2024-2025學年新教材高中數(shù)學第四章數(shù)列單元綜合測試卷新人教A版選擇性必修第一冊

第四章數(shù)列單元綜合測試卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數(shù)列的通項公式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意數(shù)列其中，，，，則其通項公式可以為故選:B.2．數(shù)列滿意，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，，，.故選：C.3．已知是等差數(shù)列，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，則故選：B.4．若數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，，當時，，經(jīng)檢驗，可得.故選：D.5．某種細胞起先時有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個依據(jù)此規(guī)律，12小時后細胞存活個數(shù)（

）A．2048 B．2049 C．4096 D．4097【答案】D【解析】依題意，1小時后的細胞個數(shù)為，2小時后的細胞個數(shù)為，3小時后的細胞個數(shù)為，…，則小時后的細胞個數(shù)為，所以12小時后細胞存活個數(shù)是.故選：D6．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證：時，若已假設(shè)（且k為偶數(shù)）時等式成立，則還須要再證（

）A．時等式成立 B．時等式成立C．時等式成立 D．時等式成立【答案】B【解析】若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時命題為真，因為n只能取偶數(shù)，所以還須要證明成立．故選：B．7．設(shè)等差數(shù)列滿意，，其前項和為，若數(shù)列也為等差數(shù)列，則的最大值是（）A．310 B．212 C．180 D．121【答案】D【解析】∵等差數(shù)列滿意，，設(shè)公差為，則，其前項和為，∴，，，，∵數(shù)列也為等差數(shù)列，∴，∴，解得．∴，，∴，由于為單調(diào)遞減數(shù)列，∴，故選：D．8．對于數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得，，則稱是數(shù)列的“谷值”，k是數(shù)列的“谷值點”．在數(shù)列中，若，則數(shù)列的“谷值點”為（

）A．2 B．7 C．2，7 D．2，5，7【答案】C【解析】因為，所以，，，，，，，，當，，，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，，，，所以數(shù)列的“谷值點”為，．故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知等差數(shù)列、、、，則（

）A．公差 B．該數(shù)列的通項公式為C．數(shù)列的前項和為 D．是該數(shù)列的第項【答案】ACD【解析】對于A選項，等差數(shù)列的公差為，A對；對于B選項，該數(shù)列的通項公式為，B錯；對于C選項，數(shù)列的前項和為，C對；對于D選項，由，解得，D對.故選：ACD.10．在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和，若，，則下列說法正確的是（

）A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C． D．數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】AC【解析】∵在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和，，，解得，，∴，或者，，∴，不符合題意，舍去，故A正確，，則，常數(shù)，∴數(shù)列不是等比數(shù)列，故B不正確；，故C正確；∵，∴，，∴數(shù)列不是公差為2的等差數(shù)列，故D錯誤，故選：AC11．己知數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前n項和有最大值C．若等差數(shù)列的前10項和為170，前10項中，偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為9∶8，則公差為2D．若是等差數(shù)列，則三點、、共線【答案】BCD【解析】A項，時，，時，時，，所以，不是等差數(shù)列；B項，由已知可得，，又所以，，.所以，有最大值；C項，由已知可得，偶數(shù)項和為90，奇數(shù)項和為80，兩者作差為，所以；D項，設(shè)三點分別為A，B，C，，則，，.則，，，所以三點共線.故選：BCD.12．古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來探討數(shù)，他們依據(jù)沙粒或小石子所排列的形態(tài)，把數(shù)分成很多類，如圖中第一行圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，其次行圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C．D．，總存在，使得成立【答案】BCD【解析】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，3，6，10，…，則有，利用累加法，得，得到；n=1成立正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，4，9，16，…，則有，利用累加法，得，得到,n=1成立對于A，，利用裂項求和法：，故A錯誤；對于B，令，解得；令，解得；故B正確；對于C，，則，整理得，，故C正確；對于D，取，且，則令，則有，故，總存在，使得成立，故D正確；故選：BCD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若等差數(shù)列滿意，，則當n＝_____時，的前n項和最大．【答案】8【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，∴，又，∴，∴等差數(shù)列的前8項為正數(shù)，從第9項起先為負數(shù)，∴等差數(shù)列的前8項和最大，故答案為：8．14．若數(shù)列的通項公式，前項和為，則__________．【答案】【解析】因為，所以，，，，，所以.故答案為：15．已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則______.【答案】6【解析】由已知得，，令n=5，則，，所以，故答案為：6.16．已知數(shù)列?滿意:?，則數(shù)列?的前?項和?為_______【答案】【解析】因為，所以當?時，?，故?；當?時，?，則，?兩式相減得:?，故?，經(jīng)檢驗:滿意，所以當?時，?，所以?，故?.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）若數(shù)列滿意：，點在函數(shù)的圖象上，其中為常數(shù)，且.(1)若成等比數(shù)列，求的值；(2)當時，求數(shù)列的前21項和.【解析】（1）依據(jù)題意可得，又，故可得，又成等比數(shù)列，故，即，解得（舍）或，故.（2）當時，，則，兩式作差可得：，故該數(shù)列的奇數(shù)項是首項為，公差為的等差數(shù)列，則，故.故數(shù)列的前21項和.18．（12分）已知數(shù)列的前項和公式為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列，求數(shù)列的前項和的最小值.【解析】（1）當時，；當時，，滿意，故對隨意的，.（2），令，解得，且，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，的最小值為.19．（12分）一個計算裝置有一個入口和一輸出運算結(jié)果的出口，將自然數(shù)列中的各數(shù)依次輸入口，從口得到輸出的數(shù)列，結(jié)果表明：①從口輸入時，從口得；②當時，從口輸入,從口得到的結(jié)果是將前一結(jié)果先乘以自然數(shù)列中的第個奇數(shù)，再除以自然數(shù)列中的第個奇數(shù).試問：(1)從口輸入2和3時，從口分別得到什么數(shù)？(2)從口輸入100時，從口得到什么數(shù)？并說明理由.【解析】（1）當時，；當時，；當時，；（2），，…，故猜想；理由：明顯時，猜想成立，假設(shè)時，猜想成立，即，則時，∴當時，猜想成立，，故從口輸入100時，從口得的數(shù)為.20．（12分）記為數(shù)列{}的前n項和，已知.(1)求{}的通項公式；(2)若，求數(shù)列{}的前n項和.【解析】（1）當時，；當時，，則；又∵，則是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴.（2）因為當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；綜上所述：數(shù)列的前項和為.21．（12分）已知數(shù)列的首項，且滿意．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列滿意求最小的實數(shù)m，使得對一切正整數(shù)k均成立．【解析】（1）由已知得，，所以．因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．（2）證明：（2）由（1），當n為偶數(shù)時，，當n為奇數(shù)時，，故，由所以m的最小值為．22．（12分）已