高一數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)概念經(jīng)典例題

判斷正誤練習(xí)判斷下面說(shuō)法是否正確，如果并說(shuō)明原因。（1）是純虛數(shù)；（2）在復(fù)平面內(nèi)，原點(diǎn)也在虛軸上；分析：先判斷正誤，若錯(cuò)誤考慮如何糾錯(cuò)？或直接改正或舉反例試之。（1）錯(cuò)誤。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不是純虛數(shù)。（2）錯(cuò)誤。因?yàn)樵c(diǎn)不在虛軸上。探究性問(wèn)題已知關(guān)于的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值。分析：注意不能用判別式△來(lái)解。如：∵方程有實(shí)根∴錯(cuò)誤的原因是虛數(shù)不能比較大小，因此涉及到大小問(wèn)題的概念和理論如與不等式有關(guān)的判別解：設(shè)方程的實(shí)根為x0，則整理得：由復(fù)數(shù)相等的條件知：復(fù)數(shù)的分類例題例實(shí)數(shù)分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是（1）實(shí)數(shù)（2）虛數(shù)（3）純虛數(shù)。解：實(shí)部，虛部（1）當(dāng)時(shí)，Z是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)，且時(shí)，Z是虛數(shù)；（3）當(dāng)或時(shí)是純虛數(shù)．復(fù)數(shù)的相等例題例設(shè)（），，當(dāng)取何值時(shí)，（1）；（2）分析：復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題的依據(jù)，這是解復(fù)數(shù)問(wèn)題常用的思想方法，這個(gè)題就可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件來(lái)列出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，求出的值．解：（1）由可得：解之得，即：當(dāng)時(shí)（2）當(dāng)可得：或，即時(shí)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的例題例設(shè)復(fù)數(shù)和復(fù)平面的點(diǎn)Z（）對(duì)應(yīng)，、必須滿足什么條件，才能使點(diǎn)Z位于：（1）實(shí)軸上？（2）虛軸上？（3）上半平面（含實(shí)軸）？（4）左半平面（不含虛軸及原點(diǎn)）？分析：本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)Z（）建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．解：（1）（2）且（3）（4）求點(diǎn)的軌跡的例題例已知關(guān)于t的一元二次方程（1）當(dāng)方程有實(shí)根時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程．（2）求方程的實(shí)根的取值范圍．思路分析（1）本題方程中有三個(gè)未知數(shù)由復(fù)數(shù)相等的充要條件能得到兩個(gè)等式，而結(jié)論是要求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，聯(lián)想到解析幾何知識(shí)，求的軌跡方程就是求關(guān)于的方程，于是上面的兩個(gè)等式正是軌跡方程的參數(shù)形式，消去參數(shù)t，問(wèn)題得解（2）由上面解答過(guò)程中的②知可看作一條直線，由③知是一個(gè)圓，因此求實(shí)根t的范圍可轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)的問(wèn)題．解答（1）設(shè)實(shí)根為t，則即根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得由（2）得代入（1）得即……（3）∴所求點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是以（1，－1）為圓心，為半徑的圓．（2）由（3）得圓心為（1，－1），半徑，直線與圓有公共點(diǎn)，則，即∴，故方程的實(shí)根的取值范圍為．思維診斷此題涉及到復(fù)數(shù)與解析幾何的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，學(xué)生往往不易入手，審題不到位，且有畏懼心理，是思維受阻的主要因素，在第（2）題求實(shí)根的取值范圍時(shí)還可由（1）（2）消去y建立關(guān)于實(shí)數(shù)x的二次方程，用判別式求出t的范圍．同時(shí)通過(guò)本題，同學(xué)們要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題求解的必要性，這是解決有關(guān)復(fù)數(shù)與方程問(wèn)題慣用的手法，要切實(shí)掌握好．復(fù)數(shù)相等的例題2例已知x是實(shí)數(shù)，y是純虛數(shù)，且滿足，求x與y．思路分析因?yàn)閥是純虛數(shù)，所以可設(shè)，代入等式，把等式的左、右兩邊都整理成形式后，可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件得到關(guān)于x與b的方程組，求解后得x與b值．解答設(shè)代入條件并整理得由復(fù)數(shù)相等的條件得解得∴思維診斷一般根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，可由一個(gè)復(fù)數(shù)等式得到兩個(gè)實(shí)數(shù)等式組成的方程組，從而可確定兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)，本題就是利用這一重要思想，化復(fù)數(shù)問(wèn)題為實(shí)數(shù)問(wèn)題得以解決．在解此題時(shí)，學(xué)生易忽視y是純虛數(shù)這一條件，而直接得出等式進(jìn)行求解，這是審題不細(xì)所致．復(fù)數(shù)相等的例題3例已知關(guān)于x的方程有實(shí)根，求這個(gè)實(shí)根以及實(shí)數(shù)k的值．思路分析方程的實(shí)根必然適合方程，設(shè)為方程的實(shí)根，代入整理后得的形式．由復(fù)數(shù)相等的充要條件，可得關(guān)于與k的方程組，通過(guò)解方程組便可求得與k．解答設(shè)是方程的實(shí)根，代入方程并整理得由復(fù)數(shù)相等的條件得解得或∴方程的實(shí)根為或，相應(yīng)的k值為或．思維診斷學(xué)生易給出如下錯(cuò)解：∵方程有實(shí)根，∴．解得或．這是由于錯(cuò)把實(shí)系數(shù)一元二次方程根的判別式運(yùn)用到了復(fù)系數(shù)一元二次方程中，事實(shí)上，在復(fù)數(shù)集內(nèi)解復(fù)系數(shù)一元二次方程，判別式不能夠判斷方程有無(wú)實(shí)根，這一點(diǎn)后面還會(huì)提到．因此，解關(guān)于方程有實(shí)根的問(wèn)題，一般都是把實(shí)根代入方程，用復(fù)數(shù)相等條件求解．復(fù)數(shù)的分類例題例m取何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)（1）是實(shí)數(shù)？（2）是虛數(shù)？（3）是純虛數(shù)？思路分析本題是判斷復(fù)數(shù)在何種情況下為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)．由于所給復(fù)數(shù)z已寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即，所以只需按題目要求，對(duì)實(shí)部和虛部分別進(jìn)行處理，就極易解決此題．解答（1）當(dāng)即∴時(shí)，z是實(shí)數(shù)．（2）當(dāng)即∴當(dāng)且時(shí)，z是虛數(shù)．（3）當(dāng)即∴當(dāng)或時(shí)，z是純虛數(shù)．思維診斷研究一個(gè)復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)時(shí)，首先要保證這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部是有意義的，這是一個(gè)前提條件，學(xué)生易忽略這一