專題28 解直角三角形（58題）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編VIP

PAGE13PAGE14專題28解直角三角形（58題）一、單選題1．（2024·吉林長春·中考真題）2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射．當(dāng)火箭上升到點時，位于海平面處的雷達(dá)測得點到點的距離為千米，仰角為，則此時火箭距海平面的高度為（）

A．千米 B．千米 C．千米 D．千米2．（2024·天津·中考真題）的值等于（

）A． B． C． D．3．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在中，，，則的長是（

）A．3 B．6 C．8 D．94．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，等邊鋼架的立柱于點D，長．現(xiàn)將鋼架立柱縮短成，．則新鋼架減少用鋼（

）A． B． C． D．5．（2024·四川德陽·中考真題）某校學(xué)生開展綜合實踐活動，測量一建筑物的高度，在建筑物旁邊有一高度為10米的小樓房，小李同學(xué)在小樓房樓底處測得處的仰角為，在小樓房樓頂處測得處的仰角為．（在同一平面內(nèi)，在同一水平面上），則建筑物的高為（

）米A．20 B．15 C．12 D．6．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高的測量儀測得的仰角為，小軍在小明的前面處用高的測量儀測得的仰角為，則電子廠的高度為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．7．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點，且，連接與相交于點，連接．若，，則的值為（

）A． B． C． D．8．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，菱形中，點是的中點，，垂足為，交于點，，，則的長為（

）

A． B． C． D．9．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，在菱形中，，，點P是邊上一個動點，在延長線上找一點Q，使得點P和點Q關(guān)于點C對稱，連接交于點M．當(dāng)點P從B點運(yùn)動到C點時，點M的運(yùn)動路徑長為（

）A． B． C． D．10．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，菱形中，，點是邊上的點，，，點是上的一點，是以點為直角頂點，為角的直角三角形，連結(jié)．當(dāng)點在直線上運(yùn)動時，線段的最小值是（

）A．2 B． C． D．411．（2024·四川瀘州·中考真題）寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感．如圖，把黃金矩形沿對角線翻折，點落在點處，交于點，則的值為（

）A． B． C． D．12．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形中，點H在邊上（不與點A、D重合），，交正方形外角的平分線于點F，連接交于點M，連接交于點G，交于點N，連接．則下列結(jié)論：①；②點G是的中點；③若點H是的中點，則；④；⑤若，則，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤二、填空題13．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點測得該樓頂部點的仰角為，測得底部點的俯角為，點與樓的水平距離，則這棟樓的高度為m（結(jié)果保留根號）．14．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）綜合實踐課上，航模小組用無人機(jī)測量古樹的高度．如圖，點C處與古樹底部A處在同一水平面上，且米，無人機(jī)從C處豎直上升到達(dá)D處，測得古樹頂部B的俯角為，古樹底部A的俯角為，則古樹AB的高度約為米（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：，，）．15．（2024·湖北武漢·中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù)．在一次綜合實踐活動中，某數(shù)學(xué)小組用無人機(jī)測量黃鶴樓的高度，具體過程如下：如圖，將無人機(jī)垂直上升至距水平地面的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為，底端B的俯角為，則測得黃鶴樓的高度是m．（參考數(shù)據(jù)：）16．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在矩形中，，，點在上，將矩形沿折疊，點恰好落在邊上的點處，那么．

17．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖，小明用無人機(jī)測量教學(xué)樓的高度，將無人機(jī)垂直上升距地面的點P處，測得教學(xué)樓底端點A的俯角為，再將無人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行至點Q處，測得教學(xué)樓頂端點B的俯角為，則教學(xué)樓的高度約為m．（精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）

18．（2024·北京·中考真題）如圖，在正方形中，點在上，于點，于點．若，，則的面積為．19．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片，為折痕，以點為圓心，為半徑作弧，分別交，于，兩點，則的長度為（結(jié)果保留）．20．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點O的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點C在第一象限，．將沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點O的對應(yīng)點為，點C的對應(yīng)點為，與的交點為，稱點為第一個“花朵”的花心，點為第二個“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，滾動2024次后停止?jié)L動，則最后一個“花朵”的花心的坐標(biāo)為．21．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）矩形中，，，將沿過點A的一條直線折疊，折痕交直線于點（點P不與點B重合），點的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則長為．22．（2024·山東泰安·中考真題）在綜合實踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量大汶河某河段的寬度，他們在河岸一側(cè)的瞭望臺上放飛一只無人機(jī)，如圖，無人機(jī)在河上方距水面高60米的點處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為，測得瞭望臺頂端處的俯角為，已知瞭望臺高12米（圖中點，，，在同一平面內(nèi)），那么大汶河此河段的寬為米．（參考數(shù)據(jù)：，，，）23．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在中，．點在線段上，．若，，則的面積是．24．（2024·貴州·中考真題）如圖，在菱形中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，連接，．若，，則的長為．25．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在中，，，D為上一點，且滿足，過D作交延長線于點E，則．26．（2024·黑龍江綏化·中考真題）在矩形中，，，點在直線上，且，則點到矩形對角線所在直線的距離是．三、解答題27．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）計算：．28．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔100海里的處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處．這時，處距離處有多遠(yuǎn)？（參考數(shù)據(jù)：，，）29．（2024·北京·中考真題）計算：30．（2024·湖南長沙·中考真題）計算：．31．（2024·廣東深圳·中考真題）計算：．32．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）先化簡，再求值：，其中．33．（2024·吉林·中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”．某直升飛機(jī)于空中A處探測到吉塔，此時飛行高度，如圖②，從直升飛機(jī)上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，）34．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）計算：．35．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）計算：．36．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）綜合實踐活動中，數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測量大樓的高度．如圖，無人機(jī)在離地面40米的處，測得操控者的俯角為，測得樓樓頂處的俯角為，又經(jīng)過人工測量得到操控者和大樓之間的水平距離是80米，則樓的高度是多少米？（點都在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：）37．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度．如圖，從C點測得楊樹底端B點的仰角是，長6米，在距離C點4米處的點測得楊樹頂端A點的仰角為，求楊樹的高度（精確到米，，，在同一平面內(nèi)，點C，D在同一水平線上．參考數(shù)據(jù)：．38．（2024·湖南·中考真題）某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時間進(jìn)行測量活動．活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積測量工具皮尺、測角儀、計算器等活動過程模型抽象某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形，其示意圖如下：測繪過程與數(shù)據(jù)信息①在水池外取一點E，使得點C，B，E在同一條直線上；②過點E作，并沿方向前進(jìn)到點F，用皮尺測得的長為4米；③在點F處用測角儀測得，，；④用計算器計算得：，，．，，．請根據(jù)表格中提供的信息，解決下列問題（結(jié)果保留整數(shù)）：(1)求線段和的長度：(2)求底座的底面的面積．39．（2024·貴州·中考真題）綜合與實踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性學(xué)習(xí)．【實驗操作】第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁的夾角為；第二步：向水槽注水，水面上升到的中點E處時，停止注水．（直線為法線，為入射光線，為折射光線．）【測量數(shù)據(jù)】如圖，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，在同一平面內(nèi)，測得，，折射角．【問題解決】根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：(1)求的長；(2)求B，D之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：，，）40．（2024·河南·中考真題）如圖1，塑像在底座上，點D是人眼所在的位置．當(dāng)點B高于人的水平視線時，由遠(yuǎn)及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大．?dāng)?shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A，B兩點的圓與水平視線相切時（如圖2），在切點P處感覺看到的塑像最大，此時為最大視角．(1)請僅就圖2的情形證明．(2)經(jīng)測量，最大視角為，在點P處看塑像頂部點A的仰角為，點P到塑像的水平距離為．求塑像的高（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）．41．（2024·天津·中考真題）綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔的高度（如圖①）．某學(xué)習(xí)小組設(shè)計了一個方案：如圖②，點依次在同一條水平直線上，，垂足為．在處測得橋塔頂部的仰角（）為，測得橋塔底部的俯角（）為，又在處測得橋塔頂部的仰角（）為．(1)求線段的長（結(jié)果取整數(shù)）；(2)求橋塔的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：．42．（2024·四川樂山·中考真題）我國明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）(1)如圖1，請你根據(jù)詞意計算秋千繩索的長度；(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．43．（2024·山東·中考真題）【實踐課題】測量湖邊觀測點和湖心島上鳥類棲息點之間的距離【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具【實踐活動】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點．測量，兩點間的距離以及和，測量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：米，，．畫出示意圖，如圖【問題解決】（1）計算，兩點間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：如圖2，選擇合適的點，，，使得，，在同一條直線上，且，，當(dāng)，，在同一條直線上時，只需測量即可．（2）乙小組的方案用到了________．（填寫正確答案的序號）①解直角三角形

②三角形全等【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據(jù)現(xiàn)場地形狀況選擇可實施的方案．44．（2024·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，是的中點，，交于點，，.

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，，，求的長.45．（2024·甘肅臨夏·中考真題）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內(nèi)，共九級，為砼框架式結(jié)構(gòu)，造型獨特別致，遠(yuǎn)可眺太子山露骨風(fēng)月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹．某校數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了“解直角三角形”之后，開展了測量乾元塔高度的實踐活動．為乾元塔的頂端，，點，在點的正東方向，在點用高度為1.6米的測角儀（即米）測得點仰角為，向西平移14.5米至點，測得點仰角為，請根據(jù)測量數(shù)據(jù)，求乾元塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）46．（2024·安徽·中考真題）科技社團(tuán)選擇學(xué)校游泳池進(jìn)行一次光的折射實驗，如圖，光線自點處發(fā)出，經(jīng)水面點折射到池底點處．已知與水平線的夾角，點到水面的距離m，點處水深為，到池壁的水平距離，點在同一條豎直線上，所有點都在同一豎直平面內(nèi)．記入射角為，折射角為，求的值（精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）．47．（2024·浙江·中考真題）如圖，在中，，是邊上的中線，．(1)求的長；(2)求的值．48．（2024·甘肅·中考真題）習(xí)近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現(xiàn)碳達(dá)峰、2060年前實現(xiàn)碳中和．甘肅省風(fēng)能資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速．某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中，“風(fēng)電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設(shè)計參數(shù)．于是小組成員開展了“測量風(fēng)電塔筒高度”的實踐活動．如圖，已知一風(fēng)電塔筒垂直于地面，測角儀，在兩側(cè)，，點C與點E相距（點C，H，E在同一條直線上），在D處測得簡尖頂點A的仰角為，在F處測得筒尖頂點A的仰角為．求風(fēng)電塔筒的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，．）49．（2024·河北·中考真題）中國的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離，仰角為；淇淇向前走了后到達(dá)點D，透過點P恰好看到月亮，仰角為，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面的距離，點P到的距離，的延長線交于點E．（注：圖中所有點均在同一平面）(1)求的大小及的值；(2)求的長及的值．50．（2024·四川廣元·中考真題）計算：．51．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)對光作用的一種特征．(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為，折射角為，且，，求該介質(zhì)的折射率；(2)現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，若光線經(jīng)真空從矩形對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．52．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組開展“實地測量教學(xué)樓的高度”的實踐活動．教學(xué)樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的大?。?1)請你設(shè)計測量教學(xué)樓的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應(yīng)測數(shù)據(jù)標(biāo)記在所畫的圖形上（測出的距離用等表示，測出的角用等表示），并對設(shè)計進(jìn)行說明；(2)根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算教學(xué)樓的高度（用字母表示）．53．（2024·甘肅·中考真題）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知和圓上一點M．作法如下：①以點M為圓心，長為半徑，作弧交于A，B兩點；②延長交于點C；即點A，B，C將的圓周三等分．(1)請你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)（1）畫出的圖形，連接，，，若的半徑為，則的周長為______．54．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)活動小組用高度為米的測角儀，對垂直于地面的建筑物的高度進(jìn)行測量，于點C．在B處測得A的仰角，然后將測角儀向建筑物方向水平移動6米至處，于點G，測得A的仰角，的延長線交于點E，求建筑物的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：）55．（2024·廣東·中考真題）中國新能源汽車為全球應(yīng)