山西省太原市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2021-2022學(xué)年山西省太原市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先化復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，再根據(jù)幾何意義確定點所在象限.【詳解】對應(yīng)點為所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義，考查基本分析計算能力，屬基礎(chǔ)題.2．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的加法法則求解【詳解】故選：A3．下列平面圖形中，通過圍繞定直線旋轉(zhuǎn)可得到如圖幾何體的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐項分析旋轉(zhuǎn)圖形可得旋轉(zhuǎn)體的立體圖，分析即可得答案.【詳解】解：A是上面一個圓錐，下面一個圓臺，不符合；B是上下兩個圓錐，中間一個圓柱，不符合；C是上面一個圓柱，下面一個圓錐，符合上圖；D是兩個圓錐，不符合.故選：C4．下列結(jié)論不正確的是（

）A．長方體是平行六面體 B．正方體是平行六面體C．平行六面體是四棱柱 D．直四棱柱是長方體【答案】D【分析】根據(jù)平行六面體及直棱柱的概念判斷即可；【詳解】解：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，故長方體、正方體是平行六面體，平行六面體是四棱柱，側(cè)棱垂直底面的棱柱叫直棱柱，當(dāng)直四棱柱的底面不是矩形時直四棱柱不是長方體，故D錯誤；故選：D5．給出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由平面向量數(shù)量積的定義對結(jié)論逐一判斷【詳解】由數(shù)量積的定義知，對于①，若，則或，不一定成立，①錯誤對于②，成立，②正確對于③，與共線，與共線，兩向量不一定相等，③錯誤對于④，，④正確故選：B6．已知復(fù)數(shù)i關(guān)于x的方程的一個根，則實數(shù)p，q的值分別為（

）A．0，1 B．0，-1 C．1，0 D．，0【答案】A【分析】利用實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.【詳解】復(fù)數(shù)i關(guān)于x的方程的一個根，則復(fù)數(shù)也是關(guān)于的方程的一個根，∴，即；∴．故選：A.7．已知O是△ABC所在平面上的一點，若，則點O是△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】作BD∥OC，CD∥OB，連接OD，OD與BC相交于點G,可得，又=-，則有=-，即AG是BC邊上的中線，同理，BO，CO也在△ABC的中線上,即可得出結(jié)果.【詳解】作BD∥OC，CD∥OB，連接OD，OD與BC相交于點G，則BG=CG(平行四邊形對角線互相平分)，∴，又，可得=-，∴=-，∴A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理，BO，CO也在△ABC的中線上.∴點O為三角形ABC的重心.故選：C.8．已知，，，若，則下列結(jié)論正確的是(

)A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)向量線性運算的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】∵，∴，．故選：B．9．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖，求出圓錐的母線以及圓柱的高，由圓錐的體積公式求解即可.【詳解】因為圓錐底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是半圓，所以圓錐的底面周長為，則圓錐的母線長為2，故圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故選：A．10．在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理與兩角和的正弦公式求解【詳解】，故為銳角，，則，由正弦定理得，故．故選：A11．已知等邊的直觀圖的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系即可得結(jié)果.【詳解】因為直觀圖的面積為，所以，解得，故選：D.12．在中，點D在BC上，且，過D的直線分別交直線AB，AC于點M，N，記，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)平面向量線性運算法則得到，從而得到，再根據(jù)、、三點共線及平面向量共線定理的推論得到方程，解得即可；【詳解】解：依題意，又，即，即，所以，因為、、三點共線，所以，解得；故選：C二、填空題13．已知復(fù)數(shù),則_______【答案】5【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，復(fù)數(shù)，則，故答案為5.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的模的計算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的模的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于容易題.14．已知球O的表面積是其體積的3倍，則球O的半徑為______．【答案】1【分析】設(shè)出球的半徑，根據(jù)球的表面積公式與體積的等量關(guān)系，列方程即可求得半徑．【詳解】設(shè)球的半徑為，球的表面積是其體積的3倍，則，解得，故答案為：1．15．已知，，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】首先求出，的坐標(biāo)，即可得到，，再根據(jù)求出在上的投影向量；【詳解】解：因為，，，所以，，所以，，所以在上的投影為，所以在上的投影向量為，故答案為：16．如圖甲，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器慢慢傾斜．給出下面幾個結(jié)論：①水面EFGH所在四邊形的面積為定值；②圖乙中四邊形ADHE的面積為定值；③圖丙中為定值；④若，，記、分別是將四邊形ABCD和水平放在地面上時的水面高度，則；其中正確結(jié)論的序號是______．【答案】②③④【分析】①②③注意到水的體積和EF保持不變即可判斷；④根據(jù)棱柱的體積計算公式即可計算．【詳解】①由題圖可知水面的邊的長保持不變，但鄰邊的長卻隨傾斜程度而改變，可知①錯誤；②當(dāng)容器傾斜如圖乙所示時，∵水的體積是不變的，∴棱柱的體積為定值，又，高不變，∴也不變，即四邊形ADHE的面積為定值，故②正確；③當(dāng)容器傾斜如圖丙所示時，∵水的體積是不變的，∴棱柱的體積為定值，又，高不變，∴也不變，即為定值，故③正確；④當(dāng)將四邊形ABCD水平放在地面上時，即圖甲所示時，設(shè)水的體積為V，則，∴；當(dāng)將四邊形水平放在地面上時，水的體積任然為V，則，∴；∴，故④正確．故答案為：②③④．三、解答題17．已知復(fù)數(shù)z滿足．(1)求z及；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由復(fù)數(shù)及共軛復(fù)數(shù)的運算求解即可；（2）由復(fù)數(shù)的運算求解即可.【詳解】(1)解：由題意得：，(2)18．已知，，．(1)當(dāng)時，求的值；(2)若，求實數(shù)的值．【答案】(1)9(2)【分析】（1）利用平面向量的運算法則和數(shù)量積運算法則進行計算；（2）由向量垂直得到等量關(guān)系，求出實數(shù)的值.【詳解】(1)當(dāng)時，，故，(2)，，因為，所以，解得：.所以實數(shù)的值為.19．如圖，在中，，，，點是的中點，記，．(1)用，表示，；(2)求的余弦值．【答案】(1)，.(2)【分析】(1)根據(jù)題意，利用向量的加法的線性運算，直接計算即可.(2)根據(jù)題意，得，，且，由(1)得，，，所以，可以分別求出，然后，直接利用余弦定理即可求出的余弦值【詳解】(1)因為是的中點，，所以，，..(2)在中，，，，所以，，，且，所以，，，是的中點，所以，.因此，在中，，，，利用余弦定理得，.20．在中，，，，分別以AB，AC，BC所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個幾何體，其體積分別記為，，．(1)求，，的值；(2)求以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所形成幾何體的內(nèi)切球的體積．【答案】(1)，，；(2).【分析】（1）根據(jù)圓錐的體積公式進行求解即可；（2）根據(jù)內(nèi)切球的性質(zhì)，結(jié)合球的體積公式進行求解即可.【詳解】(1)以AB所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的圖形是圓錐，它的底面半徑為，它的高為，所以；以AC所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的圖形是圓錐，它的底面半徑為，它的高為，所以；以BC所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的圖形是有公共的底面的兩個圓錐，因為，，，所以，邊上的高為，所以有，所以底面半徑為，因此；(2)設(shè)以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所形成幾何體的內(nèi)切球的半徑為，所以有：，所以以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所形成幾何體的內(nèi)切球的體積為.21．在中，、、分別為內(nèi)角、、的對邊，且，分別以、、所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成個幾何體，其體積分別記為、、．(1)求證：；(2)求以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所形成幾何體的內(nèi)切球的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過點作，計算出，計算出、、，驗證成立即可；（2）取旋轉(zhuǎn)體的軸截面，利用等面積法可求得內(nèi)切球的半徑，再利用球體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)證明：過點作，如下圖所示：由已知可得，由等面積法可得，以為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為圓錐，且該圓錐的底面半徑為，高為，所以，，同理，以為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個共底面的圓錐拼接而成，且兩個圓錐的底面半徑均為，高分別為、，所以，，所以，.(2)解：以為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個共底面的圓錐拼接而成，取該幾何體的軸截面如下圖所示：設(shè)內(nèi)切球球心為點，則在線段上，設(shè)球的半徑為，由等面積法可得，即，解得.所以，球的體積為.22．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，，，且．(1)求角B的值；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)向量平行的充要條件及正弦定理角化邊，再用余弦定理可求出角B的余弦值及角B的范圍即可求解；（2）根據(jù)余弦定理找到邊的范圍，然后代入三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)由，，且，得及正弦定理，得，即.由余弦定理，可得，(2)由（1）知，，由余弦定理，得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.當(dāng)時，取的最大值為..所以面積