黑龍江省海林市朝鮮族中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)必修二：第1章132球的體積和表面積課時(shí)訓(xùn)練

【課時(shí)訓(xùn)練】第一章空間幾何體第1.3.2節(jié) 球的體積和表面積一、選擇題1.三個(gè)球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的（）A.1倍B.2倍C.倍D.倍2.表面積為的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（）A.B.C.D.3.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A.16πB.20πC.24πD.32π4.已知三棱錐S—ABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=,則球的體積與三棱錐體積之比是（）A.πB.2πC.3πD.4π5.如圖1，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A—BEFD與三棱錐A—EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（）圖1A.S1＜S2B.S1＞S2C.S1=S2D.S1,S2的大小關(guān)系不能確定二、填空題6.若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9π，則球的表面積是____________.7.一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3，則此球的表面積為_(kāi)__________.8.底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水使水面恰好浸沒(méi)所有鐵球，則需要注水___________cm3.三、解答題9.圖2是一個(gè)底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6cm，高為20cm的一個(gè)圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？圖210.阿基米德在他的許許多多的科學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)中最為得意的一個(gè)發(fā)現(xiàn)是：圖中所示的圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周生成的幾何體稱為圓柱容球．在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的eq\f(2,3)，球的表面積也是圓柱全面積的eq\f(2,3).請(qǐng)你試著證明．11.有一個(gè)倒圓錐形的容器，它的軸截面是正三角形，在這個(gè)容器內(nèi)注入水，并且放入一個(gè)半徑是r的鋼球，這時(shí)球面恰好與水面相切，那么將球從圓錐形容器中取出后水面高多少？參考答案1.分析：根據(jù)球的表面積等于其大圓面積的4倍，可設(shè)最小的一個(gè)半徑為r，則另兩個(gè)為2r、3r，所以各球的表面積分別為4πr2、16πr2、36πr2，（倍）.答案：C2.分析：此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為a的正三角形，所以由8×知，a=1，則此球的直徑為.答案：A3.分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2.畫出球的軸截面可得，該正四棱柱的對(duì)角線即為球的直徑，所以，球的半徑為R=，所以球的表面積為S=4πR2=24π.答案：C4.分析：由題意得SO=r為三棱錐的高，△ABC是等腰直角三角形，所以其面積是×2r×r=r2,所以三棱錐體積是，又球的體積為，則球的體積與三棱錐體積之比是4π.答案：D5.分析：如圖1，連OA、OB、OC、OD，則VA—BEFD=VO—ABD＋VO—ABE＋VO—BEFD+VO—ADF，VA—EFC=VO—AFC＋VO—AEC＋VO—EFC，又VA—BEFD=VA—EFC，而每個(gè)小三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故S△ABD＋S△ABE＋SBEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故選C.圖1答案：C6.分析：畫出球的軸截面，則球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形，又由題意得截面圓的半徑是3，則球的半徑為=5，所以球的表面積是4π×52=100π.答案：100π7.分析：長(zhǎng)方體的對(duì)角線為，則球的半徑為,則球的表面積為4π()2=14π.答案：14π8.分析：設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為O1、O2、O3、O4，其中O1、O2為下層兩球的球心，A、B、C、D分別為四個(gè)球心在底面的射影，則ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為cm的正方形，所以注水高為(1+)cm.故應(yīng)注水π(1+)4×πcm3.答案：（+）π9.解：因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為×20=60π（cm3），設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為=100πx（cm3）.所以有60π=100πx，解此方程得（cm）.答：杯里的水下降了0.6cm.10.解：設(shè)圓的半徑為R，球的體積與圓柱的體積分別為V球和V柱，球的表面積與圓柱的全面積分別為S球及S柱，則有∵V球＝eq\f(4,3)πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，∴V球＝eq\f(2,3)V柱．S柱＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2＝eq\f(2,3)S柱．11.解：如右圖，當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水面高度為3r，水面半徑為eq\r(3)r，則V水＝V圓錐－V球＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)r)2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq