寧夏石嘴山市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)重點(diǎn)班上學(xué)期期中理試題含解析

Page18寧夏石嘴山市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)（重點(diǎn)班）上學(xué)期期中（理）試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）留意事項(xiàng)：1．本試卷為高二年級(jí)期中考試凌云班專用試卷.2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.3．回答第Ⅱ卷時(shí)，運(yùn)用0.5毫米黑色中性筆，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷一、選擇題（每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.1.設(shè)全集，集合，，則∩（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】干脆依據(jù)交集和補(bǔ)集的概念計(jì)算即可.【詳解】由已知，則∩故選：C.2.現(xiàn)要完成下列3項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從10盒酸奶中抽取3盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②報(bào)告廳有32排，每排有40個(gè)座位.有一次報(bào)告會(huì)恰好坐滿了聽眾，報(bào)告會(huì)結(jié)束后，為了調(diào)查聽眾對(duì)報(bào)告會(huì)的看法，須要請(qǐng)32名聽眾進(jìn)行座談；③平羅中學(xué)共有360名教職工，其中專職老師300名，行政教輔人員36名，后勤人員名，為了了解教職工對(duì)學(xué)校在校務(wù)公開方面的看法，擬抽取一個(gè)容量為60的樣本．較為合理的抽樣方法是（）A.①簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣 B.①簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣C.①系統(tǒng)抽樣，②簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，③分層抽樣 D.①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣【答案】A【解析】【分析】視察所給的四組數(shù)據(jù)，依據(jù)四組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，把所用的抽樣選出來①簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣．【詳解】視察所給的四組數(shù)據(jù)，

①個(gè)體沒有差異且總數(shù)不多可用隨機(jī)抽樣法，簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，

②將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，在第1段內(nèi)采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào)，在此編號(hào)的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào)，所以選用系統(tǒng)抽樣，

③個(gè)體有了明顯了差異，所以選用分層抽樣法，

故選：A．3.一個(gè)魔方的六個(gè)面分別是紅、橙、藍(lán)、綠、白、黃六種顏色，且紅色面和橙色面相對(duì)、藍(lán)色面和綠色面相對(duì)，白色面和黃色面相對(duì)，將這個(gè)魔方隨意扔到桌面上，則事務(wù)“紅色面朝上”和“綠色面朝下”（）A.是對(duì)立事務(wù) B.不是互斥事務(wù)C.既不是互斥事務(wù)也不是對(duì)立事務(wù) D.是互斥事務(wù)但不是對(duì)立事務(wù)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的定義即可推斷.【詳解】將魔方隨意扔到桌面上，則事務(wù)“紅色面朝上”和“綠色面朝下”不能同時(shí)發(fā)生，但可以同時(shí)不發(fā)生，故“紅色面朝上”和“綠色面朝下”是互斥事務(wù)但不是對(duì)立事務(wù).故選：D4.《算法統(tǒng)宗》是由明代數(shù)學(xué)家程大位所著的一部應(yīng)用數(shù)學(xué)著作，其完善了珠算口訣，確立了算盤用法，并完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，該書清初又傳入朝鮮、東南亞和歐洲，成為東方古代數(shù)學(xué)的名著.書中卷八有這樣一個(gè)問題：“今有物靠壁，一面尖堆，底腳闊一十八個(gè)，問共若干？”如圖所示的程序框圖給出了解決該題的一個(gè)算法，執(zhí)行該程序框圖，輸出的S即為該物的總數(shù)S，則總數(shù)S=（）A.136 B.153 C.171 D.190【答案】C【解析】【分析】執(zhí)行程序框圖，計(jì)算S【詳解】由圖可知，輸出故選：C5.關(guān)于直線、與平面、，有以下四個(gè)命題：①若，且，則；②若，且，則；③若，且，則；④若，且，則.其中真命題的序號(hào)是（）A.①② B.③④ C.①④ D.②③【答案】D【解析】【分析】依據(jù)①②③④中的已知條件推斷直線、的位置關(guān)系，可推斷①②③④的正誤.【詳解】對(duì)于①，若，且，則與平行、相交或異面，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，如下圖所示：設(shè)，因?yàn)?，在平面?nèi)作直線，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，，，，，，因此，，②正確；對(duì)于③，若，，則，因?yàn)椋^直線作平面使得，由線面平行的性質(zhì)定理可得，，，則，因此，③正確；對(duì)于④，若，且，則與平行、相交或異面，④錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于空間線面位置關(guān)系的組合推斷題，解決的方法是“推理論證加反例推斷”，即正確的結(jié)論須要依據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明，錯(cuò)誤的結(jié)論須要通過舉出反例說明其錯(cuò)誤，在解題中可以以常見的空間幾何體（如正方體、正四面體等）為模型進(jìn)行推理或者反對(duì)．6.如圖是甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在某賽季部分場(chǎng)次得分的莖葉圖，據(jù)圖可知（）A.甲的平均成果大于乙的平均成果，且甲發(fā)揮的比乙穩(wěn)定B.甲的平均成果大于乙的平均成果，但乙發(fā)揮的比甲穩(wěn)定C.乙的平均成果大于甲的平均成果，但甲發(fā)揮的比乙穩(wěn)定D.乙的平均成果大于甲的平均成果，且乙發(fā)揮的比甲穩(wěn)定【答案】A【解析】【分析】分別計(jì)算甲乙的平均分和方差，比較大小得到答案.【詳解】，，，，且.故選：A7.若、滿意約束條件，則的最大值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出訪得該直線在軸上截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)即可得解.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)取最大值，即.故選：C.8.某校實(shí)行運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將學(xué)校600名學(xué)生編號(hào)為001，002，003，…，600，采納系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且在第一段中隨機(jī)抽得的號(hào)碼為009.將這600名學(xué)生分別支配在看臺(tái)的A，B，C三個(gè)區(qū)，001號(hào)到130號(hào)在A區(qū)，131號(hào)到385號(hào)在B區(qū)，386號(hào)到600號(hào)在C區(qū)，則樣本中屬于A，B，C三個(gè)區(qū)的人數(shù)分別為（）A.10，21，19 B.10，20，20C.11，20，19 D.11，21，18【答案】D【解析】【分析】系統(tǒng)抽樣是等間隔抽樣，所以抽樣間隔為，且第一段中隨機(jī)抽得的號(hào)碼為009，所以全部抽到的號(hào)碼為，依據(jù)條件列出不等式即可解得A，B，C三個(gè)區(qū)的人數(shù).【詳解】由題意知抽樣間隔為，因?yàn)樵诘谝欢沃须S機(jī)抽得的號(hào)碼為009，故全部抽到的號(hào)碼為，依據(jù)條件得：A區(qū)：，即，所以可以?。?,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共11人，同理，可得B區(qū)抽中21人，C區(qū)抽中18人.故選：D.9.設(shè)數(shù)據(jù)，，，……，的平均數(shù)為，方差為5，數(shù)據(jù)，，，……，的平均數(shù)為8，方差為，則、的值分別是（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)干脆求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)，，，……，的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)，，，……，的平均數(shù)為8，，解得,數(shù)據(jù)，，，……，的方差為5，數(shù)據(jù)，，，……，的方差為，故選：D10.已知三棱錐的底面是正三角形，平面，且，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖所示，連接各線段，證明平面，得到即為直線與平面所成角，再計(jì)算線段長(zhǎng)度得到答案.【詳解】如圖所示：為中點(diǎn)，連接，，作于.平面，平面，故，，，故平面，平面，故，又，，故平面，即即為直線與平面所成角.設(shè)，則，，故.故選：B11.已知實(shí)數(shù)，滿意：，則的取值范圍為（）A.， B.， C.， D.，【答案】A【解析】【分析】確定圓心和半徑，將題目轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和點(diǎn)直線的斜率，畫出圖像，計(jì)算角度，計(jì)算斜率得到答案.【詳解】表示圓心為，半徑的圓，表示點(diǎn)和點(diǎn)直線的斜率，如圖所示：直角中，，故，，故，同理可得，對(duì)應(yīng)的斜率為和.故，故選：A12.已知三棱柱ABC—A1B1C1的外接球的半徑為R，若AA1⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，則三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)三棱柱的高為，底面三角形的邊長(zhǎng)為，依據(jù)勾股定理結(jié)合均值不等式得到，再計(jì)算側(cè)面積即可.【詳解】設(shè)三棱柱的高為，底面三角形的邊長(zhǎng)為，如圖所示：易知，在直角中：，即，即，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.側(cè)面積.故選：C第Ⅱ卷二、填空題(每小題5分，共20分，請(qǐng)把正確答案填在答題卡中的橫線上).13.過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是__________________.【答案】【解析】【分析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，代點(diǎn)P計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，代入點(diǎn)得，解得所以過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是故答案為：14.已知，，則__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出，進(jìn)而依據(jù)向量模的坐標(biāo)公式計(jì)算得解.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?15.三棱錐中，底面是銳角三角形，垂直平面，若其三視圖中主視圖和左視圖如圖所示，則棱的長(zhǎng)為______【答案】【解析】【分析】依據(jù)三視圖，求得的長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可求得.【詳解】依據(jù)主視圖可知，點(diǎn)在的投影位于的中點(diǎn)，不妨設(shè)其為，故可得，依據(jù)左視圖可知：，則，又面面，故可得，則.故答案為：.16.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M、N在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，分別滿意：，平面，設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度分別為m、n，則_______________.【答案】##【解析】【分析】的軌跡為半徑為2的球與正方體表面的交線，即3個(gè)半徑為2的圓弧，要滿意平面，則N在平行于平面的平面與正方體表面的交線上，可證得為，最終求值即可得【詳解】點(diǎn)M、N在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，由，則的軌跡為半徑為2的球與正方體表面的交線，即3個(gè)半徑為2的圓弧，故.正方體中，平面，平面，故平面平面，當(dāng)在上時(shí)，即滿意平面且N在正方體的表面上，故，故.故答案為：三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟).17.學(xué)習(xí)了《中學(xué)數(shù)學(xué)必修3》的內(nèi)容后，高二年級(jí)某學(xué)生認(rèn)為：月考成果與月考次數(shù)存在相關(guān)關(guān)系.于是他收集了自己進(jìn)入高二以后的前5次月考成果，列表如下：第次月考12345月考成果85100100105110經(jīng)過進(jìn)一步探討，他發(fā)覺：月考成果與月考的次數(shù)x具有線性相關(guān)關(guān)系.（1）求關(guān)于的線性回來方程；（2）推斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)（只寫出結(jié)論即可）.（3）按支配，高二年級(jí)兩學(xué)期共有8次月考，請(qǐng)你預(yù)料該同學(xué)高二最終一次月考成果（結(jié)果保留整數(shù)）．【答案】（1）（2）正相關(guān)（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)已知數(shù)據(jù)干脆計(jì)算回來方程即可；（2）結(jié)合回來方程的系數(shù)推斷即可；（3）依據(jù)（1）中方程計(jì)算時(shí)的值，估計(jì)即可.【小問1詳解】解：依據(jù)已知可得，，所以，，，所以，，，所以，關(guān)于的線性回來方程為【小問2詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于的線性回來方程為，所以，變量與之間是正相關(guān).【小問3詳解】解：結(jié)合（1）得關(guān)于的線性回來方程為，所以，當(dāng)時(shí)，所以，高二最終一次月考的成果大約為分.18已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱中心.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)二倍角公式結(jié)合協(xié)助角公式化簡(jiǎn)得，進(jìn)而可得周期；（2）將代入的單調(diào)增減區(qū)間，對(duì)稱中心，求出即為所求.【小問1詳解】由已知?jiǎng)t最小正周期；【小問2詳解】令，得令，得令，得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間，對(duì)稱中心19.當(dāng)前，新冠肺炎疫情防控形勢(shì)依舊困難嚴(yán)峻.為進(jìn)一步增加學(xué)生的防控意識(shí)，讓全體學(xué)生充分了解新冠肺炎疫情的防護(hù)學(xué)問，提高防護(hù)實(shí)力，做到科學(xué)防護(hù)，平羅中學(xué)組織學(xué)生進(jìn)行了新冠肺炎疫情防控科普學(xué)問線上問答，共有100人參與了這次問答，將他們的成果（滿分100分）分成六組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中a的值；（2）試估計(jì)這100人的問答成果的中位數(shù)和平均數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（3）用分層抽樣的方法從問答成果在[70，100]內(nèi)的學(xué)生中抽取24人參與疫情防控學(xué)問宣講，那么在[70，80)，[80，90)，[90，100]內(nèi)應(yīng)各抽取多少人？【答案】（1）（2）中位數(shù)為73，平均數(shù)為72（3）12,10,2【解析】【分析】（1）干脆利用頻率和為1計(jì)算得到答案.（2）干脆利用平均數(shù)和中位數(shù)的公式計(jì)算即可.（3）依據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系計(jì)算得到答案.【小問1詳解】，解得.【小問2詳解】，故中位數(shù)為.平均數(shù)為.【小問3詳解】，[70，80)，[80，90)，[90，100]內(nèi)應(yīng)各抽人數(shù)分別為：，，.20.在△ABC中，、、分別是角A、B、C的對(duì)邊，.（1）求B；（2）若，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先利用余弦定理角化邊，整理后干脆用余弦定理求角；（2）利用面積公式和題中面積相等構(gòu)造一個(gè)方程，再用余弦定理構(gòu)造一個(gè)方程，解方程組即可.【小問1詳解】，由余弦定理可得，整理得，，又；【小問2詳解】由已知，整理得①又，整理得②由①②得或周長(zhǎng)為或△ABC的周長(zhǎng)為或21.數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，當(dāng)時(shí)，.（1）證明：是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將遞推式變形為，消去即可證明，再依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）變形得，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算，再視察即可得結(jié)果.【小問1詳解】由得因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，故，，又所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.即；【小問2詳解】由（1）得，，，則，，即.22.如圖1，在直角梯形中，，，，E是AB的中點(diǎn).沿DE將折起，使得，如圖2所示.在圖2中，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)