初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）第28講 三角恒等變換（教師版）

第28講三角恒等變換1．掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，會進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的化簡求值計算；2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；3．能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換。一、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1、兩角和與差的正弦：::2、兩角和與差的余弦：::3、兩角和與差的正切：:.:.注意：①公式的適用范圍是使公式兩邊有意義的角的取值范圍；②公式的變形：；二、二倍角公式1、二倍角的正弦（）：；變形2、二倍角的余弦（）：.3、二倍角的正切（）：三、升（降）冪縮（擴(kuò)）角公式利用余弦的二倍角公式變形可得：升冪公式：，降冪公式：，四、積化和差與和差化積公式1、積化和差2、和差化積五、輔助角公式對于形如的式子，可變形如下：=由于上式中和的平方和為1，故令，則==其中角所在象限由的符號確定，角的值由確定，或由和共同確定．六、三角函數(shù)給角求值與給值求值問題“給角求值”、“給值求值”問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.1、關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系．2、常見的配角技巧：，，，等．七、三角函數(shù)給值求角問題實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；（2）已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好.考點(diǎn)一：兩角和與差的余弦公式例1．（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B.【變式訓(xùn)練1】化簡的結(jié)果為.【答案】/【解析】.故答案為：【變式訓(xùn)練2】的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故選：C考點(diǎn)二：兩角和與差的正弦公式例2．的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三角函數(shù)公式化簡可得，故選：．【變式訓(xùn)練】.【答案】【解析】解析原式.故答案為：考點(diǎn)三：兩角和與差的正切公式例3．若，則等于（）A．1B．C．2D．【答案】C【解析】由，可得，所以，故,故選：C【變式訓(xùn)練1】計算.【答案】【解析】.故答案為：【變式訓(xùn)練2】的值為（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，故，即，所以，同理，，，故，故選：B考點(diǎn)四：二倍角公式例4．（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由二倍角的正弦公式可得：.故選：B.【變式訓(xùn)練1】等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，解得解得或，，.故選：A【變式訓(xùn)練2】計算：．【答案】【解析】根據(jù)二倍角公式得故答案為：考點(diǎn)五：和差化積與積化和差公式例5．（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】,故選：C【變式訓(xùn)練】若，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.考點(diǎn)六：輔助角公式例6．的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B.【變式訓(xùn)練1】函數(shù)在的最大值是（）A．2B．0C．1D．【答案】C【解析】由已知可得，.因?yàn)?，所?又在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，即時，函數(shù)取得最大值.故選：C.【變式訓(xùn)練2】對任意角，化為的形式．【答案】【解析】考點(diǎn)七：給值求值例7．已知，則．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所?故答案為：.【變式訓(xùn)練1】已知，，求的值．【答案】.【解析】因?yàn)?，，所以，即．又，，解得：，，所以，，所以．【變式?xùn)練2】設(shè)，都為銳角，且，，則等于（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】∵為銳角，，∴，又∵，都為銳角，∴，∴由可得，或，當(dāng)時，，（為銳角，，舍去）當(dāng)時，，∴.故選：B.考點(diǎn)八：給值求角例8．設(shè)，均為鈍角，且，，則的值為.【答案】【解析】∵，，且，，，∴.∵，∴；故答案為：.【變式訓(xùn)練1】已知，，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，故，，故，又，所以，故選：．【變式訓(xùn)練2】已知且則=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，且，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以因?yàn)?，所以，故選：D考點(diǎn)九：三角恒等變換綜合例9．求.【答案】/0.5【解析】故答案為：.【變式訓(xùn)練】化簡：．【答案】【解析】因?yàn)椋?，原式＝＝，所以原?1．的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故選：C.2．若，為方程的兩根，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，根據(jù)韋達(dá)定理可得，所以得.故選：A3．已知，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以故選：B4．（多選）下列各式中值為的是（）．A．B．C．D．【答案】AC【解析】因?yàn)?，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，故選項(xiàng)B錯誤；因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，整理得，，故選項(xiàng)D錯誤；故選：AC.5．（多選）已知，，，，則（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】①因?yàn)椋?，又，故有，，解出，故A錯誤；②，由①知：，所以，所以，故B正確；③由①知：，而，所以，又，所以，解得，所以又因?yàn)?，，所以，有，故C正確；④由，由③知，，兩式聯(lián)立得：，故D錯誤．故選：BC6．計算所得的結(jié)果為．【答案】【解析】原式.故答案為：.7．函數(shù)的最小正周期為．【答案】【解析】.所以的最小正周期為.故答案為：8．已知銳角，且滿足.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)闉殇J角，，所以.因?yàn)椋卿J角，即，，所以，，又因?yàn)?，所?.（2）由（1）知，，因?yàn)槭卿J角，，所以，由，，所以，，因?yàn)?，所?9．從①，②，③，這三個已知條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并給出解答.問題：已知角是第四象限角，且滿足__________.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）若選①，則由題意得，則，又角是第四象限角，所以，于是.若選②，則由題意得，又角是第四象限角，所以，于是.若選③，則由題意得，且為第四象限角，得，所以，于是.（2）由（1）可知，所以.10．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最大值：（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知當(dāng)，即，時，（2）∵當(dāng)時，遞增，即，時，單增區(qū)間為，與的交集為；時，單增區(qū)間為，與無交集∴函數(shù)的遞增區(qū)間為1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?由可得，.當(dāng)時，，且；當(dāng)時，所以，.所以，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A.2．已知，，且，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】且，，.又，，.當(dāng)時，，，，不合題意，舍去；當(dāng)，同理可求得，符合題意.綜上所述：.故選：.3．已知，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，所以，由，解得.故選：B4．下列各式中，值為的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對A，，故A錯誤；對B，，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，，故D錯誤；故選：B.5．（多選）下列各式的值為1的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】錯誤；對；對，D錯誤.故選：BC.6．．【答案】【解析】由．故答案為：．7．．【答案】【解析】∵，，∴，∴．∴故答案為：8．已