初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）第29講 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)（教師版）

第29講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)1．結(jié)合具體實(shí)例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的實(shí)際意義，能借助圖象理解參數(shù)A、ω、φ的意義，了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響；2．掌握y＝Asin(ωx＋φ)圖象間的變換關(guān)系，并能正確指出其變換步驟。一、A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響1、A決定了函數(shù)的值域以及函數(shù)的最大值和最小值，通常稱(chēng)A為振幅.2、φ決定了x=0時(shí)的函數(shù)值，通常稱(chēng)φ為初相，ωx＋φ為相位.3、ω決定了函數(shù)的周期二、三角函數(shù)圖象變換1、振幅變換：要得到函數(shù)y＝Asinx（A＞0，A≠1）的圖象，只要將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A＞1時(shí)）或縮短（當(dāng)0＜A＜1時(shí)）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）即可得到．2、平移變換：要得到函數(shù)y＝sin（x＋φ）的圖象，只要將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜0時(shí)）平行移動(dòng)|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到．3、周期變換：要得到函數(shù)y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的圖象，可以把函數(shù)y＝sinx上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω＞1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)0＜ω＜1時(shí)）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）即可得到．4、函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩種途徑5、三角函數(shù)圖象變換中的三個(gè)注意點(diǎn)（1）變換前后，函數(shù)的名稱(chēng)要一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為同名函數(shù)；例如：sint=cos?(t?（2）要弄清變換的方向，即變換的是哪個(gè)函數(shù)圖象，得到的是哪個(gè)函數(shù)圖象，切不可弄錯(cuò)方向；（3）要弄準(zhǔn)變換量的大小，特別是平移變換中函數(shù)y＝Asinx到y(tǒng)＝Asin(x＋φ)的變換量是|φ|個(gè)單位，函數(shù)y＝Asinωx到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)時(shí)，變換量是eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))個(gè)單位．三、用五點(diǎn)法畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示.x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0考點(diǎn)一：根據(jù)函數(shù)圖象求解析式例1．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由圖可得，所以，則，又，則，所以，則，又因，所以.故選：A.【變式訓(xùn)練】函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖，則此函數(shù)的解析式為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖，觀察選項(xiàng)，不妨設(shè)，，，由函數(shù)圖像可得，，，，又，故，則函數(shù)的解析式可化為，將點(diǎn)代入得，即，又，取，得，此時(shí).故選：A．考點(diǎn)二：同名函數(shù)的圖象變換過(guò)程例2．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】只需將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到的圖象故選：C【變式訓(xùn)練】要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，再向右平移個(gè)單位B．把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，再向左平移個(gè)單位C．把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位D．把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，即可得到的圖象；再把的圖象向右平移個(gè)單位，可得的圖象.故選：A.考點(diǎn)三：異名函數(shù)的圖象變換過(guò)程例3．為得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個(gè)單位B．向左平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位【答案】B【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得的圖象，故選：B．【變式訓(xùn)練】要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的（）A．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】因?yàn)?，則將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象，再把所得的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到的圖象．故選：C．考點(diǎn)四：函數(shù)圖象變換前后的解析式例4．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，將的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為.故選：B.【變式訓(xùn)練】把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，所得圖象的解析式是，則函數(shù)的解析式為．【答案】【解析】將函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的得到函數(shù)的圖象，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，所以.故答案為：.考點(diǎn)五：函數(shù)圖象變換前后的重合問(wèn)題例5．若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為．【答案】【解析】由題設(shè)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，有與圖象重合，所以，則，又，故的最小值為.故答案為：【變式訓(xùn)練】（多選）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象與圖像重合，則的值可以為（）A．－6B．6C．8D．12【答案】ABD【解析】由題意可知，，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與圖像重合，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故D正確；故選：ABD.考點(diǎn)六：由圖象變換研究函數(shù)的性質(zhì)例6．將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值為（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，所以即.又m>0，所以m的最小值為.故選：B．【變式訓(xùn)練】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象過(guò)原點(diǎn)，則m的最小值是.【答案】【解析】由題意可知，平移后函數(shù)解析式為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，所以，即，解得，即，又，故時(shí)，m取最小值故答案為：.考點(diǎn)七：三角函數(shù)圖象性質(zhì)綜合應(yīng)用例7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

（1）求的解析式；（2）將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn).【答案】（1）；（2）零點(diǎn)為0與.【解析】（1）由圖象可得，，則，即，∴由圖象得，即，∴，，則，，又，∴，故；（2）將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函，∴，令，則或，解得，，或，，又，∴或，即函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)為0與.【變式訓(xùn)練】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0x030（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫(xiě)出函數(shù)的解析式；（2）將圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，若圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，求的最小值.【答案】（1）表格見(jiàn)解析，;（2）【解析】（1）0x030-30由表格可知，周期，可得，代入點(diǎn)，可得，又，所以時(shí)，，故.（2）由（1）可以得到函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到函數(shù)，而函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，故，則，當(dāng)時(shí)，.1．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）.A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】將向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度有，∴只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得的圖象.故選：C2．若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得函數(shù)為：，則關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最小值為，故選：D.3．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，則所得圖象的函數(shù)解析式為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到圖象的解析式為，再將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，則所得圖象的函數(shù)解析式為，故選：D．4．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），最后得到函數(shù)的圖像，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，再將得到的圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到，即，故選：C5．為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位【答案】A【解析】，將函數(shù)向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，得到，故，解得，即向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位.故選：A6．已知曲線(xiàn)的圖像，，則下面結(jié)論正確的是（）A．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)B．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)D．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)【答案】D【解析】對(duì)于曲線(xiàn)，，要得到，則把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，即得到曲線(xiàn).故選：D.7．將函數(shù)的圖象向左平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)=cos2x的圖象，則a的最小值為（）A．B．C．D．π【答案】B【解析】將函數(shù)f(x)=sin(2x-)的圖象向左平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y=sin[2(x+a)-]=sin[2x+(2a-)]的圖象，所以y=sin[2x+(2a-)]的圖象與g(x)=cos2x的圖象重合.因?yàn)間(x)=cos2x=sin(2x+)，所以2a-=2kπ+，k∈Z，即a=kπ+，k∈Z.當(dāng)k=0時(shí)，可得amin=.故選：B.8．（多選）函數(shù)(，，)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示，則（）A．該函數(shù)的解析式為B．該函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)中心為，C．該函數(shù)的增區(qū)間是，D．把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得到該函數(shù)圖像【答案】ACD【解析】由題圖可知，，周期，所以，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，所以，，即，，又，故，從而，故A正確；令，，得，，故B錯(cuò)誤；令，，得，，故C正確；函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，故D正確．故選:ACD9．已知函數(shù).（1）若把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向右平移，得到函數(shù)的圖象，寫(xiě)出的函數(shù)解析式；（2）在（1）的基礎(chǔ)上求在的單調(diào)區(qū)間及值域.【答案】（1）；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為；【解析】（1）把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變得到，再將所得函數(shù)圖象向右平移得到，則，（2）由，則，所以，所以，令，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，解得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以；即在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，值域?yàn)椋?0．某同學(xué)用“五點(diǎn)法“畫(huà)圖數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整；（2）直接寫(xiě)出函數(shù)的解析式，并求在上的值域；（3）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，求的最小值0050【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2），值域?yàn)?；?）【解析】（1）由條件可知，解得：，，所以，解得：，當(dāng)，解得：，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，0x0500（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值5，所以函數(shù)的值域是（3）函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)中心是，因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，所以，解得：,因?yàn)椋?dāng)時(shí)，的最小值是.1．要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位【答案】B【解析】因?yàn)?所以要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,故選:B.2．把函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)y=sin(x+)的圖象，則f(x)為（）A．sin(x+)B．sin(x+)C．sin(x+)D．sin(x-)【答案】C【解析】向右平移個(gè)單位后得到，則即為向左平移個(gè)單位，即．故選：C3．若將函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得的圖象，再向右平移個(gè)單位，得的圖象,令，，解得，；時(shí)，得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，．故選：A4．把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍，然后把圖象向左平移個(gè)單位，則所得圖象表示的函數(shù)的解析式為（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】把的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，得到，再把縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍，得到；然后把圖象向左平移個(gè)單位，得到，故選：B.5．已知函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像（）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【答案】B【解析】的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，，，，的圖像可由的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.故選:B6．函數(shù)的圖象向右平移φ(0<φ<)個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則φ的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意知的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，，又因?yàn)?，所以．答案：B7．(多選)已知曲線(xiàn):，:，則下面結(jié)論正確的是（）A．把向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線(xiàn)B．把向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線(xiàn)C．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)D．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)【答案】AD【解析】把向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像，再把得到的曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖像