高中數(shù)學多選題知識歸納總結附解析

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

ln(x-2),x>2

1.設函數(shù)/(x)=<,|,三，g(X)=x2-(m+l)x+m2-2,下列選項正確的有

|x+l|,x<2

()

A.當m>3時，/[/(x)]=m有5個不相等的實根

B.當m=0時，g[g(x)有4個不相等的實根

C.當0<m<l時，f[g(x)]=m有6個不相等的實根

D.當m=2時，g[/(x)]=m有5個不相等的實根

【答案】BCD

【分析】

作出函數(shù)/。)的圖象，利用函數(shù)〃x)的圖象和函數(shù)g(x)的圖象分析可解得結果.

【詳解】

作出函數(shù)/(x)的圖象：

3

當相>3時，f(x)=加有兩個根：tt<-4,r2>2+e,方程/(x)=4有1個根，方程

/(%)=。2有.2個根，所以A錯誤；

②當加=0時，g(x)=x2-x-2,g[g(x)]=0,令g(x)=f,

由g(f)=。，得4=2,右=一1，

r+t.C2、1-Vi71+V17

由4=2=x-1一2nx=--—，%2=--—,

由，2=-1=X?—X—2=>七='!~/=I+,，所以B正確；

③令g(x)=f,，/⑺二根，因為0<根<1,所以/(，)=加有3個實根根彳出，與，

設％V，2<’3，所以F-1=帆q+1=帆ln(g-2)=tn.

/、2/ix2c,m+l.3m2-2m-9〉3m2-2m-9

g(x)=x-("2+l)x+〃z-2=(x------)2+-----------

244

3m2-2m-9-3m2-2m-9-3m2-2m+5

t,------------=—in-1--------

1444

因為一3加2—2加+5在(0」)上遞減，所以一3機2一2機+5>—3-2+5=0,

...i—3ni~-2??z+5八,—3m~—27?i+5

所cc以4-------------->0>所c以rB>-------------,

'414

即方程/⑺=m的最小根A大于g(x)的最小值，

所以g(x)=%、g(x)=，2、g(x)=A都有2個不等實根，且這6個實根互不相等,

所以當0<m<l時，f[g(x)]=m有6個不相等的實根，所以C正確；

④令/'(x)=f,則g?)=機，

當機=2時，方程g?)=2化為產(chǎn)一3，=()，得4=3,%=。；

當「2=0=/。)，得用=-1,々=3;

當％=3=/(x),得X,--4,x4=2,=2+e'符合題意，所以。正確.

故選：BCD.

【點睛】

關鍵點點睛：作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合法求解是解題關鍵.

2.已知函數(shù)〃x)=2"+x-2的零點為。，函數(shù)8(>)=1082%+8-2的零點為/7,則

()

W22

A.a+b=2B.2+log2&=2C.a+b>3D.Q<ab<\

【答案】ABD

【分析】

在同一坐標系中分別作出函數(shù)y=2*,y=log2x,y=2-x的圖象，圖像的交點即為函

數(shù)的零點，反函數(shù)的性質知A,3關于點(1,1)對稱，進而可判斷4B,。正確.由函數(shù)

/(X)在R上單調遞增，且/[g)<0,/(l)>o,可得零點。的范圍，可得C不正確.

【詳解】

由/(x)=0,g(x)=O得2、=2-x，log2x=2-x,

函數(shù)y=2*與y=10g2X互為反函數(shù)，

在同一坐標系中分別作出函數(shù)y=2"y=log2x,y=2-x的圖象，如圖所示，

-3

則A（a,2"）,B（0,log2勸.

由反函數(shù)的性質知A,3關于點（1,1）對稱,

則。+人=2,2"+log2b=2.因為。>0,b>0,且〃b,

所以0<4〃<（生女］=1,故A,B,D正確.

I2）

因為/（x）=2'+x-2在R上單調遞增，且=-?<°，

/（D=l>0,

所以，<a<l.

2

因為“-+/J?=#+（2—a）?=2（。—+2（s<a<1］,所以a-+/r,故C不正

確.

故選：ABD

【點睛】

方法點睛：通過畫函數(shù)圖象把零點問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題，本題考查了運算能力

和邏輯推理能力，屬于難題.

3.已知函數(shù)y=/（x—l）的圖象關于x=l對稱，且對y=/（x）,xeR,當

%,々€（7,0］時，<0成立,若〃2狽）</（2/+1）對任意的恒

成立，則。的可能取值為（）

A.-V2B.-1C.1D.72

【答案】BC

【分析】

由已知得函數(shù)/（x）是偶函數(shù)，在［0,+=o）上是單調增函數(shù)，將問題轉化為120rl<|2X2+1|對

任意的xeR恒成立，由基本不等式可求得范圍得選項.

【詳解】

因為函數(shù)y=/（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，所以函數(shù)y=/（x）的圖象關于直線

尤=0（即y軸）對稱，所以函數(shù)/（X）是偶函數(shù).

又不（-00,0］時，、一1」,二<0成立,所以函數(shù)/（幻在［0,+8）上是單調增函數(shù).

且/（2ar）<f（2x2+1）對任意的xeR恒成立，所以120rl<|+11對任意的xeR恒成

立，

當尤=0時，0<1恒成立，當XN0時，臣斗=|x+W-Rx|+|，-|,

12x|2x2x

又因為|x|+l1lN2j|x|」1l=VL當且僅當|燈=也時，等號成立，

2xV2x2

所以|a|＜也，因此一

故選：BC.

【點睛】

方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)aN/(x)恒成立(aN/(x)nm(即可)

或aW/(x)恒成立(。4/(力加即可)；②數(shù)形結合(y=/(x)圖象在y=g(x)上方

即可)；③討論最值〃力*NO或/")3W0恒成立.

4.設[用表示不超過X的最大整數(shù)，如：[1.2]=1,[-1.2]=-2,y=[x]又稱為取整函

數(shù)，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，諸如停車收費，出租車收費等均按"取整函數(shù)”進行計

費，以下關于“取整函數(shù)”的描述，正確的是()

A.VxeR,[2x]=2[x]

B.Vx,yeR,若印=[可，則了一,＞一1

C.VxeR,[x]+x+；=[2x]

D.不等式2[xf—[x]—320的解集為{x|x＜0或xN2}

【答案】BCD

【分析】

通過反例可得A錯誤，根據(jù)取整函數(shù)的定義可證明BC成立，求出不等式2r-/-3\()的

解后可得不等式2[x『_[x]-3＞0的解集，從而可判斷D正確與否.

【詳解】

對于A,x=-1.5,則[2司=[一3]=-3,2[x]=2x(_2)=T,故[2%卜2國,故A不成

立.

對于B,[x]=[y]=m,則〃2Kx+y＜加+1,

,所以故B成立.

對于C,設龍=〃z+r,其中〃?€2/€[0,1),

則[x]+x+g=2機+r+g,[2x]=2〃?+[2r],

若O?r＜L則r+-=0,[2r]=0,故[x]+x+；=[2x]；

若(＜廠＜1,則r+；=1,[2r]=l,故[*]+x+；=[2x],故c成立.

3

對于D,由不等式2［.寸9—卜］—320可得國W—1或［司22,

故x<0或x22,故D正確.

故選：BCD

【點睛】

本題考查在新定義背景下恒等式的證明與不等式的解法，注意把等式的證明歸結為整數(shù)部

分和小數(shù)部分的關系，本題屬于較難題.

5.若“X)滿足對任意的實數(shù)。，〃都有/(a+b)=/(a)/9)且/⑴=2,則下列判

斷正確的有()

A.7(x)是奇函數(shù)

B./(X)在定義域上單調遞增

C.當xe(0,+oo)時，函數(shù)〃X)>1

n/(2)+/(4)+/(6)/(2016),/(2018),/(2020)

/(l)/(3)/(5)/(2015)/(2017)/(2019)

【答案】BCD

【分析】

利用新定義結合函數(shù)的性質進行判斷.計算出/(I)判斷A；先利用/⑴=2〉1證明所有

有理數(shù)〃，有了(P)>I,然后用任意無理數(shù)q都可以看作是一個有理數(shù)列的極限，由極限

的性質得/(4)>1,這樣可判斷C,由此再根據(jù)單調性定義判斷B,根據(jù)定義計算

/(2〃)

八(及eN),然后求得D中的和，從而判斷D.

【詳解】

令。=0,6=1,則/(1)=/(1+0)=/(1"(0),即2=2/(0),「.”0)=1,/(x)不可

能是奇函數(shù)，A錯；

對于任意xwR,F(X)H0,若存在使得/(%)=0,則

/(0)=/(%+(-/))=/(%)/(-%)=0,與9(0)=1矛盾,故對于任意xeR,

/(X)H0,

???對于任意xeR,f(-)=+=>0,

x(I)

?.?/(1)=2>1,.?.對任意正整數(shù)"，

同理f(理=/(I+1+…+1)==2">1,

m

對任意正有理數(shù)顯然有〃=—(加,"是互質的正整數(shù))，則

對任意正無理數(shù)9,可得看作是某個有理數(shù)列P1，P2，P3,…的極限，而/他)>1，

ieN,，f⑷與f(pj的極限，二f(q)>l,

綜上對所有正實數(shù)x,有f(x)>l,C正確，

設％<超，則—尤1>0，二一玉)>1,貝!]

f(電)=+(%-%))=f(X)?/(X2-Xi)>/(/)，???/(X)是增函數(shù),B正確:

由已知f(2n)=f(2n-l+D=f(2n-l)f(l)=2/(2〃-1)，二對)、、=2,

/(2016)1/(2018)1/(2020)

7(2015)+7(2017)+7(2019)=2+2+…+2=2,1010=2020

川)〃3)〃5)-101杯2-

,D正確.

故選：BCD.

【點睛】

本題考查新定義函數(shù)，考查學生分析問題，解決問題的能力，邏輯思維能力，運算求解能

力，對學生要求較高，本題屬于難題.

-----,x>2

6.已知定義域為R的奇函數(shù)f(x),滿足/(x)=12x—3,下列敘述正確的

x2-2x+2,Q<x<2

是()

A.存在實數(shù)k,使關于X的方程/5)=依有7個不相等的實數(shù)根

B.當-1<占<X?<1時，恒有/(%)>/(工2)

C.若當XC(0,0時，/(X)的最小值為1,則ae[1,2]

2

33

D.若關于x的方程/(x)=5和/(x)=加的所有實數(shù)根之和為零，則機=一萬

【答案】AC

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)/(-幻=-/(口，利用已知定義域的解析式，可得到對稱區(qū)間上的函數(shù)解析

式，然后結合函數(shù)的圖象分析各選項的正誤，即可確定答案

【詳解】

函數(shù)是奇函數(shù)，故/(x)在R上的解析式為：

2x+3

—%2—2.x—2,—2<x<0

/(x)=<0,x=0

x2-2x+2,0<x<2

---,x>2

[2x-3

對4如下圖所示直線4與該函數(shù)有7個交點，故人正確;

故當f(x)的最小值為1時有故C正確

若使得其與/(x)=m的所有零點之和為o,

【點睛】

本題考查了分段函數(shù)的圖象，根據(jù)奇函數(shù)確定對稱區(qū)間上函數(shù)的解析式，進而根據(jù)函數(shù)的

圖象分析命題是否成立

7.定義：若函數(shù)尸(x)在區(qū)間［。，句上的值域為［a,b］,則稱區(qū)間［a,?是函數(shù)F(x)

的“完美區(qū)間"，另外，定義區(qū)間/(力的"復區(qū)間長度”為2(。-0),已知函數(shù)

/(%)=|x2-l|,則()

A.［0,1］是/(x)的一個"完美區(qū)間"

B.與^，笥6是/(X)的一個"完美區(qū)間”

C./(X)的所有“完美區(qū)間"的"復區(qū)間長度，的和為3+石

D.“X)的所有“完美區(qū)間"的"復區(qū)間長度”的和為3+26

【答案】AC

【分析】

根據(jù)定義，當時求得了(x)的值域，即可判斷A；對于B,結合函數(shù)值域特點即可

判斷；對于C、D,討論〃VI與力>1兩種情況，分別結合定義求得"復區(qū)間長度”，即可判

斷選項.

【詳解】

對于A,當xe[O,l]時，/(x)=|x2-l|=l-x2,則其值域為[0,1],滿足定義域與值域的

范圍相同，因而滿足“完美區(qū)間"定義，所以A正確；

對于B,因為函數(shù)/(》)=卜2-1卜0,所以其值域為[0,+8),而上￡5<o,所以不存

在定義域與值域范圍相同情況，所以B錯誤；

對于C,由定義域為[a,b\,可知0<a<。，

當HI時，[a，^]U[0,l],此時〃力=,2_1卜1_父，所以在卜，口內單調遞

減，

f(a)=\-cr=b

貝I滿足j；J=i_/=q，化簡可得a2—a=廬一人，

r1、2(1?1111

即—I=b—>所以a—=b—或a—=—b,

I2jI2；2222

解得。=b(舍)或。+力=1,

a+b=l

由《,2，解得。=1或。=0(舍)，

a+b-=1

所以a=h—l=0,經(jīng)檢驗滿足原方程組，所以此時完美區(qū)間為[0,1],貝『'復區(qū)間長度”為

29-。)=2；

當。>1時，①若0Wa<l,則lw[a,b],此時/(4加=/(1)=。.當”力在[。，句

的值域為[a，b],則a=0,/(/?)=/?,因為Z?>1,所以即滿足

b2_b_i=(),解得匕=匕*，8=上手(舍).所以此時完美區(qū)間為10,上半]，則

"復區(qū)間長度"為2伍-。)=2'匕普=1+6；

②若iWa,W/(x)=x2-l,xe[a,b],此時/(%)在[a,句內單調遞增,若/(x)

/(a)=er—1—a

的值域為[a，b],貝上?，則為方程V一%—1=()的兩個不等式實數(shù)

f(b)=b-l=b

根,

1-亞

解得玉=與叵2

所以‘廣，與iWa矛盾，所以此時不存在完美

1+V5

2

區(qū)間.

綜上可知，函數(shù)/（月=卜2-1|的"復區(qū)間長度”的和為2+1+君=3+6，所以C正確，

D錯誤；

故選：AC.

【點睛】

本題考查了函數(shù)新定義的綜合應用，由函數(shù)單調性判斷函數(shù)的值域，函數(shù)與方程的綜合應

用，分類討論思想的綜合應用，屬于難題.

8.下列選項中a的范圍能使得關于x的不等式f+|x—4一2<0至少有一個負數(shù)解的是

A.1-如］B.（2,3）C.（1,2）D.（0,1）

【答案】ACD

【分析】

將不等式變形為及一4<2一》2,作出函數(shù)丁=上一〃|,丁=2一/的圖象，根據(jù)恰有一個負

數(shù)解時判斷出臨界位置，再通過平移圖象得到。的取值范圍.

【詳解】

因為％2+,一同一2<0,所以|x-a|<2-f且2-*2>0,

在同一坐標系中作出>=卜一同,丁=2-%2的圖象如下圖：

當丁=卜一&與y=2-f在>軸左側相切時，

_￥-口=2-丁僅有一解，所以A=l+4（a+2）=0,所以。=一;，

將y=向右移動至第二次過點（0,2）時，|0-a|=2,此時a=2或a=-2（舍），

結合圖象可知：。€(一；,2),所以ACD滿足要求.

故選：ACD.

【點睛】

本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，著重考查數(shù)形結合的思想，難度較難.利用數(shù)形結合可解

決的常見問題有：函數(shù)的零點或方程根的個數(shù)問題、求解參數(shù)范圍或者解不等式、研究函

數(shù)的性質等.

9.己知函數(shù)/(x)=J不+2+]<0，則下列判斷正確的是()

A.“X)為奇函數(shù)

B.對任意X1,%2eR，則有(XI-切"(％)-/(%2)]40

C.對任意xwR,則有/(x)+/(-x)=2

D.若函數(shù)y=|/(x)卜〃說有兩個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是(―8,0)U(4,+8)

【答案】CD

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調性判斷AB選項；對X進行分類討論，判斷C選項；對選項D,

構造函數(shù)，將函數(shù)的零點問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題，即可得出實數(shù)m的取值范圍.

【詳解】

對于A選項，當尤>0時，一x<0,則

f(-x)———(-x)~+2(-x)+1=-(x2+2x-1)w-f(x)

所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故A錯誤；

對于B選項，y=%2+2%+1的對稱軸為元=-1,y=-/+2x+l的對稱軸為尤=1

所以函數(shù)y=f+2%+1在區(qū)間[0,+oo)上單調遞增，函數(shù)丁=一%2+2%+1在區(qū)間(一00,0)

上單調遞增，并且02+2x0+1=-02+2x0+1

所以/(x)在H上單調遞增

即對任意/<,,(%,aeR),都有/(再)</(w)

則x]—x2<0,/&)-/(”2乂00&-芍)[〃玉)-"々)])。,故B錯誤；

對于C選項，當x〉0時，一x<0,貝U/(—%)=—(―x)-+2(—%)+1=-—2x+1

則/(%)+/(-x)=M+2x+l—-2x+l=2

當x=0時，/(-0)=/(0)=l,則/(-0)+/(0)=2

當x<0時，一x>0,則/(—x)=(―x)-+2(—x)+1=Y—2x+1

則/(x)+/(-幻=一％?+2x+1+x2-2x4-1=2

即對任意xeR,則有〃x)+“r)=2,故C正確;

對于D選項，當尤=0時，y=|/(0)|=lw0,則x=0不是該函數(shù)的零點

令函數(shù)g(x)=El必，函數(shù)丁=加

由題意可知函數(shù)y=機與函數(shù)g(x)=乜工」的圖象有兩個不同的交點

因為/(X)?。時,xe[l-0,+8),/(x)<。時,xe(-00,l-忘)

1cC

Xd--F2,X>0

X

所以g(x)=<-*+,+2,1-&?%<0

x----2,xv1—>/2

/\/、11(x-1)

當兀>0時，設0<大〈工2<1，g(X)-g(工2)=%----X2--=----=---z--

%"

因為玉一次2<0,王々一1<0，所以g(xJ-g(X2)>0，即g(%)>g(%2)

設1<玉<工2，g—g(工2)=("_?I/"JvO,即g(xJ<g(X2)

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞減，在區(qū)間(1,+8)上單調遞增

同理可證，函數(shù)g(x)在區(qū)間［1-a,0)上單調遞減，在區(qū)間卜8,1-0)上單調遞增

g⑴=1H——卜2=4

函數(shù)g(x)圖象如下圖所示

由圖可知，要使得函數(shù)y=m與函數(shù)g(x)=H必的圖象有兩個不同的交點

X

則實數(shù)m的取值范圍是(TQ,0)U(4,+s),故D正確；

故選：CD

【點睛】

本題主要考查了利用定義證明函數(shù)的單調性以及奇偶性，由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的范

圍，屬于較難題.

2x-\\,x<\,,

10.已知/(x)=?1,則關于x的方程［/(X)F—/(X)+2A-1=0,下列正

Inx,x>1,

確的是()

A.存在實數(shù)A，使得方程恰有1個不同的實數(shù)解

B.存在實數(shù)A,使得方程恰有2個不同的實數(shù)解

C.存在實數(shù)上，使得方程恰有3個不同的實數(shù)解

D.存在實數(shù)攵，使得方程恰有6個不同的實數(shù)解

【答案】ACD

【分析】

令/(X)=f20,根據(jù)判別式確定方程/一/+2%一1=0根的個數(shù)，作出了(X)的大致圖

象，根據(jù)根的取值，數(shù)形結合即可求解.

【詳解】

令"X)=年0,則關于X的方程[/(X)]2-f(x)+2k-l=Q,

可得/一，+2左一1=0，

當上=*時，A=l—4(2%-1)=0,此時方程僅有一個根

82

當女＜，時，A=l-4（2攵-1）＞0,此時方程有兩個根乙也，

且。+，2=1，此時至少有一個正根；

當人＞|時，△=1-4（2"1）＜0,此時方程無根；

當.e（O』）、Z2e（O,l）,且4HH時，/（x）=Z,有6個不同的交點,D正確;

當方程有兩個根4,弓，一個大于1，另一個小于0，

此時/（x）=f,僅有1個交點，故A正確；

當方程有兩個根44,一個等于1，另一個等于0，/（力=乙有3個不同的交點，

當女時，A=l-4（2左-1）＜0,此時方程無根.

8

故選：ACD

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查了根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關鍵是利用換元法將方程化

為一一t+2Z-1=0,根據(jù)方程根的分布求解，考查了數(shù)形結合的思想，分類討論的思想.

二、導數(shù)及其應用多選題

11.已知。＞0,b＞0,下列說法錯誤的是（）

A.若則a+Z;22

B.若e“+2a=e"+38，則匕

C.a(lna-lnO)2a-Zj恒成立

D.二—恒成立

ee

【答案】AD

【分析】

對A式化簡，通過構造函數(shù)的方法，結合函數(shù)圖象，說明A錯誤；對B不等式放縮

ea+2a>eb+2b，通過構造函數(shù)的方法，由函數(shù)的單調性，即可證明B正確；對C不等

式等價變型a(lna-ln6)Na-8=lngzi-2,通過Vx>O,lnx>1-,恒成立，可得

C正確；D求出二-bln8的最大值，當且僅當41時取等號，故D錯誤.

eb=—

、e

【詳解】

A.相?//=1<=>qlna+hln/?=0

設/(x)=xlnx,.,./3)+/S)=。

-4-3-2-1O

由圖可知，當b.「時，存在afo+,使/3)+/'S)=。

此時u+b—>1,故A錯誤.

B.ea+2a=eb+3b>eb+2b

設/(x)="+2x單調遞增，.?/>〃，B正確

Qb

C.(2(ln6(-ln/?)>6Z-/?oln—>1——

又Vx>0/nx>1—,/.In—21,C正確

xba

x1

D.丁=~7=>凡小=一當且僅當％=1；

ee

y=xlnx=%加=--當且僅當工=」；

ee

a=\

所以二—4nbV-,當且僅當〈1時取等號，D錯誤.

故選：AD

【點睛】

本題考查了導數(shù)的綜合應用，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，轉化的數(shù)學思想和數(shù)

形結合的數(shù)學思想，屬于難題.

12.對于函數(shù)/(x)=一丁，下列說法正確的是()

A.函數(shù)在x="處取得極大值/B.函數(shù)的值域為

C./(X)有兩個不同的零點D./(2)</(V^)</(V3)

【答案】ABD

【分析】

求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間，進而研究函數(shù)的極值可判斷A選項，作出函數(shù)

的抽象圖像可以判斷BCD選項.

【詳解】

—X1-lnx-2x

函數(shù)的定義域為(0,+。)，求導l-21nx,

r(%)=x

令/'(x)=(),解得：x=&

X(G,+oo)

f(X)+0—

/(X)/極大值

所以當無=及時，函數(shù)有極大值/(&)=：,故A正確；

對于BCD,令/(x)=0,得lnx=0,即x=l,當x—>+℃時，lnx>0,%2>0>則

/(x)>0

作出函數(shù)/(X)的抽象圖像，如圖所示:

故B正確；函數(shù)只有一個零點，故C錯誤；又函數(shù)

/(X)在(&,+℃)上單調遞減，且〃<&<正<2,則/(2)</(6)</(G),故D

正確；

故選：ABD

【點睛】

方法點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，函數(shù)的極值，函數(shù)的值域，及求函數(shù)零點

個數(shù)，求函數(shù)零點個數(shù)常用的方法：

(1)方程法：令/(x)=0,如果能求出解，有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間“上是連續(xù)不斷的曲線，且

/(a)?/°)<(),還必須結合函數(shù)的圖像與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才

能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質.

(3)數(shù)形結合法：轉化為兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù)的圖像，看其

交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

13.已知函數(shù)/(x)=ln|x|-x+：,g(x)=x-(x-l)lnx,則下列結論正確的是()

A.g(x)存在唯一極值點與,且毛€(1,2)

B./(X)恰有3個零點

C.當女<1時，函數(shù)g(x)與〃(x)=丘的圖象有兩個交點

D.若蒼龍2>0且/(xj+/(w)=o，則X1%2=1

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)導數(shù)求得函數(shù)g'(x)在(0,+8)上為單調遞減函數(shù)，結合零點的存在性定，可判定A正

確；利用導數(shù)求得函數(shù)/(x)在(-8,0),(0,+8)單調遞減，進而得到函數(shù)/(X)只有2

個零點，可判定B不正確；由g(x)=依，轉化為函數(shù)e(x)=(x-l)lnx和〃?(x)=(l-Qx

的圖象的交點個數(shù)，可判定c正確；由/(%)+/(毛)=0,化簡得到/■(%)=/('),

結合單調性，可判定D正確.

【詳解】

由函數(shù)g(x)=x_(x-l)lnx,可得g，(x)=_lnx+g,x>0,貝ijg"(x)=_4_5<0,

所以g'(x)在(0,+s)上為單調遞減函數(shù)，又由g'⑴=l>0,g⑵=-ln2+g<0,

所以函數(shù)g(尤)在區(qū)間(1,2)內只有一個極值點，所以A正確；

由函數(shù)“x)=lnW-x+J,

當x>0時，f(x)=\nx-x+-,可得r(x)=r-+jT,

XX

i3

因為―/+1-1=一0-/)2-：<0,所以./(x)<0,函數(shù)“X)在(0,+⑼單調遞減；

又由/(1)=0,所以函數(shù)在(0,+8)上只有一個零點，

當了<0時，/(x)=ln(-x)-x+-,可得尸(x)=7]l,

XX

13

因為一爐+%-1=-0-5)2-：<0,所以,/(力<0,函數(shù)“X)在(一8,0)單調遞減；

又由/(-1)=0,所以函數(shù)在(一8,0)上只有一個零點，

綜上可得函數(shù)〃x)=lnW-x+(在定義域內只有2個零點，所以B不正確；

令g(x)=Ax,即x-(x-l)lnx=h，即(x-l)lnx=(l-&)x,

設=(x-1)Inx,/n(x)=(1-k)x,

可得"(x)=lnx+l-J,貝ijs"(x)=g+5>0,所以函數(shù)°,(X)(0,+℃)單調遞增，

又由"(1)=0,可得當xe(0,l)時，"(x)<0,函數(shù)°(x)單調遞減，

當xe(l,+co)時，"(x)>0,函數(shù)°(x)單調遞增，

當x=l時，函數(shù)e(x)取得最小值，最小值為9(1)=0,

又由鞏x)=(l—A)x,因為4<1,貝UI—%>0,且過原點的直線，

結合圖象，即可得到函數(shù)S(x)=(x-l)lnx和鞏x)=(l-幻x的圖象有兩個交點，所以C正

確；

由西々〉0，若王〉。,*2>0時，因為/(石)+/(w)=o，

可得/㈤=一小2)=-['”-％+三I、「無I+1I-三1=/(已I]即

X2

/(%)=/(—),因為/.(X)在(0,+°0)單調遞減，所以工1=,，即3馬=1，

同理可知，若%<0,》2<0時，可得X々=1，所以D正確.

故選:ACD.

y

c?(x)=(x-l)lnx

\=(1-A,)x

【點睛】

函數(shù)由零點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：

1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為

從/(x)中分離參數(shù)，然后利用求導的方法求出由參數(shù)構造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設條

件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；

2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常

解法為結合函數(shù)的單調性，先確定參數(shù)分類標準，在每個小范圍內研究零點的個數(shù)是否符

合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.

14.設函數(shù)，(幻=1+6+伙下列條件中，使得y=/(x)有且僅有一個零點

的是()

A.a=\,b=2B,a=-3,b=-3c,a>0,b<2D.a<0,b>0

【答案】ABC

【分析】

求導7*)=3/+”，分和。<0進行討論，當aNO時，可知函數(shù)單調遞增，有且

只有一個零點；當。<0時，討論函數(shù)的單調性，要使函數(shù)有一個零點，則需比較函數(shù)的極

大值與極小值與0的關系，再驗證選項即可得解.

【詳解】

Qf(x)=x3+ax+b,求導得/'(x)=3/

當aNO時，/'(xRO,；./(x)單調遞增，當xf-s時，f(x)->-oo；當x—用

時，/0)f+8；由零點存在性定理知，函數(shù)/(x)有且只有一個零點，故A,C滿足題

意;

當。<0時，令/(x)=0,即3/+。=0,解得/=_息,“后

當x變化時，f'(x),/(?的變化情況如下表:

D選項，a<O,b>Q,不一定滿足，故D不符合題意；

故選：ABC

【點睛】

思路點睛：本題考查函數(shù)的零點問題，如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,加上的圖像是連續(xù)不

斷的一條曲線，并且有/(辦/(，)<0,那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)內有零點，

即存在ce(a,〃)，使得/(c)=0,這個c也就是方程/(x)=0的根，考查學生的邏輯推

理與運算能力，屬于較難題.

15.關于函數(shù)/(x)=e'+sinx,xe(—?,+oo),下列結論正確的有()

A./(x)在(0,+o))上是增函數(shù)

B.7(x)存在唯一極小值點與

C./(x)在(一肛+0。)上有一個零點

D.f(x)在(一肛+8)上有兩個零點

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)函數(shù)人M求得/'(%)與尸(X),再根據(jù)_r(x)>o在(-/,+o。)恒成立，確定r(x)在

(一4,”)上單調遞增，及xe(0,+w)/'(x)>(),且存在唯一實數(shù)與€(-3,一^),使

/'(%)=0,從而判斷A,B選項正確；再據(jù)此判斷函數(shù)/*)的單調性，從而判斷零點個數(shù).

【詳解】

xx

由已知/(x)=e*+sinx,xe(一肛+8)得f\x)=e+cosx，f\x)=e-sin%,

XG(-TT,+。。)，/"(x)>0恒成立，

f(x)在(一肛+8)上單調遞增,

3萬-網(wǎng)/4-三

又八-R=e4一號<o,八一2>0/(0)=2〉0

xe(0,y)時/'(x)>/'(())>(),且存在唯一實數(shù)小€(-芳,一9,使/'(%)=(),即

e*=-cosx0,

所以/(x)在(0,+o。)上是增函數(shù)，且/(x)存在唯一極小值點看,故A,B選項正確.

且/(x)在(一萬,/)單調遞減，(陽),+8)單調遞增，

又f(-兀)=""+0>0,/(x())=e*+sinx0=sinx0-cosx0=V2sin(x0-?)<0,

/(0)=l>0,所以f(x)在(一4,+8)上有兩個零點，故D選項正確，C選項錯誤.

故選：ABD.

【點睛】

導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識

點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：⑴考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析

幾何、微積分相聯(lián)系.⑵利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參

數(shù).⑶利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結合思想的應

用.

16.(多選)已知函數(shù)/(幻=以-Inx(awR),則下列說法正確的是()

A.若a40,則函數(shù)f(x)沒有極值

B.若。>0,則函數(shù)/(X)有極值

C.若函數(shù)/(x)有且只有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是［-8,J］

D.若函數(shù)/(x)有且只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是(一叫02，)

【答案】ABD

【分析】

先對/(x)進行求導，再對。進行分類討論，根據(jù)極值的定義以及零點的定義即可判斷.

【詳解】

解：由題意得，函數(shù)f(x)的定義域為(0,+8),且==，

xx

當aVO時，/'(x)<0恒成立，此時/(x)單調遞減，沒有極值，

又???當x趨近于。時，f(x)趨近于+00,當x趨近于+8時，f(x)趨近于-°。，

/(幻有且只有一個零點，

當a>0時，在(0,5)上，/'(x)<o,〃幻單調遞減，

在上，尸(x)>0,/(x)單調遞增，

.,.當x=L時，f(x)取得極小值，同時也是最小值，

a

/(x)min=/(5)=l+lna,

當x趨近于0時，Inx趨近于~0°,/(X)趨近于+8,

當X趨近于+8時，f(x)趨近于+8,

當l+lna=O,即a=!時，Ax)有且只有一個零點；

e

當l+lna<0,即0<a<，時，/(%)有且僅有兩個零點，

e

綜上可知ABD正確，C錯誤.

故選：ABD.

【點睛】

方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：

⑴直接求零點：令/(力=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；

⑵零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間［。，加上是連續(xù)不斷的曲線，且

f(a)f(b)<0,還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少

個零點；

⑶利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫

坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

17.定義在R上的函數(shù)f(x),若存在函數(shù)g(x)=ax+8(a,b為常數(shù))，使得

/(x)Ng(x)對一切實數(shù)x都成立，則稱g(x)為函數(shù)/(x)的一個承托函數(shù)，下列命題中

正確的是()

fInx,x>0

A.函數(shù)g(尤)=-2是函數(shù)/(尤)=〈，的一個承托函數(shù)

J,%,0

B.函數(shù)g(x)=x-l是函數(shù)/(x)=x+sinx的一個承托函數(shù)

C.若函數(shù)g(x)=ax是函數(shù)/(尤)=6,的一個承托函數(shù)，則a的取值范圍是［0,e］

D.值域是R的函數(shù)f(x)不存在承托函數(shù)

【答案】BC

【分析】

由承托函數(shù)的定義依次判斷即可.

【詳解】

解：對A,?.?當X>0時，/(X)=lnA-G(-oo,4w),

/(x)2g(x)=-2對一切實數(shù)x不一定都成立，故A錯誤；

對B,令f(x)=/.(x)-g(x),則f(x)=x+sinx-(x-l)=sinx+120恒成立，

函數(shù)g(x)=x-l是函數(shù)/(X)=x+sinx的一個承托函數(shù)，故B正確；

對C,令h(x)=ex-ax,貝?。輙i(x)=ex-a,

若a=0,由題意知，結論成立，

若a>0,令"(x)=0,得x=Ina,

函數(shù)力(x)在(-8,Ina)上為減函數(shù)，在(Ina,+0。)上為增函數(shù)，

，當x=lna時，函數(shù)"x)取得極小值，也是最小值，為a-alna,

???g(x)=?x是函數(shù)/(x)=e'的一個承托函數(shù)，

a-alna>0,

即InaS1,

0<a<e,

若a<0,當x--8時，h(x)->-oo,故不成立，

綜上，當噫上e時，函數(shù)g(x)=av是函數(shù)/(x)=e'的一個承托函數(shù)，故C正確：

對D,不妨令/(幻=2r送(%)=2%-1,則f(x)-g(x)=120恒成立，

故g(x)=2x-l是f(x)=2x的一個承托函數(shù)，故D錯誤.

故選：BC.

【點睛】

方法點睛：以函數(shù)為載體的新定義問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題

形式有新概念、新法則、新運算等，這類試題中函數(shù)只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造

性解決問題的能力.

18.設函數(shù)〃x)=a'-x"(a>l)的定義域為(0,+8),已知〃力有且只有一個零點，下

列結論正確的有()

A.a=eB.在區(qū)間(l,e)單調遞增

C.尤=1是/(X)的極大值點D./⑻是人力的最小值

【答案】ACD

【分析】

f(x)只有一個零點，轉化為方程優(yōu)一￡=0在(0,+8)上只有一個根，即叱=色色只有

xa

Inx

一個正根.利用導數(shù)研究函數(shù)〃(x)=——的性質，可得a=e,判斷A,然后用導數(shù)研究

x

函數(shù)/(x)=e，-f的性質，求出,(X),令/'(x)=(),利用新函數(shù)確定/(x)只有兩個零

點1和e,并證明出f(x)的正負，得八》)的單調性，極值最值.判斷BCD.

【詳解】

f(x)只有一個零點，即方程優(yōu)一￡=0在(0,y)上只有一個根，a'=xa，取對數(shù)得

x\na=a\nx,即史匹=3?只有一個正根.

xa

設餌幻=叱，則”(%)=上坐，當0<x<e時，l(x)>0,〃(x)遞增，x-0時，

XX

〃(x)f-oo,時，/ir(x)<0,/z(x)遞減，此時〃(x)>0,

〃(X)max=〃(C)=L

e

???要使方程”竺=則只有一個正根.則四=」或電9<0,解得a=e或a<0,又

xaaea

'：a>\,..a=e.A正確；

f(x)=e'-xe,f\x)=ex-exe'',

f\x)=e*-exe-'=0,*=-，取對數(shù)得x-1=(e-1)Inx,

易知x=1和x=e是此方程的解.

設p(x)=(e-I)lnx-x+l,=當0cx<e-l時，p'M>0,p(x)遞

x

增，x>e-l時，”(x)<0,p(x)遞減，是極大值，

又p(l)=p(e)=0,

所以P(x)有且只有兩個零點，

elxex

0<x<l或x>e時，〃(x)<(),即(e-l)lnx<x-l,x~<e~'.ex~'<e?

f(x)>0,同理l<x<e時，f(x)<0,

所以/(x)在(0,1)和(e,+oo)上遞增，在以,e)上遞減,所以極小值為/(e)=0,極大值為