適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測二十七直線與平面平行新人教A版必修第二冊

PAGE二十七直線與平面平行(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共25分，多選題全部選對得5分，選對但不全對的得2分，有選錯(cuò)的得0分)1．已知S為四邊形ABCD外一點(diǎn)，G，H分別為SB，BD上的點(diǎn)，若GH∥平面SCD，則()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能【解析】選B.因?yàn)镚H∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，明顯GH與SA，SC均不平行，故選B.2．(2024·蘇州高一檢測)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AA1和BB1的中點(diǎn)，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于點(diǎn)G，H，則GH與AB的位置關(guān)系是()A.平行B．相交C．異面D．平行或異面【解析】選A.由長方體的性質(zhì)知，EF∥AB，EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，因?yàn)镋F?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，所以EF∥GH.又EF∥AB，所以GH∥AB.3．若直線l∥平面α，則過l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a，b，c，……，那么這些交線的位置關(guān)系為()A．都平行B．都相交且肯定交于同一點(diǎn)C．都相交但不肯定交于同一點(diǎn)D．都平行或交于同一點(diǎn)【解析】選A.因?yàn)橹本€l∥平面α，所以依據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)知l∥a，l∥b，l∥c，……，所以a∥b∥c∥…….4．假如點(diǎn)M是兩條異面直線外一點(diǎn)，則過點(diǎn)M且與a，b都平行的平面()A．有兩個(gè)B．恰有一個(gè)C．沒有或只有一個(gè)D．有多數(shù)個(gè)【解析】選C.將a，b平移至過點(diǎn)M時(shí)，只能確定一個(gè)平面．若a或b在此平面內(nèi)時(shí)，不符合條件，即不存在這樣的平面；若a，b均不在此平面內(nèi)時(shí)，符合條件，即只有一個(gè)平面．5．(多選題)若直線a平行于平面α，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)平行于α內(nèi)的全部直線B．α內(nèi)有多數(shù)條直線與a平行C．直線a上的點(diǎn)到平面α的距離相等D．α內(nèi)存在多數(shù)條直線與a成90°角【解析】選BCD.因?yàn)橹本€a平行于平面α，所以a與平面α內(nèi)的直線平行或異面，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，C，D正確．二、填空題6．(5分)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則A1C1與平面ACE的位置關(guān)系為________．【解析】因?yàn)锳1C1∥AC，A1C1?平面ACE，AC?平面ACE，所以A1C1∥平面ACE.答案：平行三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過點(diǎn)G和AP作平面，交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.【證明】如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接MO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．又因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，所以AP∥OM.又因?yàn)锳P?平面BDM，OM?平面BDM，所以AP∥平面BDM.因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BDM＝GH，AP?平面PAHG，所以AP∥GH.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：BC1∥平面CA1D.【證明】如圖所示，連接AC1交A1C于點(diǎn)O，連接OD，則O是AC1的中點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥BC1.又因?yàn)镺D?平面CA1D，BC1?平面CA1D，所以BC1∥平面CA1D.8．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1上的一點(diǎn)，P是AD的延長線與A1C1延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA1，求證：CD＝C1D.【證明】如圖，連接AB1與BA1交于點(diǎn)O，連接OD，因?yàn)镻B1∥平面BDA1，PB1?平面AB1P，平面AB1P∩平面BDA1＝OD，所以O(shè)D∥PB1，又因?yàn)锳O＝B1O，所以AD＝PD，又因?yàn)锳C∥C1P，所以CD＝C1D.(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，當(dāng)BD∥平面EFGH時(shí)，下列結(jié)論中正確的是()A．E，F(xiàn)，G，H肯定是各邊的中點(diǎn)B．G，H肯定是CD，DA的中點(diǎn)C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC【解析】選D.由于BD∥平面EFGH，由線面平行的性質(zhì)定理，有BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.2．直線a∥平面α，α內(nèi)有n條直線交于一點(diǎn)，則這n條直線中與直線a平行的直線()A．至少有一條 B．至多有一條C．有且只有一條 D．沒有【解析】選B.設(shè)這n條直線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P不在直線a上，那么直線a和點(diǎn)P確定一個(gè)平面β，則點(diǎn)P既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi)，則平面α與平面β相交．設(shè)交線為直線b，則直線b過點(diǎn)P.又直線a∥平面α，a?平面β，則a∥b.很明顯這樣作出的直線b有且只有一條，那么直線b可能在這n條直線中，也可能不在，即這n條直線中與直線a平行的直線至多有一條．3．四棱錐S-ABCD的全部的棱長都等于2，E是SA的中點(diǎn)，過C，D，E三點(diǎn)的平面與SB交于點(diǎn)F，則四邊形DEFC的周長為()A．2＋eq\r(3)B．3＋eq\r(3)C．3＋2eq\r(3)D．2＋2eq\r(3)【解析】選C.由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，即AB∥平面DCFE，因?yàn)槠矫鍿AB∩平面DCFE＝EF，所以AB∥EF.因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EF＝1，DE＝CF＝eq\r(3).所以四邊形DEFC的周長為3＋2eq\r(3).二、填空題(每小題5分，共15分)4.(2024·鄭州高一檢測)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，AC交BD于點(diǎn)O，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，則λ的值為________．【解析】設(shè)AO交BE于點(diǎn)G，連接FG.因?yàn)镺，E分別是BD，AD的中點(diǎn)，所以eq\f(AG,AO)＝eq\f(2,3)，則有eq\f(AG,AC)＝eq\f(1,3)，因?yàn)镻C∥平面BEF，平面BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，則eq\f(AF,AP)＝eq\f(AG,AC)＝eq\f(1,3)，即λ＝3.答案：35．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，若AP∥平面BDEF，則線段AP長度的取值范圍是__________．【解析】如圖所示，分別取棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)M，N，連接MN，連接B1D1，因?yàn)镸，N，E，F(xiàn)為所在棱的中點(diǎn)，所以MN∥B1D1，EF∥B1D1，所以MN∥EF，又MN?平面BDEF，EF?平面BDEF，所以MN∥平面BDEF；連接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，可得NF∥AB，NF＝AB，則四邊形ANFB為平行四邊形，則AN∥FB，而AN?平面BDEF，F(xiàn)B?平面BDEF，則AN∥平面BDEF.又AN∩NM＝N，所以平面AMN∥平面BDEF.又P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，且AP∥平面BDEF，所以P點(diǎn)在線段MN上．在Rt△AA1M中，AM＝eq\r(AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋A1M2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，同理，在Rt△AA1N中，求得AN＝eq\r(5)，則△AMN為等腰三角形．當(dāng)P在MN的中點(diǎn)時(shí)，AP最小為eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),2)，當(dāng)P與M或N重合時(shí)，AP最大為eq\r(5).所以線段AP長度的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\r(5))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\r(5)))6．設(shè)m，n是平面α外的兩條直線，給出三個(gè)論斷：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的兩個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，構(gòu)造命題，寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)命題：________；________(用序號表示).【解析】設(shè)過m的平面β與α交于l，因?yàn)閙∥α，所以m∥l，因?yàn)閙∥n，所以n∥l.因?yàn)閚?α，l?α，所以n∥α.答案：①②?③①③?②三、解答題(每小題10分，共20分)7.(2024·菏澤高一檢測)如圖，四邊形ABCD是矩形，P?平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于點(diǎn)E，交DP于點(diǎn)F，求證：四邊形BCFE是梯形．【證明】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以BC∥AD，因?yàn)锳D?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD，因?yàn)槠矫鍮CFE∩平面PAD＝EF，BC?平面BCFE，所以BC∥EF.因?yàn)锳D＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，所以四邊形BCFE是梯形．【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知直線a，b和平面α，若a∥b，a∥α，b?α，求證：b∥α.【證明】如圖，過a，與平面α內(nèi)一點(diǎn)P作平面β，則平面β與平面α相交，設(shè)交線為c.因?yàn)閍∥α，a?β，α∩β＝c，所以a∥c.因?yàn)閍∥b，所以b∥c.又因?yàn)閏?α，b?α，所以b∥α.8．如圖，AB，CD為異面直線，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分別交α于M，N兩點(diǎn)．求證：AM∶MC＝BN∶ND.【證明】連接AD交平面α于點(diǎn)E，連接ME和NE.如圖所示，因?yàn)槠矫鍭CD∩α＝ME，CD∥α，所以CD∥ME，所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(AE,ED).同理可得EN∥AB，所以eq\f(AE,ED)＝eq\f(BN,ND).所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND)，即AM∶MC＝BN∶ND.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.如圖所示，直線a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α兩側(cè)，點(diǎn)B，C∈a，AB，AC分別交平面α于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，求EF的長．【解析】由于點(diǎn)A不在直線a上，則確定一個(gè)平面β，所以α∩β＝EF，因?yàn)閍∥平面α，a?β，所以EF∥a，所以eq\f(EF,BC)＝eq\f(AF,AC)，所以EF＝eq\f(AF×BC,AC)＝eq\