高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1學(xué)案第三章2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解導(dǎo)數(shù)的概念以及導(dǎo)數(shù)和變化率的關(guān)系.2.會(huì)計(jì)算函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，理解導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義.3.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念思考1平均變化率與瞬時(shí)變化率有何區(qū)別、聯(lián)系？梳理定義式eq\o(lim,\s\do7(x1→x0))eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝____________________記法實(shí)質(zhì)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是y＝f(x)在x＝x0處的________________知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖，Pn的坐標(biāo)為(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐標(biāo)為(x0，y0)，直線PT為過(guò)點(diǎn)P的切線．思考1割線PPn的斜率kn是多少？思考2當(dāng)點(diǎn)Pn無(wú)限趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關(guān)系？梳理(1)切線的定義：當(dāng)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱(chēng)為_(kāi)_______的切線．(2)導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率k，即k＝________________________________________________________________________.(3)切線方程：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為_(kāi)_______________________．類(lèi)型一利用定義求導(dǎo)數(shù)例1求函數(shù)f(x)＝3x2－2x在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．反思與感悟求一個(gè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：(1)求函數(shù)值的變化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).跟蹤訓(xùn)練1利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝－x2＋3x在x＝2處的導(dǎo)數(shù)．類(lèi)型二求切線方程命題角度1求在某點(diǎn)處的切線方程例2已知曲線y＝2x2上一點(diǎn)A(1,2)，求：(1)點(diǎn)A處的切線的斜率；(2)點(diǎn)A處的切線方程．反思與感悟求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟跟蹤訓(xùn)練2曲線y＝x2＋1在點(diǎn)P(2,5)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是________．命題角度2曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程例3求拋物線y＝eq\f(1,4)x2過(guò)點(diǎn)(4，eq\f(7,4))的切線方程．反思與感悟過(guò)點(diǎn)(x1，y1)的曲線y＝f(x)的切線方程的求法步驟(1)設(shè)切點(diǎn)(x0，y0)；(2)建立方程f′(x0)＝eq\f(y1－y0,x1－x0)；(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，從而寫(xiě)出切線方程．跟蹤訓(xùn)練3求過(guò)點(diǎn)(－1，－2)且與曲線y＝2x－x3相切的直線方程．類(lèi)型三導(dǎo)數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用例4已知曲線f(x)＝x2＋1與g(x)＝x3＋1在x＝x0處的切線互相垂直，求x0的值．引申探究若將本例的條件“垂直”改為“平行”，則結(jié)果如何？反思與感悟?qū)?shù)的幾何意義是曲線的切線的斜率，已知切點(diǎn)可以求斜率，反過(guò)來(lái)，已知斜率也可以求切點(diǎn)，從而可以與解析幾何等知識(shí)相聯(lián)系．跟蹤訓(xùn)練4已知直線l：y＝4x＋a與曲線C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切點(diǎn)坐標(biāo)．1．設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b2．曲線f(x)＝eq\f(9,x)在點(diǎn)(3,3)處的切線的傾斜角等于()A．45°B．60°C．135°D．120°3.如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖像在點(diǎn)P(2，y)處的切線是l，則f(2)＋f′(2)等于()A．－4B．3C．－2D．14．已知函數(shù)y＝ax2＋b在點(diǎn)(1,3)處的切線斜率為2，則eq\f(b,a)＝________.5．求曲線y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))處的切線方程．1．導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)．2．利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上．如果已知點(diǎn)在曲線上，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知點(diǎn)不在切線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，f(x0))，表示出切線方程，然后求出切點(diǎn)．答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1平均變化率刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢，瞬時(shí)變化率刻畫(huà)函數(shù)值在x0點(diǎn)處變化的快慢；當(dāng)Δx趨于0時(shí)，平均變化率eq\f(Δy,Δx)趨于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時(shí)變化率，它是一個(gè)固定值．梳理eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)f′(x0)瞬時(shí)變化率知識(shí)點(diǎn)二思考1割線PPn的斜率kn＝eq\f(fxn－fx0,xn－x0).思考2kn無(wú)限趨近于切線PT的斜率k.梳理(1)點(diǎn)P處(2)lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)(3)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)題型探究例1解∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx2＋4Δx,Δx)＝3Δx＋4，∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(3Δx＋4)＝4.跟蹤訓(xùn)練1解由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)f′(2)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－Δx2－Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(－Δx－1)＝－1.例2解(1)k＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(21＋Δx2－2×12,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4Δx＋2Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4＋2Δx)＝4，∴點(diǎn)A處的切線的斜率為4.(2)點(diǎn)A處的切線方程是y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.跟蹤訓(xùn)練2－3解析eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2＋Δx2＋1－22－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4＋Δx)＝4，曲線y＝x2＋1在點(diǎn)(2,5)處的切線方程為y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.∴切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－3.例3解設(shè)切線在拋物線上的切點(diǎn)為(x0，eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0))，∵eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,4)x0＋Δx2－\f(1,4)x\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(eq\f(1,2)x0＋eq\f(1,4)Δx)＝eq\f(1,2)x0.∴eq\f(\f(1,4)x\o\al(2,0)－\f(7,4),x0－4)＝eq\f(1,2)x0，即xeq\o\al(2,0)－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，即切線過(guò)拋物線y＝eq\f(1,4)x2上的點(diǎn)(7，eq\f(49,4))，(1，eq\f(1,4))，故切線方程為y－eq\f(49,4)＝eq\f(7,2)(x－7)或y－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)(x－1)，化簡(jiǎn)得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，即為所求的切線方程．跟蹤訓(xùn)練3解eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x＋Δx－x＋Δx3－2x＋x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,2x0－xeq\o\al(3,0))．∴切線方程為y－2x0＋xeq\o\al(3,0)＝(2－3xeq\o\al(2,0))(x－x0)．又∵切線過(guò)點(diǎn)(－1，－2)，∴－2－2x0＋xeq\o\al(3,0)＝(2－3xeq\o\al(2,0))(－1－x0)，即2xeq\o\al(3,0)＋3xeq\o\al(2,0)＝0，∴x0＝0或x0＝－eq\f(3,2).∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,8))).當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)時(shí)，切線斜率為2，切線方程為y＝2x，即2x－y＝0.當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,8)))時(shí)，切線斜率為－eq\f(19,4)，切線方程為y＋2＝－eq\f(19,4)(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0.綜上可知，過(guò)點(diǎn)(－1，－2)且與曲線相切的切線方程為2x－y＝0或19x＋4y＋27＝0.例4解因?yàn)閒′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2＋1－x\o\al(2,0)＋1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(Δx＋2x0)＝2x0，g′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx3＋1－x\o\al(3,0)＋1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[(Δx)2＋3x0Δx＋3xeq\o\al(2,0)]＝3xeq\o\al(2,0)，k1＝2x0，k2＝3xeq\o\al(2,0)，因?yàn)榍芯€互相垂直，所以k1k2＝－1，即6xeq\o\al(3,0)＝－1，解得x0＝－eq\f(\r(3,36),6).引申探究解由例4知，f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)，k1＝2x0，k2＝3xeq\o\al(2,0)，由題意知2x0＝3xeq\o\al(2,0)，得x0＝0或eq\f(2,3).跟蹤訓(xùn)練4解設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)．∵eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3,Δx)＝3x2－4x，由題意可知k＝4，即3xeq\o\al(2,0)－4x0＝4，解得x0＝－eq\f(2,3)或x0＝2，∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為(－eq\f(2,3)，eq\f(49,27))或(2,3)．當(dāng)切點(diǎn)為(－eq\f(2,3)，eq\f(49,27))時(shí)，有eq\f(49,27)＝4×(－eq\f(2,3))＋a，a＝eq\f(121,27).當(dāng)切點(diǎn)為(2,3)時(shí)，有3＝4×2＋a，a＝－5.∴當(dāng)a＝eq\f(121,27)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(2,3)，eq\f(49,27))；當(dāng)a＝－5時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)．當(dāng)堂訓(xùn)練1．C2.C3.D4.25．解因?yàn)閑q\o(lim,\s\