湖南省聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試卷含解析

Page17湖南省聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試卷一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】解：因?yàn)?，所以，，故選：A.2.設(shè)甲：，乙：已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（）A.甲是乙的充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】∵在上單調(diào)遞增，由的對(duì)稱軸為，開口向上，∴，即，故甲是乙的充分不必要條件.故選：A.3.將化成的形式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】.故選：D.4.下列函數(shù)與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【詳解】的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；的定義域?yàn)椋蔇錯(cuò)誤；，與對(duì)應(yīng)關(guān)系不一樣，故C錯(cuò)誤；，定義域?yàn)?，與對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣，B正確.故選：B.5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)椋?故選：B.6.函數(shù)的零點(diǎn)肯定位于區(qū)間（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】解：，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都是增函數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，所以其零點(diǎn)肯定位于區(qū)間.故選：C.7.為了給地球減負(fù)，提高資源利用率，2024年全國(guó)掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經(jīng)成為新時(shí)尚．假設(shè)某市2024年全年用于垃圾分類的資金為2000萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，以后每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)20%，則該市全年用于垃圾分類的資金起先超過(guò)1億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.2030年 B.2029年 C.2028年 D.2027年【答案】B【解析】【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)年之后，投入資金為萬(wàn)元，則，由題意可得：，即，所以，即，又因?yàn)?，∴，即?029年起先該市全年用于垃圾分類的資金超過(guò)1億元.故選：B．8.已知函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)的大致圖象，如圖，令，視察圖象知，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等根，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，并滿意，而函數(shù)對(duì)稱軸為，于是得，解得，所以的取值范圍為.故選：D二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.角為第一象限或第三象限角的充要條件是B.終邊在軸上的角的集合為C.若是第三象限角，則是其次象限或第三象限角D.用角度制和弧度制度量角，與所取圓的半徑大小有關(guān)【答案】AB【解析】【詳解】對(duì)于，當(dāng)角為第一象限角時(shí)，，則；當(dāng)角為第三象限角時(shí)，，則，所以若角為第一象限或第三象限角，則.因?yàn)?，即且，或且，?dāng)且時(shí)，角為第一象限角；當(dāng)且時(shí)，角為第三象限角，所以若，則角為第一或第三象限角,所以角為第一或第三象限角的充要條件是，故正確；對(duì)于B,終邊在軸上的角的集合為,即，即，正確；對(duì)于，若是第三象限角，即，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為其次象限角；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為第四象限角，則是其次象限或第四象限角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不論是用角度制還是弧度制度量角，由角度值和弧度值定義可知度量角與所取圓的半徑無(wú)關(guān)，故D不正確，故選：10.下列各式正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【詳解】，故選項(xiàng)正確；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11.“雙11”購(gòu)物節(jié)中，某團(tuán)購(gòu)平臺(tái)對(duì)顧客實(shí)行購(gòu)物實(shí)惠活動(dòng)，規(guī)定一次購(gòu)物付款總額滿肯定額度，可以賜予實(shí)惠：①若購(gòu)物總額不超過(guò)50元，則不賜予實(shí)惠；②若購(gòu)物總額超過(guò)50元但不超過(guò)100元，則可以運(yùn)用一張15元實(shí)惠券；③若購(gòu)物總額超過(guò)100元但不超過(guò)300元，則按標(biāo)價(jià)賜予8折實(shí)惠，④若購(gòu)物總額超過(guò)300元，其中300元內(nèi)的按第③條賜予實(shí)惠，超過(guò)300元的部分賜予7折實(shí)惠.某人購(gòu)買了部分商品，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若購(gòu)物總額為66元，則應(yīng)付款為51元B.若應(yīng)付款為208元，則購(gòu)物總額為260元C.若購(gòu)物總額為360元，則應(yīng)付款為252元D.若購(gòu)物時(shí)一次性全部付款為380元，則購(gòu)物總額為500元【答案】ABD【解析】【詳解】對(duì)于A，若購(gòu)物總額為66元，滿意購(gòu)物總額超過(guò)50元但不超過(guò)100元，可以運(yùn)用一張15元實(shí)惠券，則應(yīng)付款51元，故A正確；對(duì)于B，若應(yīng)付款為208元，則購(gòu)物總額超過(guò)100元但不超過(guò)300元，所以購(gòu)物總額為元，故B正確；對(duì)于C，若購(gòu)物總額為360元，購(gòu)物總額超過(guò)300元，則應(yīng)付款為元，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若購(gòu)物時(shí)一次性全部付款380元，說(shuō)明購(gòu)物總額超過(guò)300元，設(shè)購(gòu)物總額為元，則，解得元，故D正確.故選：ABD.12.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【詳解】因，即，則分別為函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在同一坐標(biāo)系中畫出的圖象，如圖，由圖知，點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，于是得，，A正確；，則，B正確；，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：ABD三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知，則___________.【答案】##【解析】【詳解】因?yàn)?所以，由，故，即，而，則，所以，故答案為：14.設(shè)，則___________.【答案】##【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.另解：由可得，所以，則,故答案為：.15.高斯是德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，若函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)開__________.【答案】【解析】【詳解】解：，則，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.16.北京時(shí)間2024年9月24日晚，在2024年世界賽艇錦標(biāo)賽女子四人雙漿決賽中，東京奧運(yùn)冠軍組合崔曉桐?呂揚(yáng)?張靈?陳云霞再次聯(lián)手出擊，強(qiáng)勢(shì)奪冠，繼2024年世錦賽后為中國(guó)隊(duì)實(shí)現(xiàn)該項(xiàng)目的勝利衛(wèi)冕，賽艇是一種靠漿手劃漿前進(jìn)的小船，分單人艇?雙人艇?四人艇?八人艇四種，不同艇種雖大小不同，但形態(tài)相像.依據(jù)相關(guān)探討，競(jìng)賽成果t（單位：min）與獎(jiǎng)手?jǐn)?shù)量n（單位：個(gè)）間的關(guān)系為（為常數(shù)且）.已知在某次競(jìng)賽中單人艇2000的競(jìng)賽成果為7.21，由于競(jìng)賽記錄員的疏忽，現(xiàn)有一個(gè)用時(shí)為6.67min的競(jìng)賽成果但不清晰屬于哪一艇種，推斷該競(jìng)賽成果所屬的艇種最有可能是___________（從“單人艇”“雙人艇”“四人艇”“八人艇”中選擇一個(gè)即可）；若已知競(jìng)賽的賽艇艇種為八人艇，推斷在相同競(jìng)賽條件下該賽艇競(jìng)賽成果的理論估計(jì)值為___________（結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）.【答案】①.雙人艇②.【解析】【詳解】由已知得，當(dāng)時(shí)，，代入解得，當(dāng)時(shí)，，故該競(jìng)賽成果所屬的艇種最有可能是雙人艇；當(dāng)時(shí)，，故在相同競(jìng)賽條件下該賽艇競(jìng)賽成果的理論估計(jì)值為.故答案為：雙人艇；四?解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.）17.已知集合.（1）求；（2）若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）.（2）.【解析】【小問(wèn)1詳解】由題意，則，解得，所以，又，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，即，所以，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍時(shí).18.已知函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線但又不與該直線相交.（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求該函數(shù)的解析式并推斷其奇偶性；（2）若實(shí)數(shù)滿意不等式，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），函數(shù)為偶函數(shù).（2）.【解析】【小問(wèn)1詳解】由題意函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線但又不與該直線相交.，故在時(shí)，遞增，又此時(shí)遞減，故需滿意，由知，，而無(wú)限接近直線但又不與該直線相交，則，又,解得，，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故函數(shù)為偶函數(shù).【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.原不等式可化為，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，，則有，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，兩邊平方，得，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù).（1）求與的解析式；（2）推斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性并用定義證明.【答案】（1），（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析【解析】【小問(wèn)1詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可得，，因?yàn)?，所以，即，解得?【小問(wèn)2詳解】的定義域?yàn)?，，且，則.所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.20.已知函數(shù)（1）試探討方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，其中；（2）若方程的實(shí)數(shù)解有3個(gè)，分別記為，其中，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】由基本不等式，時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.令，則..畫出的圖像與直線，如圖.由圖像可知，當(dāng)，即時(shí)，有1個(gè)解；當(dāng)或，即時(shí)，有2個(gè)解；當(dāng)，即時(shí)，有3個(gè)解.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)解，依據(jù)圖像以及3個(gè)解的大小關(guān)系，有，其中，對(duì)于，已知，解得，則，故，即的取值范圍為.21.物體在常溫下冷卻的溫度改變可以用牛頓冷卻定律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度為，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后的溫度為T，則，其中，為環(huán)境溫度，a為參數(shù).某日室溫為20，上午8點(diǎn)小王運(yùn)用某品牌電熱養(yǎng)生壺?zé)?升水（假設(shè)加熱時(shí)水溫隨時(shí)間改變?yōu)橐淮魏瘮?shù)，且初始溫度與室溫一樣），8分鐘后水溫達(dá)到100，8點(diǎn)18分時(shí)，壺中熱水自然冷卻到60.（1）求8點(diǎn)起壺中水溫T（單位：）關(guān)于時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)；（2）若當(dāng)日小王在1升水沸騰（100）時(shí)，恰好有事出門，于是將養(yǎng)生壺設(shè)定為保溫狀態(tài)，已知保溫時(shí)養(yǎng)生壺會(huì)自動(dòng)檢測(cè)壺內(nèi)水溫，當(dāng)壺內(nèi)水溫高于臨界值50時(shí)，設(shè)備不加熱，當(dāng)壺內(nèi)水溫不高于臨界值50時(shí)，起先加熱至80后停止，加熱速度與正常燒水一樣，問(wèn)養(yǎng)生壺（在保溫狀態(tài)下）多長(zhǎng)時(shí)間后其次次起先加熱？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）27分鐘后養(yǎng)生壸（在保溫狀態(tài)下）其次次起先加熱【解析】【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，代入，，解得，則，由題意，代入，，，得，所以.【小問(wèn)2詳解】若從降溫至，由題意有，代入，計(jì)算得分鐘，故經(jīng)過(guò)14分鐘養(yǎng)生業(yè)（在保溫狀態(tài)下）起先第一次加熱；從加熱至須要分鐘，從降溫至，，代入，，，可得，計(jì)算得分鐘，則共須要分鐘，故27分鐘后養(yǎng)生壸（在保溫狀態(tài)下）其次次起先加熱.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，寫出的單調(diào)區(qū)間（不須要說(shuō)明理由）；（2）當(dāng)時(shí)，解不等式；（3）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上