湖南省衡陽市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2021—2022學(xué)年度衡陽市高中一年級(jí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的換底公式可求得的值，再利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，可得，?故選：A2.“為奇數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用奇函數(shù)定義證明出充分性，舉出反例得到必要性不成立.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故函數(shù)為奇函數(shù)，而為奇函數(shù)，但不是奇數(shù)，綜上：“為奇數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A3.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的商數(shù)、平方關(guān)系，將條件化為，再根據(jù)二倍角余弦公式求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，，又.故選：B.4.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求解一元二次不等式，然后利用補(bǔ)集的概念即可求解.【詳解】由題意，或，所以集合或，所以.故選：A5.若，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由題設(shè)，，所以.故選：B6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.2 B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由題待定系數(shù)得，進(jìn)而根據(jù)圖像平移變換得，再計(jì)算函數(shù)值即可.【詳解】解：根據(jù)題意得，所以，故，由時(shí)，得，解得.所以，所以，所以故選：B7.已知函數(shù)，若且，則的最小值為（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得且，將目標(biāo)式化為，應(yīng)用基本不等式求最小值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，且且，可知：且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C8.設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】研究出分段函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.【詳解】時(shí)，單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)得：在單調(diào)遞增，且，綜上：單調(diào)遞增，因，所以，即，設(shè)，可知單調(diào)遞增，且，故，故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知角的終邊在直線上，則的值可能是（）A. B. C. D.1【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線方程判斷所在象限且，并求出角的大小，根據(jù)目標(biāo)式，討論的位置求函數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)，且在第一或三象限，則，，又，，當(dāng)在第一象限時(shí)，；當(dāng)在第三象限時(shí)，.故選：BC10.已知、、，若，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】A、C特殊值法，令即可排除；B由不等式性質(zhì)判斷；D應(yīng)用基本不等式判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；B：由，則，故，正確；C：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；D：由，又，則，正確；故選：BD11.若函數(shù)，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增C.函數(shù)的值域?yàn)?D.【答案】ACD【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義判斷選項(xiàng)A，分別判斷與時(shí)，函數(shù)與的單調(diào)性，從而得函數(shù)的單調(diào)性，分析與對(duì)應(yīng)的取值范圍，計(jì)算得，并判斷與的關(guān)系.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為偶函數(shù)，A正確；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?，C正確；，D正確.故選：ACD12.若函數(shù)的最小值為，則的值可為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式可得，結(jié)合余弦函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)及已知最小值，討論與區(qū)間的位置關(guān)系，求的值.【詳解】由題設(shè)，，令，則，其開口向上且對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則或(舍)；當(dāng)時(shí)，，則不合前提；綜上，或.故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的最小正周期是_____.【答案】【解析】分析】本題可根據(jù)三角函數(shù)周期計(jì)算公式得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的最小正周期，故答案為：.14.若方程的解在區(qū)間上，則整數(shù)______．【答案】2【解析】【分析】令判斷單調(diào)性，應(yīng)用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，結(jié)合題設(shè)即可求k值.【詳解】令，顯然在上遞增，又，，所以函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，故.故答案為：2.15.，使得關(guān)于不等式成立，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】將不等式右邊應(yīng)用輔助角公式得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求上的值域，再由不等式能成立求的最小值.【詳解】令，所以時(shí)，，故，又使成立，故.所以的最小值是.故答案為：16.函數(shù)，若，則______，______．【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】由題設(shè)可得即可求，根據(jù)已知解析式求的解析式，進(jìn)而可得，即可求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，，又，則，可得，而，所以，故.故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求各函數(shù)值之和時(shí)，首先需要證明，再結(jié)合目標(biāo)式的特征求和即可.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）126（2）【解析】【分析】（1）利用，求出，共有7個(gè)元素，進(jìn)而求出非空真子集的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)并集結(jié)果得到，先得到，進(jìn)而列出不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，A中共有7個(gè)元素，則A的非空真子集的個(gè)數(shù)為；【小問2詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，故，則，解得：，從而實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）是否存在常數(shù)，使得為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）在上遞減，證明見解析；（2）存在使得為奇函數(shù).【解析】【分析】（1）根據(jù)解析式及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性，再應(yīng)用單調(diào)性的定義證明即可.（2）假設(shè)存在使為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求，即可知存在性．【小問1詳解】在上遞減，證明如下：在內(nèi)任取，，使，則．由于，知：，則，，，所以，即，故上遞減.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)使為奇函數(shù)，所以由，可得，解得，因此存在，使得為奇函數(shù)．19.如圖所示，園林設(shè)計(jì)師計(jì)劃在一面墻的同側(cè)，用彩帶圍成四個(gè)相同的矩形區(qū)域，即如圖小矩形，且其面積為．（注：靠墻的部分不用彩帶）

（1）要使圍成四個(gè)矩形的彩帶總長不超過m，求的取值范圍；（2）當(dāng)圍成四個(gè)矩形的彩帶總長最小時(shí)，求和的值，并求彩帶總長的最小值．【答案】（1）；（2）；；最小值為【解析】【分析】（1）設(shè)長為m，長為m，列關(guān)于的等式，表示出彩帶總長，計(jì)算對(duì)應(yīng)的時(shí)對(duì)應(yīng)的值，從而得的范圍，即的范圍；（2）利用基本不等式求解彩帶總長的最小值，計(jì)算出此時(shí)的值，即得和的值.【小問1詳解】設(shè)長為m，長為m，由題意得，則四個(gè)矩形的彩帶總長為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，又，可解得或，所以得的范圍為，即的取值范圍為【小問2詳解】四個(gè)矩形的彩帶總長為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，則的長為，的長為，彩帶總長的最小值為.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求使成立的的取值集合．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由三角恒等變換化簡可得，解不等式可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由可得出，解之即可得解.【小問1詳解】解：，由，解得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】解：由可得，可得，解得，所以，使成立的的取值集合為.21.如圖所示，已知直線，，并交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，是上一定點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，作，且使與直線交于點(diǎn)，設(shè)．

（1）若，試比較△與△面積的大?。唬?）若，，求△與△面積之和的最小值．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)易得△△且相似比為，討論判斷△與△面積的大小關(guān)系；（2）由圖知，結(jié)合（1）求相關(guān)線段的長度，進(jìn)而得到面積關(guān)于的表達(dá)式，應(yīng)用基本不等式求最值，注意等號(hào)成立條件.【小問1詳解】由，，則，又，所以△、△中，即，，所以△△，相似比為，當(dāng)，即時(shí)，△面積比△大；當(dāng)，即時(shí)，△、△面積相等；當(dāng)，即時(shí)，△面積比△小；【小問2詳解】由題設(shè)，，由（1）知：，，所以，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以△與△面積之和的最小值為.22.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)為偶函數(shù)，有可求出的值.

(2)函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),即有且只有一個(gè)解，且，然后換元轉(zhuǎn)化為方