一點(diǎn)，且滿足，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)镻是上一點(diǎn)，故可設(shè)，因?yàn)镸是邊上的中點(diǎn)，所以，所以，，又，所以，故，所以，所以，因?yàn)?，，，所以，所以，故選：D.【一隅三反】1．（2023河北石家莊）中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上一點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)D，且，.則（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，所以，故，則，故，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在使得，即，則，所以，解得：.故選：A2（2023·湖南永州）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意作上圖，則；故選：D.3．（2023·鄭州）在中，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且，連接，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，連接則，∴，，則.故選：A.4．（2022上海）在中，為直線上的任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以所以，且，，三點(diǎn)共線，所以，則．故選：B．5．（2022秋·河南）如圖，在平行四邊形中，，，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，知，分別為，的中點(diǎn).如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，易得，所以，所以.因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.由，，三點(diǎn)共線知，存在，滿足.由，，三點(diǎn)共線知，存在，滿足.所以.又因?yàn)?，為不共線的非零向量，所以，解得，所以.故選：.考點(diǎn)五正余弦定理【例5-1】（2022廣東深圳）（多選）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的面積為【答案】BC【解析】由題設(shè)，則，即，故，所以不為鈍角，否則、都為鈍角，則，又，即，整理得，故，，且為三角形內(nèi)角，則，綜上，的面積，故A、D錯誤，B、C正確.故選：BC【例5-2】（2022春·廣西百色·高一?？计谥校ǘ噙x）在中，角的對邊分別為.根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是（

）A．，有唯一解B．，無解C．，有兩解D．，有唯一解【答案】AD【解析】選項，已知三邊三角形確定，有唯一解，正確；選項，由正弦定理得：，則，再由大邊對大角可得，故可以為銳角，也可以為鈍角，故三角形有兩解，B錯誤；選項C，由正弦定理得：，則，且，由大邊對大角可得，則只能為銳角，故三角形有唯一解，C錯誤；選項D，由正弦定理得：，，由于，則是銳角，有唯一解，D正確.故選：AD.【一隅三反】1．（2022秋·河北張家口）（多選）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對于A，因?yàn)?，所以，所以只有一解；故A錯誤；對于B，因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)?，即，所以，所以有兩解（，或），故B正確；對于C，因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，因?yàn)?，所以有兩解（，或，），故C正確；對于D，因?yàn)?，所以由正弦定理得，由于，故，所以只有一解，故D錯誤；故選：BC2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是的內(nèi)角，分別是其對邊長，向量，，．(1)求角的大?。?2)