版江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第10章第7節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布

第七節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布[最新考綱]1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.2.會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題.3.借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．1．離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差：稱D(X)＝eq\o(∑,\s\up14(n),\s\do10(i＝1))[xi－E(X)]2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．2．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差均值方差變量X服從兩點(diǎn)分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)X～B(n，p)E(X)＝npD(X)＝np(1－p)4.正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線的特點(diǎn)：①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.eq\O([常用結(jié)論])1．均值與方差的關(guān)系：D(X)＝E(X2)－E2(X)．2．超幾何分布的均值：若X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則E(X)＝eq\f(nM,N).一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的． ()(2)若X～N(μ，σ2)，則μ，σ2分別表示正態(tài)分布的均值和方差． ()(3)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量．()(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√二、教材改編1．已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)a設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．1A[由概率分布列的性質(zhì)可知：eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋a＝1，∴a＝eq\f(1,6).∴E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3).∴E(Y)＝3＋2E(X)＝3－eq\f(2,3)＝eq\f(7,3).]2．若隨機(jī)變量X滿足P(X＝c)＝1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為．0[∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.]3．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，則c＝.eq\f(4,3)[∵X～N(3,1)，∴正態(tài)曲線關(guān)于x＝3對(duì)稱，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，∴2c－1＋c＋3＝3×2，∴c＝eq\f(4,3).]4．甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是．乙[E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，因?yàn)镋(Y)<E(X)，所以乙技術(shù)好．]考點(diǎn)1求離散型隨機(jī)變量的均值、方差求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值．(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率．(3)寫出X的分布列．(4)由均值的定義求E(X)．(5)由方差的定義求D(X)．為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ(單位：元)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)，方差D(ξ)．[解](1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0,40,80元，兩人都付0元的概率為p1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，兩人都付40元的概率為p2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，兩人都付80元的概率為p3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，則兩人所付費(fèi)用相同的概率為p＝p1＋p2＋p3＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,24)＝eq\f(5,12).(2)由題設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為ξ，ξ可能取值為0,40,80,120,160，則：P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)；P(ξ＝40)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)；P(ξ＝80)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)；P(ξ＝120)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)；P(ξ＝160)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24).ξ的分布列為ξ04080120160Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,4)eq\f(1,24)E(ξ)＝0×eq\f(1,24)＋40×eq\f(1,4)＋80×eq\f(5,12)＋120×eq\f(1,4)＋160×eq\f(1,24)＝80.D(ξ)＝(0－80)2×eq\f(1,24)＋(40－80)2×eq\f(1,4)＋(80－80)2×eq\f(5,12)＋(120－80)2×eq\f(1,4)＋(160－80)2×eq\f(1,24)＝eq\f(4000,3).(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算．(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應(yīng)用．[教師備選例題]1．(2019·杭州模擬)已知0＜a＜eq\f(1,2)，隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ－101Paeq\f(1,2)－aeq\f(1,2)當(dāng)a增大時(shí)，()A．E(ξ)增大，D(ξ)增大B．E(ξ)減小，D(ξ)增大C．E(ξ)增大，D(ξ)減小D．E(ξ)減小，D(ξ)減小B[由題意得，E(ξ)＝－a＋eq\f(1,2)，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)＋1))2×a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)－1))2×eq\f(1,2)＝－a2＋2a＋eq\f(1,4)，又∵0＜a＜eq\f(1,2)，∴當(dāng)a增大時(shí)，E(ξ)減小，D(ξ)增大．]2．設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．(1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若E(η)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.[解](1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6，故P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(2×3×2,6×6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq\f(5,18)，P(ξ＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36).所以ξ的分布列為ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)(2)由題意知η的分布列為η123Peq\f(a,a＋b＋c)eq\f(b,a＋b＋c)eq\f(c,a＋b＋c)所以E(η)＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(3c,a＋b＋c)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,3)))2·eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))2·eq\f(b,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,3)))2·eq\f(c,a＋b＋c)＝eq\f(5,9)，化簡(jiǎn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0.))解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.1.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，則p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3B[由題意知，該群體的10位成員使用移動(dòng)支付的概率分布符合二項(xiàng)分布，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)<P(X＝6)，得Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6<Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4，即(1－p)2<p2，所以p>0.5，所以p＝0.6.]2．大豆是我國(guó)主要的農(nóng)作物之一，因此，大豆在農(nóng)業(yè)發(fā)展中占有重要的地位，隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的不斷發(fā)展，為了使大豆得到更好的種植，就要進(jìn)行超級(jí)種培育研究．某種植基地培育的“超級(jí)豆”種子進(jìn)行種植測(cè)試：選擇一塊營(yíng)養(yǎng)均衡的可種植4株的實(shí)驗(yàn)田地，每株放入三?！俺?jí)豆”種子，且至少要有一粒種子發(fā)芽這株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205kg.已知每粒豆苗種子成活的概率為eq\f(1,2)(假設(shè)種子之間及外部條件一致，發(fā)芽相互沒有影響)．(1)求恰好有3株成活的概率；(2)記成活的豆苗株數(shù)為ξ，收成為η(kg)，求隨機(jī)變量ξ分布列及η的數(shù)學(xué)期望Eη.[解](1)設(shè)每株豆子成活的概率為P0，則P0＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,8).所以4株中恰好有3株成活的概率P＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))eq\s\up12(1)＝eq\f(343,1024).(2)記成活的豆苗株數(shù)為ξ，收成為η＝2.205ξ，則ξ的可能取值為0,1,2,3,4，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,8)))，所以ξ的分布列如下表：∴Eξ＝4×eq\f(7,8)＝3.5，Eη＝E(2.205ξ)＝2.205·Eξ＝7.7175(kg)．考點(diǎn)2均值與方差在決策中的應(yīng)用利用均值、方差進(jìn)行決策的2個(gè)方略(1)當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對(duì)問題作出判斷．(2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大．則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策．某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；項(xiàng)目二：通信設(shè)備．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15).針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由．[解]若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，則X1的分布列為X1300－150Peq\f(7,9)eq\f(2,9)∴E(X1)＝300×eq\f(7,9)＋(－150)×eq\f(2,9)＝200.若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利為X2萬元，則X2的分布列為X2500－3000Peq\f(3,5)eq\f(1,3)eq\f(1,15)∴E(X2)＝500×eq\f(3,5)＋(－300)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,15)＝200.D(X1)＝(300－200)2×eq\f(7,9)＋(－150－200)2×eq\f(2,9)＝35000，D(X2)＝(500－200)2×eq\f(3,5)＋(－300－200)2×eq\f(1,3)＋(0－200)2×eq\f(1,15)＝140000.∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資．隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．[教師備選例題]某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；(3)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？[解](1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)．當(dāng)n＝19時(shí)，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.當(dāng)n＝20時(shí)，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知當(dāng)n＝19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于當(dāng)n＝20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n＝19.(2019·合肥二模)某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過2次每次收取維修費(fèi)2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維修費(fèi)1000元．某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購(gòu)買2臺(tái)這種機(jī)器．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：維修次數(shù)0123臺(tái)數(shù)5102015以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率．記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)．(1)求X的分布列；(2)以所需延保金及維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？[解](1)X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6.P(X＝0)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(1,100)，P(X＝1)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,5)×2＝eq\f(1,25)，P(X＝2)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,10)×2＝eq\f(3,25)，P(X＝3)＝eq\f(1,10)×eq\f(3,10)×2＋eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×2＝eq\f(11,50)，P(X＝4)＝eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(3,10)×eq\f(1,5)×2＝eq\f(7,25)，P(X＝5)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,10)×2＝eq\f(6,25)，P(X＝6)＝eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(9,100)，∴X的分布列為X0123456Peq\f(1,100)eq\f(1,25)eq\f(3,25)eq\f(11,50)eq\f(7,25)eq\f(6,25)eq\f(9,100)(2)選擇延保方案一，所需費(fèi)用Y1元的分布列為：Y170009000110001300015000Peq\f(17,100)eq\f(11,50)eq\f(7,25)eq\f(6,25)eq\f(9,100)EY1＝eq\f(17,100)×7000＋eq\f(11,50)×9000＋eq\f(7,25)×11000＋eq\f(6,25)×13000＋eq\f(9,100)×15000＝10720(元)．選擇延保方案二，所需費(fèi)用Y2元的分布列為：Y2100001100012000Peq\f(67,100)eq\f(6,25)eq\f(9,100)EY2＝eq\f(67,100)×10000＋eq\f(6,25)×11000＋eq\f(9,100)×12000＝10420(元)．∵EY1＞EY2，∴該醫(yī)院選擇延保方案二較合算．考點(diǎn)3正態(tài)分布關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)＝9.97，s＝＝)≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用樣本平均數(shù)eq\x\to(x)作為μ的估計(jì)值eq\o(μ,\s\up14(^))，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值eq\o(σ,\s\up14(^))，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(eq\o(μ,\s\up14(^))－3eq\o(σ,\s\up14(^))，eq\o(μ,\s\up14(^))＋3eq\o(σ,\s\up14(^)))之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)．附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ<Z＜μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592，eq\r(0.008)≈0.09.[解](1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.0026，故X～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．②由eq\x\to(x)＝9.97，s≈0.212，得μ的估計(jì)值為eq\o(μ,\s\up14(^))＝9.97，σ的估計(jì)值為eq\o(σ,\s\up14(^))＝0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(eq\o(μ,\s\up14(^))－3eq\o(σ,\s\up14(^))，eq\o(μ,\s\up14(^))＋3eq\o(σ,\s\up14(^)))之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．剔除(eq\o(μ,\s\up14(^))－3eq\o(σ,\s\up14(^))，eq\o(μ,\s\up14(^))＋3eq\o(σ,\s\up14(^)))之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,15)×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估計(jì)值為10.02.＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(eq\o(μ,\s\up14(^))－3eq\o(σ,\s\up14(^))，eq\o(μ,\s\up14(^))＋3eq\o(σ,\s\up14(^)))之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為eq\f(1,15)×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估計(jì)值為eq\r(0.008)≈0.09.本題考查正態(tài)分布、概率統(tǒng)計(jì)問題的綜合，是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處命制的一道較為新穎的試題．正態(tài)分布與統(tǒng)計(jì)案例有些知識(shí)點(diǎn)是所謂的高考“冷點(diǎn)”，由于考生對(duì)這些“冷點(diǎn)”的內(nèi)容重視不夠，復(fù)習(xí)不全面，一旦這些“冷點(diǎn)”知識(shí)出了考題，雖然簡(jiǎn)單但也做錯(cuò)，甚至根本不會(huì)做，因而錯(cuò)誤率相當(dāng)高．本題求解的關(guān)鍵是借助題設(shè)提供的數(shù)據(jù)對(duì)問題做出合理的分析，其中方差公式的等價(jià)變形是數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵點(diǎn)．1.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(－1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544.A．1193 B．1359C．2718 D．3413B[對(duì)于正態(tài)分布N(－1,1)，μ＝－1，σ＝1，正態(tài)曲線關(guān)于x＝－1對(duì)稱，故題圖中陰影部分的面積為eq\f(1,2)×[P