高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè) 平面向量的概念 練習(xí)（含解析）

人教A版（2019）必修第二冊(cè)6.1平面向量的概念同步練

習(xí)

一、單選題

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.單位向量均相等

B.單位向量e=i

c.零向量與任意向量平行

D.若向量a,滿足|a|=|b|,則a=±b

E.0=0

2.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①單位向量都平行；②若兩個(gè)單位向量共線，則這兩個(gè)向量相等；

③向量a與。不共線，則a與。都是非零向量；

④有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行；

⑤方向?yàn)槟掀?0。的向量與北偏東60。的向量是共線向量.

A.2B.3C.4D.5

UUVULKTUUIY

BABCBD

3.在平行四邊形ABCD中，|4引=3,若陶+圈=陶，則IAC|=()

A.2下＞B.3舊C.473D.3

4.如圖，設(shè)。是正六邊形ABCDE尸的中心，則與不相等的向量為()

A.OCB.FOC.EDD.FC

5.已知向量a，6是單位向量，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.a=bB.a+b=0C.|a|=|/?|D.

a±b

6.在四邊形ABCD中，AB//CD,|AB|^|CD|,則四邊形ABCD是（)

A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.正方形

7.a,6為非零向量，"&=2”為“a/共線”的

\a\

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.即不充分也不必要條件

8.下列命題正確的是（）

A.若°與b共線，6與c共線，貝卜與c共線

B.三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面

C.若a//，則存在唯一的實(shí)數(shù)2,使。=肪

D.零向量是模為0,方向任意的向量

9.下列條件中能得到〃=6的是（）

A.W=HB.0與6的方向相同；

C-a=0，b為任意向量D-a=0且6=0

10.過(guò)AABC內(nèi)一點(diǎn)加任作一條直線，再分別過(guò)頂點(diǎn)AB,C作/的垂線，垂足分別為

D,E,F,若AD+BE+CP=0恒成立，則點(diǎn)M是AABC的

A.垂心B.重心C.外心D.內(nèi)心

11.下列說(shuō)法正確的是（）

A.向量與向量54是相等向量

B.與實(shí)數(shù)類似，對(duì)于兩個(gè)向量a，6有a=b,a>b>a<6二種關(guān)系

C.兩個(gè)向量平行時(shí)，表示向量的有向線段所在的直線一定平行

D.若兩個(gè)非零向量是共線向量，則向量所在的直線可以平行，也可以重合

12.給出下列命題：①零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的;

②若a,6都是單位向量，則4=6;

③向量AB與54相等.

則所有正確命題的序號(hào)是（）

A.①B.③

C.①③D.①②

二、填空題

13.已知de?為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,

MN=2gj—3e2,NP=+6e2,若M,N,

尸三點(diǎn)共線，則上.

1|UUIU||UUttI|

14.已知四邊形ABC。中，AB=^DC,且，。卜卜弓，則四邊形A2CD的形狀是

15.已知四邊形ABCD是矩形，設(shè)點(diǎn)集M=｛A,3,C,。｝,集合T=｛尸0P,QeM且尸，

。不重合｝,用列舉法表示集合7=

16.在如圖所示的向量中（小正方形的邊長(zhǎng)為1）,判斷是否存在下列關(guān)系的

向量：

（1）是共線向量的有;

（2）方向相反的向量有；

（3）模相等的向量有.

17.如圖，在3ABe中，。是2C的中點(diǎn)，E在邊上，BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)

A3

。.若A8-AC=6AO-EC，則f的值是.

A

三、解答題

18.如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E,F,。分別是AC,AB,BC的中點(diǎn).

A

BDC

（1）寫出與EF共線的向量；

（2）寫出與E尸的模大小相等的向量；

（3）寫出與E尸相等的向量.

19.如圖所示，4x3的矩形（每個(gè)小方格都是單位正方形），在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的

頂點(diǎn)處的向量中，試問(wèn)：

（1）與々相等的向量共有幾個(gè)；

（2）與藍(lán)方向相同且模為3亞的向量共有幾個(gè)；

20.如圖，已知AABC中，。為BC的中點(diǎn)，AE=^EC,AD,BE交于點(diǎn)、F,設(shè)

AC=a，AD=b.

（2）若=求實(shí)數(shù)f的值.

21.一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100千米到達(dá)8點(diǎn)，然后改變方向，向北偏西

40。方向行駛了200千米到達(dá)C點(diǎn)，最后改變方向，向東行駛了100千米到達(dá)。點(diǎn).作

出向量

參考答案:

1.c

利用單位向量的定義可判斷AB；利用零向量的定義可判斷CE；利用向量定義可判斷D.

【詳解】

對(duì)于A,單位向量是模長(zhǎng)為1的向量，而向量是有大小，有方向的量，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,單位向量同=1,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,零向量方向任意，故零向量與任意向量平行，故C正確；

對(duì)于D,若向量滿足同=仰，只說(shuō)明的大小相等，方向不一定，故D錯(cuò)誤；

對(duì)于E,忖=0,故E錯(cuò)誤；

故選：C

2.A

根據(jù)向量的定義判斷.

【詳解】

①錯(cuò)誤，因?yàn)閱挝幌蛄康姆较蚩梢约炔幌嗤植幌喾矗?/p>

②錯(cuò)誤，因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量共線，則這兩個(gè)向量的方向有可能相反；

③正確，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量共線，所以若向量a與b不共線，則a與6都是非零向

量；

④錯(cuò)誤，有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；

⑤正確，方向?yàn)槟掀?0。的向量與北偏東60。的向量的方向是相反的，所以這兩個(gè)向量是

共線向量.

正確的有兩個(gè).

故選：A.

3.B

由題意分析可知，四邊形ABCD為菱形且443c=120,然后求解|AC|.

【詳解】

uuuimuiu

八BABCBD

Quir+ULM=，則3。平分NABC,則四邊形ABC。為菱形.

IBA|\BC\

且NABC=120,由|AB|=|8C|=3,貝1J|AC|=3』,

故選：B.

a

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是要注意R為“上的單位向量，考查學(xué)

生的邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

由正六邊形的性質(zhì)結(jié)合平面向量相等的概念即可得解.

【詳解】

由題意，AB=OC=FO=ED,2AB=FC.

故選：D.

5.C

根據(jù)單位向量的概念進(jìn)行分析即可.

【詳解】

單位向量的模長(zhǎng)都為1,方向不一定相同，所以口=忖正確,

故選：C.

6.A

由A2〃CD可得AB//CD,結(jié)合|可判斷四邊形ABCD的形狀.

【詳解】

AB//CD,

：.AB//CD,又網(wǎng)工皿

**?四邊形ABC。是梯形，

故選：A.

7.B

共線，b方向相同或相反，共線的單位向量不一定相等，結(jié)合充分必要條件的判斷，

即可得出結(jié)論.

【詳解】

上,2分別表示與4,6同方向的向量，

1611al

-=4-,則有0,6共線，

聞\a\

而a,6共線，則上，上的方向不一定相同，即兩向量不一定相等，

\a\

Z7h

“一=一”為“a,b共線”的充分不必要條件.

\b\\a\

故選:B.

本題考查命題充分不必要條件的判定，考查共線向量和單位向量的間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

假設(shè)6為零向量，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)向量的特征，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)共線向量定

理，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)零向量的定義，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

A選項(xiàng)，若6=0,則根據(jù)零向量方向的任意性，可的a與6共線，6與c共線；但a與c不

一定共線，故A錯(cuò)；

B選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄渴强梢宰杂梢苿?dòng)的量，因此三個(gè)向量共面，其所在的直線不一定共面；

故B錯(cuò)；

C選項(xiàng)，根據(jù)共線向量定理，若aUb，其中，力力，則存在唯一的實(shí)數(shù)幾使“=肪；故C

錯(cuò)；

D選項(xiàng)，根據(jù)零向量的定義可得，零向量是模為0,方向任意的向量；即D正確.

故選：D.

本題主要考查向量相關(guān)命題的判定，熟記向量的概念，向量的特征，以及共線向量定理即

可，屬于基礎(chǔ)題型.

9.D

根據(jù)相等向量的概念，即可得到結(jié)果.

【詳解】

由于a=所以°與6的大小相等，方向相同，故D正確.

故選：D.

10.B

本題采用特殊位置法，將直線特殊為過(guò)三角形頂點(diǎn)，從而可得解.

【詳解】

本題采用特殊位置法較為簡(jiǎn)單.

因?yàn)檫^(guò)AABC內(nèi)一點(diǎn)M任作一條直線，可將此直線特殊為過(guò)點(diǎn)A,則40=0,有

BE+CF=0-

如圖：

M,

B

fE

則有直線AM經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)，

同理可得直線BM經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)，直線CM經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn),

所以點(diǎn)加是AABC的重心，

故選B.

本題主要考查了向量在三角形中的應(yīng)用，采用了特殊位置法，屬于難題.

11.D

根據(jù)向量的基本概念辨析可知.

【詳解】

解：對(duì)于A,向量48與向量是相反向量，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)橄蛄渴怯蟹较蚝痛笮〉牧浚詢蓚€(gè)向量不能比較大小，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)兩個(gè)向量平行時(shí)，表示向量的有向線段所在的直線平行或共線，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由共線向量的定義可知，當(dāng)兩個(gè)向量是共線向量時(shí)，有向量所在的直線可以平

行，也可以重合，所以D正確.

故選：D

12.A

根據(jù)零向量和單位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不僅要長(zhǎng)度相等，方向要相

同，可否定③.

【詳解】

根據(jù)零向量的定義可知①正確；

根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一

定相等，故②錯(cuò)誤；

向AB與BA互為相反向量，故③錯(cuò)誤.

故選：A.

本題考查零向量和單位向量的概念，相等向量的概念，屬概念辨析，正確掌握概念即可.

13.-4

結(jié)合向量的共線性質(zhì)和相等向量的運(yùn)算即可得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)镸,N,P三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)％使得

所以2q-3e2=+6e2),

又G，e?為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，

[2=kA.

可得。a，解得上4

[-3=6k

故答案為：-4

14.等腰梯形

]IlliI|UUU||Uun,

由AB=：Z)C,得到鉆〃CD且得出ABCD是梯形，再根據(jù)卜卜],得

到四邊形A3CD是等腰梯形.

【詳解】

由題意，向量AB=；OC,可得A5〃CD且

即線段AB平行于線段CD,且線段A3的長(zhǎng)度是線段CD長(zhǎng)度的一半，

所以四邊形ABCD是梯形，

|111叫|Umi|

又因?yàn)?所以梯形ABCD的兩個(gè)腰相等，所以四邊形ABCO是等腰梯形.

故答案為：等腰梯形.

15.{AB,BA,AC,CA,AD,DA,BC,CB,BD,DB,CD,DC)

根據(jù)集合T的元素特征，列出集合T的所有元素，由此可得集合T.

【詳解】

*/7=鏟@尸,。€時(shí)且P,。不重合},M={A,B,C,D},

：.T={AB,BA,AC,CA,AD,DA,BC,CB,BD,DB,CD,DC},

故答案為：

11m

16.a和d，e和6a和d，b和ea,c,d

（1）通過(guò)表示向量的有線段的關(guān)系，利用向量共線的定義找出共線向量

（2）利用相反向量的定義，從找出相反向量.

（3）直接由圖形中得出有線段的長(zhǎng)度相等的即可.

【詳解】

解：（1）a//d>e//b>故a和d，e和匕是共線向量.

（2）°和d,b和e是方向相反的向量.

（3）由勾股定理可得，模相等的向量有二,二工

11IU

故答案為：（1）a和d,e和6;（2）°和2,6和e;（3）a,c,d-

本題考查共線向量、相反向量的定義和向量的模長(zhǎng)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

17.6

由題意將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值.

【詳解】

如圖，過(guò)點(diǎn)。作DF7/CE,交AB于點(diǎn)R由BE=2EA,D為BC中點(diǎn)，知

BF=FE=EA,AO=OD.

A

6AO.EC=3AD.（AC-AE）=-（AB+AC）.（AC-AE）

=|（AB+AC）.^AC-|ABJ=|^AB.AC-|AB2+AC2-|AB.ACJ

3（2122、1232

=--AB.AC——AB+AC=AB.AC——AB+-AC=AB.AC,

2（33）22

得，A/=。AC?,即,@二百,故”二百.

22AC

本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題.

18.（1）FE，BD，DB，DC-CD，BC,CB；⑵FE，BD，DB，DB，CD;

（3）DB與CD.

（1）利用共線向量的定義，結(jié)合中位線的性質(zhì)，得到答案；（2）利用中位線的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)

。是3c的中點(diǎn)，得到答案；（3）結(jié)合相等向量的定義，得到答案.

【詳解】

（1）因?yàn)镋,E分別是AC,AB的中點(diǎn)，

所以EF//3C.所以與共線的向量有：FE，BD，DB，DC，CD,BC,CB；

（2）由（1）知EF〃臺(tái)C且斯=：2C,又。是BC的中點(diǎn)，故與E尸模相等的向量有：

FE,BD，DB，DB，CD;

（3）與E尸相等的向量有：DB與CD.

19.（1）5；（2）2.

根據(jù)共線向量和相等向量的定義、以及模的計(jì)算和對(duì)正方形的對(duì)角線即可.

【詳解】

解：由題可知，每個(gè)小方格都是單位正方形，

每個(gè)小正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度為&且都與盛平行，

貝AB=也2+2。=2后，

(1)由于相等向量