適用于新教材2025版高中數(shù)學課時素養(yǎng)檢測二十一立體圖形的直觀圖新人教A版必修第二冊

PAGE二十一立體圖形的直觀圖(25分鐘55分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述不正確的是()A．三角形的直觀圖仍舊是一個三角形B．90°的角的直觀圖會變?yōu)?5°的角C．與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话隓．原來平行的線段仍舊平行【解析】選B.依據斜二測畫法，三角形的直觀圖仍舊是一個三角形，故A正確；90°的角的直觀圖不肯定為45°的角，例如也可以為135°，所以B不正確；由斜二測畫法可知，與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄蔆正確；依據斜二測畫法的作法可得原來平行的線段仍舊平行，故D正確．2．用斜二測畫法畫如圖所示直角三角形的水平放置的直觀圖，正確的是()【解析】選B.以直角頂點為坐標原點建立坐標系，由斜二測畫法規(guī)則知，在直觀圖中此角變?yōu)殁g角，解除C和D，又原三角形的高在y軸上，在直觀圖中在y′軸上，長度減半，故B正確．3．(2024·洛陽高一檢測)已知水平放置的平面四邊形ABCD，用斜二測畫法得到的直觀圖是邊長為1的正方形，如圖所示，則四邊形ABCD的周長為()A.2B．6C．4eq\r(2)＋2D．8【解析】選D.由直觀圖可得原圖形如圖，依據斜二測畫法可知，AB＝CD＝1，AC＝2eq\r(2)，在Rt△ABC中，BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(（2\r(2)）2＋12)＝3，又AD＝BC，所以四邊形ABCD的周長為2×3＋2×1＝8.4．如圖所示，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底邊長均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是()A.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\r(2)D．2＋eq\r(2)【解析】選D.由題圖可知，原平面圖形為直角梯形，其上底長為1，下底長為1＋2×1×cos45°＝1＋eq\r(2)，高為2，所以其面積為S＝eq\f(（1＋1＋\r(2)）×2,2)＝2＋eq\r(2).5．一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，已知長方體的長、寬、高分別為20m，5m，10m，四棱錐的高為8m，若按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為()A．4cm，1cm，2cm，1.6cmB．4cm，0.5cm，2cm，0.8cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cmD．2cm，0.5cm，1cm，0.8cm【解析】選C.由比例尺可知長方體的長、寬、高和四棱錐的高分別為4cm，1cm，2cm和1.6cm，再結合斜二測畫法，可知直觀圖的相應尺寸應分別為4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.二、填空題(每小題5分，共10分)6．如圖，在直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2cm，則在xOy坐標系中原四邊形OABC為________(填形態(tài))，面積為________cm2.【解析】由題意，結合斜二測畫法可知，四邊形OABC為矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，所以四邊形OABC的面積S＝2×4＝8(cm2).答案：矩形87．如圖所示為水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐標系xOy中點B的坐標為(2，2)，用斜二測畫法畫出它的直觀圖A′B′C′O′，則點B′到x′軸的距離為________．【解析】在直觀圖A′B′C′O′中，B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故點B′到x′軸的距離為eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)三、解答題(每小題10分，共20分)8．如圖，四邊形A′B′C′D′是邊長為1的正方形，又知它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖，請畫出該四邊形的原圖形，并求出原圖形面積．【解析】由已知中A′B′C′D′是邊長為1的正方形，又知它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖，可得該四邊形的原圖形，如圖所示：這是一個底邊長為2，高為eq\r(2)的平行四邊形，故原圖的面積為2eq\r(2).【補償訓練】如圖所示，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形．【解析】(1)畫直角坐標系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)過B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于D′，在OA上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′；(3)連接AB，BC，得△ABC.則△ABC即為△A′B′C′對應的平面圖形，如圖所示．9．已知梯形ABCD，依據斜二測畫法畫出它的直觀圖A′B′C′D′，如圖所示，其中A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，求：(1)梯形ABCD的面積；(2)梯形ABCD以BC為旋轉軸旋轉一周形成的幾何體是什么？【解析】(1)依據題意，四邊形A′B′C′D′還原成直角梯形ABCD，如圖，其中AB＝AD＝2，BC＝4，則梯形ABCD的面積為eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6；(2)可知旋轉后形成的幾何體為一個圓柱和一個圓錐形成的組合體．(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1．(2024·天津高一檢測)用斜二測畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′如圖所示，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是()A．ABB．ADC．BCD．AC【解析】選D.依據△A′B′C′的形態(tài)可知△ABC的形態(tài)如下圖：由圖可知最長的線段為AC.2．如圖，邊長為1的正方形O′A′B′C′是一個水平放置的平面圖形OABC的直觀圖，則平面圖形OABC以OA為軸旋轉一周所圍成的幾何體是()A.一個圓柱B．一個圓柱和一個同底面的圓錐的組合體C．一個圓錐和一個同底面的圓柱(內部挖去一個同底等高的圓錐)的組合體D．兩個同底的圓錐的組合體【解析】選C.由直觀圖O′A′B′C′畫出原圖OABC，如下圖所示，因為O′B′＝eq\r(2)，所以OB＝2eq\r(2)，OA＝1，則平面圖形OABC以OA為軸旋轉一周所圍成的幾何體為一個圓錐和一個圓柱(里面挖去一個圓錐).3．已知水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′(斜二測畫法)是邊長為eq\r(2)a的正三角形，則原△ABC的面積為()A．eq\r(2)a2B．eq\f(\r(3),2)a2C．eq\f(\r(6),2)a2D．eq\r(6)a2【解析】選D.正三角形A′B′C′還原回原三角形如圖，過C′作C′D垂直于x′軸于D，因為△A′B′C′是邊長為eq\r(2)a的正三角形，所以C′D＝eq\f(\r(6)a,2)，過C′作C′E平行于x′軸交y′軸于E，則A′E＝eq\r(2)C′D＝eq\r(3)a，所以，C′對應的原圖形中的點C在平面直角坐標系xOy下的縱坐標為2eq\r(3)a，即原三角形ABC底邊AB上的高為2eq\r(3)a，所以，原三角形ABC面積S＝eq\f(1,2)×eq\r(2)a×2eq\r(3)a＝eq\r(6)a2.【補償訓練】(2024·杭州高一檢測)下面每個選項的2個邊長為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()【解析】選C.對于A、B、D選項，兩個三角形在斜二測畫法下所得的直觀圖中，底邊AB不變，底邊上的高變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)，如圖：選項A選項B選項D所以兩個圖形的直觀圖全等；對于C中，第一個三角形在斜二測畫法下所得的直觀圖中，底邊AB不變，底邊上的高變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)，其次個三角形在斜二測畫法下所得的直觀圖中，底邊AB變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)，底邊上的高OC不變，如圖所以這兩個圖形的直觀圖不全等．2．已知正三角形ABC的邊長為a，那么用斜二測畫法得到的△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2D．eq\f(\r(6),16)a2【解析】選D.依據題意，建立如圖①所示的平面直角坐標系，再依據斜二測畫法畫出其直觀圖，如圖②中△A′B′C′所示．易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.過點C′作C′D′⊥A′B′于點D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.4．如圖Rt△O′A′B′是一個平面圖形的直觀圖，若O′B′＝eq\r(2)，則這個平面圖形的面積是()A．1B．eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4eq\r(2)【解析】選C.由直觀圖可知，原平面圖形是Rt△OAB，其中OA⊥OB，則OB＝O′B′＝eq\r(2)，OA＝2O′A′＝4，所以S△OAB＝eq\f(1,2)OB·OA＝2eq\r(2).【點評】平面多邊形的斜二測畫法的直觀圖與原圖的面積關系：設一個平面多邊形的面積為S原，它的斜二測畫法直觀圖的面積為S直，則有S直＝eq\f(\r(2),4)S原(或S原＝2eq\r(2)S直).二、填空題(每小題5分，共10分)5．假如一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是如圖所示的直角梯形，其中O′A′＝2，∠B′A′O′＝45°，B′C′∥O′A′.則原平面圖形的面積為________．【解析】∠B′A′O′＝45°＝∠B′O′A′，則△O′A′B′是等腰直角三角形，所以A′B′＝O′B′＝eq\r(2)，又O′C′⊥C′B′，∠C′O′B′＝45°，所以B′C′＝1，在直角坐標系中作出原圖形為可得BC＝1，OA＝2，OB＝2eq\r(2)，所以S梯形OABC＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2eq\r(2)＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)6．如圖為△ABO水平放置的直觀圖△A′B′O′，由圖推斷△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的依次是__________.【解析】由題圖可知，還原直角坐標的圖形△ABO中，OD和橫軸重合長度不變故OD＝2，BD和縱軸平行，長度變?yōu)樵瓉淼?倍，故BD＝4，這樣就畫出原圖形了．由勾股得到AB＝eq\r(17)，BO＝2eq\r(5).故OD<BD<AB<BO.答案：OD<BD<AB<BO【補償訓練】如上圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測畫法，畫出這個梯形的直觀圖O′A′B′C′，在直觀圖中梯形的高為__________．【解析】因為OA＝6，CB＝2，所以OD＝2.又因為∠COD＝45°，所以CD＝2.梯形的直觀圖如圖，則C′D′＝1.所以梯形的高C′E′＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)Ｋ三、解答題(每小題10分，共30分)7.如圖是利用斜二測畫法畫出的△ABO的直觀圖，已知O′B′＝4，且△AOB的面積為16，A′B′∥y′軸，過A′作A′C′⊥x′軸，求A′C′的長度．【解析】因為A′B′∥y′軸，所以△ABO中，AB⊥OB，又S△ABO＝16，OB＝O′B′＝4，所以eq\f(1,2)AB·OB＝16，所以AB＝8，所以A′B′＝4，在Rt△A′B′C′中，A′C′＝A′B′·sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2).8．用斜二測畫法畫出圖中水平放置的圖形的直觀圖．【解析】步驟是：①在圖(1)中，取O點為原點，以水平方向的直線為x軸，豎直方向的直線為y軸；過A，B點分別作AM⊥x軸于點M，BN⊥x軸于點N.②取任一點O′，畫出相應的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖(2)；在x′軸上取O′M′＝OM，O′N′＝ON，過M′，N′分別作M′A′∥O′y′、N′B′∥O′y′，且M′A′＝eq\f(1,2)MA，N′B′＝eq\f(1,2)NB.③連接O′，A′，