2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列單元綜合測(cè)試卷新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第四章數(shù)列單元綜合測(cè)試卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意數(shù)列其中，，，，則其通項(xiàng)公式可以為故選:B.2．?dāng)?shù)列滿意，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，，，.故選：C.3．已知是等差數(shù)列，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，則故選：B.4．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，可得.故選：D.5．某種細(xì)胞起先時(shí)有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去1個(gè)依據(jù)此規(guī)律，12小時(shí)后細(xì)胞存活個(gè)數(shù)（

）A．2048 B．2049 C．4096 D．4097【答案】D【解析】依題意，1小時(shí)后的細(xì)胞個(gè)數(shù)為，2小時(shí)后的細(xì)胞個(gè)數(shù)為，3小時(shí)后的細(xì)胞個(gè)數(shù)為，…，則小時(shí)后的細(xì)胞個(gè)數(shù)為，所以12小時(shí)后細(xì)胞存活個(gè)數(shù)是.故選：D6．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證：時(shí)，若已假設(shè)（且k為偶數(shù)）時(shí)等式成立，則還須要再證（

）A．時(shí)等式成立 B．時(shí)等式成立C．時(shí)等式成立 D．時(shí)等式成立【答案】B【解析】若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時(shí)命題為真，因?yàn)閚只能取偶數(shù)，所以還須要證明成立．故選：B．7．設(shè)等差數(shù)列滿意，，其前項(xiàng)和為，若數(shù)列也為等差數(shù)列，則的最大值是（）A．310 B．212 C．180 D．121【答案】D【解析】∵等差數(shù)列滿意，，設(shè)公差為，則，其前項(xiàng)和為，∴，，，，∵數(shù)列也為等差數(shù)列，∴，∴，解得．∴，，∴，由于為單調(diào)遞減數(shù)列，∴，故選：D．8．對(duì)于數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得，，則稱是數(shù)列的“谷值”，k是數(shù)列的“谷值點(diǎn)”．在數(shù)列中，若，則數(shù)列的“谷值點(diǎn)”為（

）A．2 B．7 C．2，7 D．2，5，7【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，，，，，，，，?dāng)，，，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，，，，所以數(shù)列的“谷值點(diǎn)”為，．故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知等差數(shù)列、、、，則（

）A．公差 B．該數(shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．是該數(shù)列的第項(xiàng)【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，等差數(shù)列的公差為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由，解得，D對(duì).故選：ACD.10．在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則下列說法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】AC【解析】∵在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，解得，，∴，或者，，∴，不符合題意，舍去，故A正確，，則，常數(shù)，∴數(shù)列不是等比數(shù)列，故B不正確；，故C正確；∵，∴，，∴數(shù)列不是公差為2的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤，故選：AC11．己知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和有最大值C．若等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為170，前10項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為9∶8，則公差為2D．若是等差數(shù)列，則三點(diǎn)、、共線【答案】BCD【解析】A項(xiàng)，時(shí)，，時(shí)，時(shí)，，所以，不是等差數(shù)列；B項(xiàng)，由已知可得，，又所以，，.所以，有最大值；C項(xiàng)，由已知可得，偶數(shù)項(xiàng)和為90，奇數(shù)項(xiàng)和為80，兩者作差為，所以；D項(xiàng)，設(shè)三點(diǎn)分別為A，B，C，，則，，.則，，，所以三點(diǎn)共線.故選：BCD.12．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來探討數(shù)，他們依據(jù)沙粒或小石子所排列的形態(tài)，把數(shù)分成很多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，其次行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C．D．，總存在，使得成立【答案】BCD【解析】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，3，6，10，…，則有，利用累加法，得，得到；n=1成立正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，4，9，16，…，則有，利用累加法，得，得到,n=1成立對(duì)于A，，利用裂項(xiàng)求和法：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，解得；令，解得；故B正確；對(duì)于C，，則，整理得，，故C正確；對(duì)于D，取，且，則令，則有，故，總存在，使得成立，故D正確；故選：BCD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若等差數(shù)列滿意，，則當(dāng)n＝_____時(shí)，的前n項(xiàng)和最大．【答案】8【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，∴，又，∴，∴等差數(shù)列的前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)起先為負(fù)數(shù)，∴等差數(shù)列的前8項(xiàng)和最大，故答案為：8．14．若數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則__________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，，，，，所?故答案為：15．已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則______.【答案】6【解析】由已知得，，令n=5，則，，所以，故答案為：6.16．已知數(shù)列?滿意:?，則數(shù)列?的前?項(xiàng)和?為_______【答案】【解析】因?yàn)?，所以?dāng)?時(shí)，?，故?；當(dāng)?時(shí)，?，則，?兩式相減得:?，故?，經(jīng)檢驗(yàn):滿意，所以當(dāng)?時(shí)，?，所以?，故?.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）若數(shù)列滿意：，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中為常數(shù)，且.(1)若成等比數(shù)列，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前21項(xiàng)和.【解析】（1）依據(jù)題意可得，又，故可得，又成等比數(shù)列，故，即，解得（舍）或，故.（2）當(dāng)時(shí)，，則，兩式作差可得：，故該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，故.故數(shù)列的前21項(xiàng)和.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，滿意，故對(duì)隨意的，.（2），令，解得，且，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，的最小值為.19．（12分）一個(gè)計(jì)算裝置有一個(gè)入口和一輸出運(yùn)算結(jié)果的出口，將自然數(shù)列中的各數(shù)依次輸入口，從口得到輸出的數(shù)列，結(jié)果表明：①?gòu)目谳斎霑r(shí)，從口得；②當(dāng)時(shí)，從口輸入,從口得到的結(jié)果是將前一結(jié)果先乘以自然數(shù)列中的第個(gè)奇數(shù)，再除以自然數(shù)列中的第個(gè)奇數(shù).試問：(1)從口輸入2和3時(shí)，從口分別得到什么數(shù)？(2)從口輸入100時(shí)，從口得到什么數(shù)？并說明理由.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2），，…，故猜想；理由：明顯時(shí)，猜想成立，假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，則時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，猜想成立，，故從口輸入100時(shí)，從口得的數(shù)為.20．（12分）記為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，已知.(1)求{}的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則；又∵，則是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴.（2）因?yàn)楫?dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述：數(shù)列的前項(xiàng)和為.21．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿意．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列滿意求最小的實(shí)數(shù)m，使得對(duì)一切正整數(shù)k均成立．【解析】（1）由已知得，，所以．因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）證明：（2）由（1），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，故，由所以m的最小值為．22．（12分）已