高中數(shù)學(xué)人教課標(biāo)A版必修5-第04講 數(shù)列復(fù)習(xí)練習(xí)5

第04講數(shù)列

【考點(diǎn)歸納】

考點(diǎn)一：通項(xiàng)公式的問題

1.（2022?江西贛州,二模（理））已知數(shù)列｛｝滿足q=1,當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)4用=%+2",則〃N2

時(shí),a2n-l=()

4’用一44"*2—4門4"-1c4"+1-1

A.

3333

2.（2022?新疆石河子一中模擬預(yù)測（理））正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5"，S?=|L?+—L則（+（+…+-—

（）其中㈤表示不超過X的最大整數(shù).

A.18B.17C.19D.20

?河南鄭州?二模(文))已知數(shù)列｛%｝滿足/=模

3.(2022%,=%,T+2"(“eN”),?2?+i=?2?+(-1)"(neN,)>

則數(shù)列｛叫第2022項(xiàng)為()

A.2'0,2-2B.2|0|2-3C.2,0"-2D.21(,1,-1

考點(diǎn)二：遞推數(shù)列問題

4.（2022?浙江紹興?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足%=；，*=m-4+1/=”出…可，則X（）

「11]「11][11]r11-

A.尹三B.尹,聲C,尹姿D,浮5

5.（2022?浙江?慈溪中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛q｝滿足：4=弓，且4,”=ln（a“+l）-sin4,則下列關(guān)于數(shù)列｛q｝的

敘述正確的是（）

11a22

A-”，，>%+1B---^an<--C.D-

6.（2022.浙江.模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：4=-；,且。川=ln（4+l）-sinq,,則下列關(guān)于數(shù)列｛叫的敘述正

確的是（）

??a?2

A.an>an+tB.C.??+1￡----D.

24an+24-

考點(diǎn)三：等差數(shù)列問題

7.（2022?河南?寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知S“為等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，且滿足1>0,$9<。，

7；+???+%~,若對(duì)任意的正整數(shù)〃，恒有7；2”，則正整數(shù)%的值是（）

A.1B.4C.7D.10

8.（2022.湖南師大附中二模）設(shè)數(shù)列｛a,,｝滿足q+24=3,點(diǎn)勺（〃，可）對(duì)任意的〃eN”,都有*'=（1,2）則數(shù)列｛%｝

的前〃項(xiàng)和5,為（）

9.（2022?浙江?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛q｝（〃=1,2,3,…狀次wN,）滿足Va向43%嗎=1,若%+%+—+%=5,

則上的最大值是（）

A.8B.9C.10D.11

考點(diǎn)四：等比數(shù)列問題

10.（2022?江蘇?沐陽如東中學(xué)模擬預(yù)測）著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征,

其操作過程如下：將閉區(qū)間[0,1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段（；，|）,記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)

0,1,1,1分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的

基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩

下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于],則需要操作的次數(shù)〃的最小值為（）

參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010,lg3=0.4771

A.6B.7C.8D.9

11.（2022?浙江省義烏中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛。,,｝、也｝、匕｝滿足

q=4=q=l,cn^an+]-a?,c?+2=^--c?（neH）,S?=—+—+■■■■

么b2b3b”%-3a-an-n

,則下列有可能成立的是（）

A.若｛%｝為等比數(shù)列，則Wg>為mB.若｛%｝為遞增的等差數(shù)列，貝I$2022<^2022

C.若｛%｝為等比數(shù)列，則囁2<%”.若｛%｝為遞增的等差數(shù)列，則$2022>^2022

12.（2022?安徽黃山?二模（理））己知數(shù)列｛《,｝滿足4=1,（2+?！埃?-。的）=2,設(shè)的前〃項(xiàng)和為5,,,則

%。22@2022+2022）的值為（）

A.22022-2B.22022-!C.2D.I

考點(diǎn)五：數(shù)列求和問題

13.（2022?天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)模擬預(yù)測）等差數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和為5“，數(shù)列也,｝是等比數(shù)列，滿足q=3,

々=1,4+$2=10,6一24=%.（I）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列｛c,｝滿足％T=a“％=（-l）Z2,

求數(shù)列｛4｝的前2〃項(xiàng)和Q.（III）求￡以）"（64+5）。

人=14%+1

14.（2022?廣東汕頭?一模）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，3a“=2S,+2〃（〃eN）⑴證明：數(shù)列｛q+1｝為等比數(shù)

列，并求數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和為S“；（2）設(shè)2=log3（a”i+l）,證明：…+'<L

15.（2022?天津?耀華中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)｛叫是等比數(shù)列，公比大于0,他,｝是等差數(shù)列，（〃eN）已知勾=1,%=%+2,

1,3為<〃<3卬

4=2+々，為=打+24.（I）求｛為｝和｛〃,｝的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列｛%｝滿足q=0=1,c“=

ak,n=3*

3"

其中丘⑴求數(shù)列｛）｝的通項(xiàng)公式;）若，叫

N?%&T5?("€N")的前〃項(xiàng)和7；,求T}n+(〃€N)

i=\

【高考達(dá)標(biāo)】

一、單選題

16.（2022?寧夏?銀川一中二模（理））設(shè)S,,為等差數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和，若3s3=$2+$4，4=2,則％=

A.-12B.-10C.10D.12

17.（2022?全國?高三課時(shí)練習(xí)）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石

板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的

最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

18.（2022?重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）在等差數(shù)列｛q｝中，4=-9,%=-1.記7；=q的“q（〃=1,2,…），則數(shù)列｛用

().

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

19.（2022?天津經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)一模）已知數(shù)列｛《,｝是等比數(shù)列，數(shù)列｛，｝是等差數(shù)列，若4?4?4。=,

則.署T的值是

4+仇+如=7%，

C*

A.1RD.-----D.-V3

2

20.（2022?黑龍江大慶?三模（理））《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長1尺.蒲生

日自半，莞生日自倍.問幾何日而長等？意思是：今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前

一天的一半，莞每天長高前一天的2倍.若蒲、莞長度相等，則所需時(shí)間為

（結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù)：^2=0.3010,忠3=0.4771.）

A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天

2WeN

21.（2022?廣東?華南師大附中模擬預(yù)測）設(shè)S”是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若q,+5“=2",藝"=?,1+2-?n+l（*）-

則數(shù)列的前99項(xiàng)和為

“97c98c99c100

A.—B.—C.-----D.-----

9899100101

22.（2022?陜西西安中學(xué)二模（理））己知數(shù)列｛叫滿足句,-%“T=3"-1,=3"+5（〃eN）則數(shù)列｛%｝

的前40項(xiàng)和S,o=（）

A.32B.31c.9J98D.92。+98

22

23.（2022?陜西?寶雞市渭濱區(qū)教研室三模（理））已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若是等差數(shù)列，且九=0,

4^6=2S3+18,則q=（）

A.1B.-9C.10D.-10

24.（2022.四川.成都七中二模（理））我們把工=2*+1（〃=0,1,2…）叫“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家）.設(shè)

%=1小2（工-1），〃=1，2,s,表示數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)之和，則使不等式2+/丁+…+聯(lián)一〈意成立

的最小正整”數(shù)的值是

A.8B.9C.10D.11

25.（2022?四川師范大學(xué)附屬中學(xué)二模（理））設(shè)等差數(shù)列｛《,｝,也｝的前〃項(xiàng)和分別是S“，T?,若^=5篙，則

26.（2022?廣東肇慶?模擬預(yù)測）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,

3,5,....其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，即4+2="向+%（〃eN"），后來人們把這樣的一列數(shù)

組成的數(shù)列｛%｝稱為“斐波那契數(shù)列”.記%3=，，則4+%+%+…+%必=（）

A.f2B.t-1C.fD.f+1

27.（2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)是6=1,前〃項(xiàng)和為S“，且

S向=2S.+3〃+1（〃GN*）,設(shè)c,,=log2（q+3）,若存在常數(shù)%,使不等式161c（"*"）恒成立,則女的取

值范圍為（）

A-[?+0°]B.[如8）C.七+8）口.怎收）

三、填空題

36.（2022?寧夏?銀川一中二模（文））等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且4a$=4,則

log,4+log2a2+log,a3+log,a4+log2a5=.

37.（2022.寧夏石嘴山.一模（理））已知數(shù)列｛4｝滿足4,”+（-1）"4=2〃-1,則數(shù)列｛《,｝的前32項(xiàng)之和為.

38.（2022,全國?高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列因意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，

即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.…在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊

等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列｛??）

滿足：4=%=1,=。"+1+。"（"eN'）,則1+6+%+。7+。9+…+”2021是斐波那契數(shù)列｛“"｝中的第項(xiàng).

39.（2022.全國?高三專題練習(xí)）公比為q的等比數(shù)列｛a.｝滿足：a,=lna10＞0,記102a3...4,則當(dāng)q最小

時(shí)，使4*1成立的最小"值是

40.（2022?寧夏?石嘴山市第三中學(xué)一模（理））己知正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝滿足2%+4=%,若存在兩項(xiàng)a“，a?,使得

8瘋I=4,則2+'的最小值為.

mn

41.（2022.山西.懷仁市第一中學(xué)校一模（理））若數(shù)列｛%｝滿足.=（-DZ,+2"M（“eN"）,令

T

S=。］+%+%+,?■+。［9,7=。，+&+。6+??,+凡0，則—=__________.

S

四、解答題

+

42.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛風(fēng)｝滿足4=1,??+,=f"（1）記"=%”，寫出4，打,并

［a“+2,〃為偶數(shù).

求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；（2）求｛叫的前20項(xiàng)和.

43.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，4=-、，且4s向=3Sn-9.（1）求數(shù)列｛4｝的通

項(xiàng)；⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足她+（〃-4）a.=0（〃eN"）,記他｝的前〃項(xiàng)和為7；,若（4獨(dú)，對(duì)任意〃eN*恒成立，求實(shí)

數(shù)九的取值范圍.

44.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列㈤｝的前〃項(xiàng)和為S,,,S“s=4a”,〃eN*,且4=4.

（1）證明：｛。向-2%｝是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）在①么=。的②"=log,%；③2=上工這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上，并加以解答.

已知數(shù)列｛〃｝滿足，求｛2｝的前〃項(xiàng)和人注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)方案解答計(jì)分.

45.（2022.浙江.高三）已知數(shù)列｛。,,｝的前”項(xiàng)和為5“，且滿足《=1,5?+l=2S?+l,n&N*.

⑴證明：數(shù)列｛S“+l｝為等比數(shù)列；（2）設(shè)2=含-，數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為證明：Tn＜\.

—+1

46.（2022?全國?高三）已知等差數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為%=12,S4=16.⑴求｛叫的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列也｝滿足2=/了北為數(shù)列出｝的前”項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)機(jī)，％（1＜帆＜%）,使得9=37；，？若存在,

求出〃?，上的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

47.（2022?湖南?長沙一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足的2…%=2-2a“，neN\

（1）證明：數(shù)列［匕）是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

12

⑵記?！╡N：S”=北2+疫+…12.證明：當(dāng)時(shí)，＞an+\-

48.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛q｝中，4=2,〃（4川—%）=a.+l.（1）求證：數(shù)列是常數(shù)數(shù)列;

（2）令"=（T）a，S“為數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和，求使得S.W-99的”的最小值.

49.(2022?湖南?雅禮中學(xué)一模)數(shù)列｛q｝中，%=7且2S,,=%,+4〃(〃eN"),其中S“為｛《,｝的前”項(xiàng)和.

..111111/g

(1)求｛q｝的通項(xiàng)公式；(2)證明：/+/+/+…+混■<§-而與("G')?

50.(2022?重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛q｝滿足4+2%+3%+…+5-Da,-+na?="(〃+,4〃1)

(1)求％；(2)求數(shù)列(一1—1的前〃項(xiàng)和1；

Uq+J

(3)已知｛〃｝是公比q大于1的等比數(shù)列，且々=4,4=%，設(shè)-她”，若9“｝是遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)4

的取值范圍

參考答案：

1.C

【解析】【分析】

分析知:當(dāng)％wN*時(shí)旬=出1，%3=%?+4",兩式相減得/、-々*-1=4",則“N2時(shí),利用累加法即可求出答

案.

【詳解】

由〃為奇數(shù)時(shí)％=4,當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)。向=4+2”,可得當(dāng)標(biāo)如*時(shí)知=。21，七7=旬+平,兩式相減得

._1-4"4W-1

。2*+1-a2k-\=4，所以〃22時(shí)a_=4+(%-4)+(%一/)■*--1"(°2〃一1一。2〃-3)=1+4+4-+???+4"?=-——=---.

2nx1—43

故選：C.

2.A

【解析】【分析】

討論〃=1、n>2,根據(jù)總關(guān)系可得S：-S；T=1且S：=l,應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得5'=4，利用放縮法有

2(而F-V^V(VN^-AA口)，注意不等式右側(cè)〃22,進(jìn)而根據(jù)國的定義求目標(biāo)式的值.

【詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，％=S[=5(4+=)，整理得“：=1,又&“>0,故q=S1=l,

ifi、

當(dāng)心2時(shí)，S?=-5?-S?_,+—,可得5”S,，=1,而S：=l,

所以｛0｝是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，則S；=”,又5“>o,故S.=冊(cè)，

由，"+1-?=—■=<—^==-^—t即二>2(J〃+1一冊(cè)),同理可得J<2(冊(cè)-A/^T)且〃22,

Vn+1+Vn2Vn2S.SnS?

-L+-L+...+J_>2x(>/2-1+^-5^+...+VwT-Vio())=2(Vioi-1)>出，

E52^100

J_+J_+...+J_<2x(72-1+73-72+...+^/i00-^/99)+1=19,綜上，—+—+...+—=18.故選：A

，S|00|_S]S2Sl00_

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先利用a.，S“關(guān)系及構(gòu)造法求5“通項(xiàng)公式，再由放縮法及函數(shù)新定義求目標(biāo)式的值.

3.A

【解析】【分析】

先通過條件得到。2“=%"-2+2"+(-l)"T,再利用累加法即可求解.

【詳解】

由%向=4.+(T)"得%-=*2+(T)”’(〃eW,n22),又出“=?2?_,+2",可得%,=生一+2"+㈠嚴(yán)，

所以=電+2~+(—1),牝=%+2,+(—1)>4=+24+(—1),…22=%020+2">"+(—1)，將上式相加得

，210,023,,1

a2022=a2+(-l)+(-l)+...(-l)+2+2+...+2°=2+4)1/絲=2*2.故選:A.

1—2

4.B

【解析】【分析】

根據(jù)遞推式易得;4%-1,以及-吭)，根據(jù)累加法得出一；<高，進(jìn)而寫<最，類似可得

進(jìn)而可得結(jié)論.

8〃

[詳解]________

顯然出>。，由%=擊；一4,+1=>吮-1=a”(a：-1),故-1與-1同號(hào)，

3a]

由a：T=*<°得",<1，故1一片+產(chǎn)"(1-?")<!-?"=>??+1所以萬4??<。向<1，

又4，=嗎=，所以<=。分/=鼻一=：(1一始)；由

7

an-1%-13'

]=""(]-"；)=1-??+1=?+""a“(1~a?)<a(1-a),所以—-->—---r=-H-----

"""")"+l1+*八八"??(!-??)??1-，

111,11,1,,1

故■；------；---->—>1,累力口得------；---->n-\^-------->n+l=>l-an<--,

1-/+11-q明1-凡l-?i1-凡"+1

24428

所以1-4；=(1+/)(1-4)<2(1-?)<^7P所以<=卅2-q=3(1-點(diǎn))

所以心<3<!=3,另一方面，由J。3=《,(1一4：)>。：(1一。；)>0(〃22),所以

jxZZo2

111111118118

—

1""+1"JIa”)a“1a“1—an+l1—anana251ci?+l1—々5

]1R2Q?7c

故"j—/+-x(/t-2)=—(3H-1)<—,即1一。；+1>—,

1一?！?11一。251558〃

4,\451I11

所以4,=鼻(1-成)>力丁>記=9；綜合得</<故選：B.

JJoXZXJ"ZZZ

5.D

【解析】【分析】

構(gòu)造函數(shù)〃x)=ln(x+l)-sinx(-g〈x<0),由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，從而利用數(shù)學(xué)歸納法證明-g4/<0,然后

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-x=ln(x+l)—sinx—x(-1<x<0),利用導(dǎo)數(shù)證明g(x)>0,得/(x)>x,利用此不等式可

直接判斷A,對(duì)選項(xiàng)B,由數(shù)列｛?,｝的單調(diào)性與有界性知其極限存在，設(shè);吧q=A，對(duì)數(shù)列的遞推關(guān)系求極值可得

A=0,從而判斷B,對(duì)選項(xiàng)C,引入函數(shù)設(shè)p(x)=ln(x+l)——-(-1<%<0),由導(dǎo)數(shù)證明pa)v0,得

x+2

9r

ln(x+l)<--(-l<x<0),從而利用不等式性質(zhì)得出數(shù)列｛〃.｝的不等關(guān)系，判斷C,利用判斷選項(xiàng)C所得正確不等

x+2

式變形，并換元引入新數(shù)列2=-,，得｛〃｝前后項(xiàng)關(guān)系(求對(duì)數(shù)再變化)，類比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法得出結(jié)

論后判斷D.

【詳解】

首先我們證明：-g4a“<0,利用數(shù)學(xué)歸納法.事實(shí)上，當(dāng)〃=1時(shí)，-；4q<0；

假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)，-g?4<0,則當(dāng)〃=k+1時(shí)，ak+i=In(ai+1)-sinak.

設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+l)-sinx(-^<x<0),則/[x)=ApCosx>0,則f(x)在-g,。]上單調(diào)遞增，

從而_：4111；+$布1=/(_；]<4+]=/(4)</(0)=0.

當(dāng)一g<xvO時(shí)，設(shè)g(x)=/(x)-x=ln(x+l)-sinx-x(—^<x<0),

貝Ug'(6=~——cosx-1,設(shè)〃(x)=g'(x)=-^——cosx-1,

x+1x+1

"("=一油]+而》<0,則g'(x)在彳,0)上單調(diào)遞減，又g'(一￡]>o，g'⑼<0,

所以存在玉,w(-g,O),使得g'(x(,)=0,-g<x<Xo時(shí)，g'(x)>0,x(><x<0時(shí)，g'(x)<0,

故g(x)在-；,0)上先增后減，從而g(x)>min{g(O),g,g)}=0,從而/(x)>x.

對(duì)于A選項(xiàng)：由于a?+1=ln(a?+l)-sina?>a?,故數(shù)列｛a,,｝單調(diào)遞增，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)，由于｛%｝單調(diào)遞增且-；4為<0,從而!吧%=A存在，由4向=111(%+1)-加4,>%可得

A=ln(A+l)-sinA,故A=0,從而!吧％=°.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，由于TVXVO時(shí)，

?r14

設(shè)p(x)=In(x+1)-捻(T<x<0),P'(x)=->0,

(x+l)(x+2)2

0V

所以p(x)是增函數(shù)，〃(x)vp(O)=。，所以ln(x+l)<不受(-1<X<O),

Ovxvl時(shí)，x>sinx,因此有sinx>x(1<x<0),

從而/(x)=ln(x+l)-sinx<Z-—x=工，故/.=ln(q,+1)-sina"〈二,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

x+2x+2+2

2i12|

對(duì)于D選項(xiàng),由于“言<0,即°>癡>一二不令…&，則-2"2%即

%<應(yīng)-2<2千-"+"=2(2-￡|其中24%<b向,故In6向<In2+2In(4-；)<In2+2In2，

從而

2?2

ln%+ln2<2(l叫+ln2),即ln〃,+ln2<2"T(ln4+ln2),2h?<42"'',即-<4*',故勺<一『.從而選項(xiàng)D

正確.故選：D.

［點(diǎn)睛］

難謂點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的性質(zhì)，難度很大，解題難點(diǎn)在于有關(guān)數(shù)列的不等關(guān)系，一是用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，二

是需引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出數(shù)列的不等關(guān)系，考查了學(xué)生的邏輯能力，運(yùn)算求解能力，

屬于困難題.

6.D

【解析】【分析】

2

判定出數(shù)列｛4｝的單調(diào)性判斷選項(xiàng)A；求得知的取值范圍判斷選項(xiàng)B；判定出a?+l與-念方的大小關(guān)系判斷選項(xiàng)C；

判定出與--1r的大小關(guān)系判斷選項(xiàng)D.

4-

【詳解】

首先我們證明：(利用數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)〃=1時(shí)，"1<^,<0；假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)，

則當(dāng)〃=2+1時(shí)，4+1=ln(4+1)-sin%.設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l)-sinxj-4(x<o],則/X(x)=—^-cosx>0,

JX+1

從而一；en；+sin；=?,=/(?*，)</(0)=o.綜上可得一〈4見<0.

則/(X)在上單調(diào)遞增,+,

乙乙乙、，乙)乙

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

當(dāng)_，4x<0時(shí)，^(x)=/(x)-x=ln(x+1)-sinx-A|<x<0|,則g，(x)=-^-----cosx-1,令

2<2)x+1

m(x)=———cosx-1,則加(%)=-?；~y+sinx<0,則&'(x)在一上單調(diào)遞減,

x+1(x+lf2)

又g'(-；)g'(0)<0,故g(x)在-別上先增后減，從而g(x)>mink(0),gf｝=0,從而/(x)>x.

對(duì)于A選項(xiàng)：由于-l<%<O,4M=ln(%+l)-sin%>q,,故數(shù)列｛a,,｝單調(diào)遞增，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

2xov-_y~

對(duì)于C選項(xiàng)，由于當(dāng)一IvxvO時(shí)，有l(wèi)n(x+l)<—:—,sinx>x,從而f(x)=ln(x+l)—sinx<--------x=------

x+2x+2x+2

2

一可

故=ln(a“+l)-sin%<,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

4+2

2]]2|

對(duì)于D選項(xiàng)，由于4+|<二：<0,即。>——>-------2>令么=---，則

an+2a?+i??a“a?

即"a<2b；—<2片一g=2—,其中故In%<In2+21n,-j<ln2+21nd，

2?2

從而In%+ln2<2（lnb“+ln2）,即In"+ln2<，一（lg+ln2）,2b?<4r",即一一<4"，故a“〈-『.從而選項(xiàng)

D正確.故選：D

7.A

【解析】【分析】

先判斷出4>0,%<0,從而d<0,繼而判斷出<…，比較刀與原工的大小關(guān)系，可得答案.

【詳解】

由*=^^=4（%+%）>0，59=9（4+4）=9%<0,所以4+%>0，?5<0,所以q>0,as<0,

所以也,｝的公差d<0,所以當(dāng)時(shí)，4,>0；當(dāng)〃“時(shí)，an<0,

所以4a2>0,a2a3>0,a,a4>0,a4as<0,a5ab>0,...,所以7；<（<7；>7；<7；<…，

X7；=ata2+a2a3+a,a4+a4a5=ata2+a2a7+a4(a,+a5)=ata2+a2a｝+2a｝>T2>7；,故工為｛北｝的最小值,

故女=1,故選：A.

8.A

【解析】【分析】

由嗝=西一礫=（1，4用一?！埃?（1，2），得到4用-4,=2,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解?

【詳解】

因?yàn)槲?西一西=（〃+1，%）-（〃，％）=（1，%-%）=（1，2）,可得刃一%=2,所以｛%｝是公差為2的等差數(shù)

列，由q+2%=3,得《=-；,所以S“=-彳+："（"-1）*2=〃，-：].故選：A.

9.B

【解析】【分析】

_97

設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為"，由題意可得4之丁匚2-4，從而建立關(guān)于左的不等式，求解不等式即可得答案.

2k—13

【詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝公差為d,由川43q，且《=1,

1f(2〃+l)dN—2

得二[1+5—l)d]W1+W3[1+5—=1,2,3,…次一1,即」,n=1,2,???,A:—1,

3[(2n-3)d>-2

2-2-2-2-22

當(dāng)〃時(shí)，-產(chǎn)V2,當(dāng)〃=2,TT時(shí)，^―>—^得此百’所以江正廣3

所以5=4+空=24之人+空心?:^當(dāng)，即/一10左+540,解得&49,所以后的最大值是9.故選：B.

222k—\

10.B

【解析】【分析】根據(jù)題意抽象概括出去掉的各區(qū)間長度為通項(xiàng)公式為的數(shù)列，結(jié)合題意和等比數(shù)列

前〃項(xiàng)求和法列出不等式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解不等式即可.

【詳解】

104

第一次操作去掉：，設(shè)為《；第二次操作去掉設(shè)為公；第三次操作去掉玲，設(shè)為。3，

lx1-

1lt喈整理，得PS，時(shí)步啥"2Tg3)-

=-X——

34

心嗡詈器旨”—S故〃的最小值為7.故選：B.

11.B

【解析】【分析】

若｛為｝為等比數(shù)列，可得a,,=2"T,c"=2"T,進(jìn)而可得〃=4"-'=d可判斷AC；若｛1｝為遞增的等差數(shù)列，利用累

乘法可得心尸51d,再利用裂項(xiàng)相消法可得E,=*1‘-」-，利用累加法可得4="+(”")(〃-l)d,進(jìn)

c

2dgcn+lJ2

而可得(N—'=可判斷BD.

【詳解】

因?yàn)閝=4=CI=Lcn=an+l-a?,：.c]=a2-at,即/=q+q=2,若｛4｝為等比數(shù)列，則｛《,｝的公比為4=a=2,

a\

媼,c,可得如=S11=---

nn

a,=2"T,j=an+l-an=2"-2-'=2-',由c?+2=4,.??a=4"T=d，故AC錯(cuò)誤;

若｛%｝為遞增的等差數(shù)列，q=l,公差d＞0,由%+2=導(dǎo)＜,則導(dǎo)=乎

.AA..…媼=幺.2.M.....s±2..如=%+￡，+2a1+rfI1

---=-------

c,+￡〃

C"=l+(〃-l)d，C"=4+1=(""_”,1)+(41_《,-2)+?.,+(/一4)+4>?-4“=”+也包上2/,又

2

心*—＞。，則△￡+U+???+六二全+二當(dāng)〃23時(shí),不等式S“S恒成立,

故故B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.

12.C

【解析】【分析】由條件求得的通項(xiàng)公式后求解

【詳解】

(2+a.)(l-a向)=2,貝!|4e=一夫，即」一=2+1,得」—+1=2(上+1),故J-+1是以2為首項(xiàng)，2為公比的

4+2?,1+|anan+la?[4

220222023

等比數(shù)列，,+1=2",%=不二，S,02,+2022=2+2+.??+2=2-2,?2022(52022+2022)=2.故選：C

an2T

13.(I)a“=2〃+l,4=2"T；(II)￡,="+2〃_,_誓x(_2嚴(yán)；(山)

9183(2〃+3)

【解析】

【分析】

(I)利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式用公差和公比表示已知條件，可求得公差和公比，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；(II)

利用分組求和法，轉(zhuǎn)化為應(yīng)=(%+%+…+%)+/(-4)'+，物+…+(-1)%也涕一部分利用等差數(shù)列求和公式求和,

第二部分，利用錯(cuò)位相減求和法求得；(ni)可裂項(xiàng)為?“2：二(二1嚴(yán)",然后相加相消求和.

(2九+1)(2〃+3)

【詳解】

(I)設(shè)數(shù)歹加｝的公差為/數(shù)列他｝的公比為…=叫=］及仁2屋的得H+4/2q=3+2〃

(d=2

解得'所以氏=3+2(〃-1)=2"+1也=2"，

匕=2,

(】1)&,=(。1+，3+…+。2”-1)+(。2+04+???+。2")=(4+%+…+%)+4(-印)'+見優(yōu)+…+(-iy?A

設(shè)｛4｝前項(xiàng)〃和為A,A=(3+2*〃=“2+2n設(shè)｛(-i)，，a也卜|1(2〃+1)(-2)［前項(xiàng)〃和為8

B=—x3x(—2)'+5x5x(-2)-+...+—x(2〃—1)x(—2)"1+—x(2n+1)x(—2)"

-2B=-X3X(-2)2+-X5X(-2)3+...ix(2n-1)x(-2)"+-x(2?+1)x(-2),,+l

2222

n+ln+l

38=-3+(-2尸+(—2)3……+(-2)"--x(2n+l)x(-2)3B=-3+(二2)“*：-lx(2n+l)x(-2)

21+22

B=[一x(—2嚴(yán)綜上可知(“=A+3="+2〃一,-x(一2嚴(yán)

9lo91o

(T)"(6〃+5)2_(-l)"(6〃+5)2"T_(-1嚴(yán)2"

〃,4+](2〃+1)(2〃+3)(2/?+1)(2〃+3)

1

人Pf-21」28\(-1嚴(yán)p1(-1嚴(yán)2"

"(35)(57JI79)I(2〃+l)(2〃+3))"3(2/7+3)

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和，分組求和方法，錯(cuò)位相減法求和和裂項(xiàng)相消求和法，關(guān)鍵是第二問中的

分組求和和第三問中的裂項(xiàng)技巧.

14.⑴證明見解析；5,,=^^-〃(2)證明見解析.

2

【解析】【分析】

(1)先求出4,然后將3%=2S“+2〃的〃換成〃—1,與原式相減可得4=34-+2,從而可得為+1=3(41+1)即

可證明，求出｛可｝通項(xiàng)公式，再分組可求和.

111

(2)先求出勿="+1,可得出於<———,裂項(xiàng)相消法求和，可證明.

bnn〃+1

⑴當(dāng)〃=1時(shí)，3^=25,+2,即《=2由3/=2S“+2”,則為e=2S,-+2(〃-1)n>2

兩式相減可得3%-36T=2%+2,即％=34T+2所以為+1=