第八章　培優(yōu)點10　阿波羅尼斯圓與蒙日圓-2025高中數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版

培優(yōu)點10阿波羅尼斯圓與蒙日圓在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及隱圓、蒙日圓，這些問題聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，難度為中高檔．題型一阿波羅尼斯圓“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個定點A(－a,0)，B(a,0)(a>0)的距離之比為正數(shù)λ(λ≠1)的點的軌跡是以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)a，0))為圓心，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2aλ,λ2－1)))為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓．例1(1)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果．他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓T：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B為橢圓T長軸的端點，C，D為橢圓T短軸的端點，E，F(xiàn)分別為橢圓T的左、右焦點，動點M滿足eq\f(|ME|,|MF|)＝2，△MAB面積的最大值為4eq\r(6)，△MCD面積的最小值為eq\r(2)，則橢圓T的離心率為()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)答案A解析設(shè)M(x，y)，E(－c,0)，F(xiàn)(c,0)，由eq\f(|ME|,|MF|)＝2，可得eq\r(x＋c2＋y2)＝2eq\r(x－c2＋y2)，化簡得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5c,3)))2＋y2＝eq\f(16c2,9).∵△MAB面積的最大值為4eq\r(6)，△MCD面積的最小值為eq\r(2)，∴eq\f(1,2)×2a×eq\f(4,3)c＝4eq\r(6)，eq\f(1,2)×2b×eq\f(1,3)c＝eq\r(2)，∴b2＝eq\f(1,3)a2＝a2－c2，即c2＝eq\f(2,3)a2，∴e＝eq\f(\r(6),3).(2)已知點P是圓(x－4)2＋(y－4)2＝8上的動點，A(6，－1)，O為坐標(biāo)原點，則|PO|＋2|PA|的最小值為________．答案10解析假設(shè)A′(m，n)，使得|PO|＝2|PA′|，設(shè)P(x，y)，則eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(x－m2＋y－n2)，從而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0，從而可知圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4m,3)，\f(4n,3)))，由題意得圓3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0與圓(x－4)2＋(y－4)2＝8是同一個圓，所以eq\f(4m,3)＝4，eq\f(4n,3)＝4，解得m＝n＝3，即A′(3,3)．所以|PO|＋2|PA|＝2(|PA′|＋|PA|)≥2|A′A|＝2eq\r(6－32＋－1－32)＝10.即|PO|＋2|PA|的最小值為10.思維升華阿波羅尼斯圓的逆用當(dāng)題目給了一個圓的方程和一個定點，我們可以假設(shè)另一個定點，構(gòu)造相同的阿氏圓，利用兩圓是同一個圓，便可以求出定點的坐標(biāo)．跟蹤訓(xùn)練1(1)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩個定點A，B的距離之比為λ(λ>0，且λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(3)，則|PA|2＋|PB|2的最大值為()A．16＋8eq\r(3) B．8＋4eq\r(3)C．7＋4eq\r(3) D．3＋eq\r(3)答案A解析由題意，設(shè)A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，因為eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(3)，所以eq\f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝eq\r(3)，即(x－2)2＋y2＝3，所以點P的軌跡是以(2,0)為圓心，半徑為eq\r(3)的圓，因為|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，其中x2＋y2可看作圓(x－2)2＋y2＝3上的點(x，y)到原點(0,0)的距離的平方，所以(x2＋y2)max＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，所以[2(x2＋y2＋1)]max＝16＋8eq\r(3)，即|PA|2＋|PB|2的最大值為16＋8eq\r(3).(2)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，M，N是x軸上兩定點，點P是圓O：x2＋y2＝1上任意一點，且滿足|PM|＝2|PN|，則|MN|＝________.答案eq\f(3,2)解析如圖所示，設(shè)M(m,0)，N(n,0)，P(x，y)，∵|PM|＝2|PN|，∴|PM|2＝4|PN|2，∴(x－m)2＋y2＝4[(x－n)2＋y2]，即x2－2mx＋m2＋y2＝4x2－8nx＋4n2＋4y2，即3x2＋(2m－8n)x＋3y2＋4n2－m2＝0，由題意得，x2＋y2＋eq\f(2m－8n,3)x＋eq\f(4n2－m2,3)＝0與x2＋y2＝1表示同一個圓．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2m－8n,3)＝0，,\f(m2－4n2,3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝－\f(1,2)，))∴|MN|＝|m－n|＝eq\f(3,2).題型二蒙日圓在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓叫蒙日圓．設(shè)P為蒙日圓上任一點，過點P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點A，B，O為原點．性質(zhì)1PA⊥PB.性質(zhì)2kOP·kAB＝－eq\f(b2,a2).性質(zhì)3kOA·kPA＝－eq\f(b2,a2)，kOB·kPB＝－eq\f(b2,a2)(垂徑定理的推廣)．性質(zhì)4PO平分橢圓的切點弦AB.性質(zhì)5延長PA，PB交蒙日圓O于兩點C，D，則CD∥AB.性質(zhì)6S△AOB的最大值為eq\f(ab,2)，S△AOB的最小值為eq\f(a2b2,a2＋b2).性質(zhì)7S△APB的最大值為eq\f(a4,a2＋b2)，S△APB的最小值為eq\f(b4,a2＋b2).例2(1)(2023·撫松模擬)蒙日圓涉及的是幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓，若橢圓C：eq\f(x2,a＋2)＋eq\f(y2,a)＝1(a>0)的蒙日圓的方程為x2＋y2＝4，則a等于()A．1B．2C．3D．4答案A解析∵橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，找兩個特殊點分別為(0，eq\r(a))，(eq\r(2＋a)，0)，則兩條切線分別是x＝eq\r(2＋a)，y＝eq\r(a)，這兩條切線互相垂直，且兩條直線的交點為P(eq\r(2＋a)，eq\r(a))，而P在蒙日圓上，∴(eq\r(2＋a))2＋(eq\r(a))2＝4，解得a＝1.(2)(2023·合肥模擬)已知A是圓x2＋y2＝4上的一個動點，過點A作兩條直線l1，l2，它們與橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1都只有一個公共點，且分別交圓于點M，N.①求證：對于圓上的任意點A，都有l(wèi)1⊥l2成立；②求△AMN面積的取值范圍．①證明當(dāng)直線l1，l2有一條斜率不存在時，不妨設(shè)l1的斜率不存在，∵l1與橢圓只有一個公共點，∴其方程為x＝±eq\r(3)，當(dāng)l1的方程為x＝eq\r(3)時，此時l1與圓的交點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，±1))，∴l(xiāng)2的方程為y＝1或y＝－1，故l1⊥l2成立，同理可證，當(dāng)l1的方程為x＝－eq\r(3)時，結(jié)論成立；當(dāng)直線l1，l2的斜率都存在時，設(shè)點A(m，n)且m2＋n2＝4，設(shè)過點A的直線方程為y＝k(x－m)＋n，代入橢圓方程，可得(1＋3k2)x2＋6k(n－km)x＋3(n－km)2－3＝0，由Δ＝0化簡整理得(3－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0，∵m2＋n2＝4，∴(3－m2)k2＋2mnk＋m2－3＝0，設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，∴k1k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2成立，綜上，對于圓上的任意點A，都有l(wèi)1⊥l2成立．②解記原點到直線l1，l2的距離分別為d1，d2，∵M(jìn)A⊥NA，∴MN是圓的直徑，∴|MA|＝2d2，|NA|＝2d1，deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝|OA|2＝4，則△AMN的面積為S＝eq\f(1,2)|MA|·|NA|＝2d1d2，則S2＝4deq\o\al(2,1)deq\o\al(2,2)＝4deq\o\al(2,1)(4－deq\o\al(2,1))＝－4(deq\o\al(2,1)－2)2＋16，∵d1∈[1，eq\r(3)]，即deq\o\al(2,1)∈[1,3]，∴S2∈[12,16]，∴S∈[2eq\r(3)，4]，故△AMN的面積的取值范圍為[2eq\r(3)，4]．思維升華蒙日圓在雙曲線、拋物線中的推廣雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB交點P的軌跡是蒙日圓：x2＋y2＝a2－b2(只有當(dāng)a>b時才有蒙日圓)．拋物線y2＝2px(p>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB交點P的軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線：x＝－eq\f(p,2)(可以看作半徑無窮大的圓)．跟蹤訓(xùn)練2(多選)(2023·泰州模擬)畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A，B為橢圓上兩個動點．直線l的方程為bx＋ay－a2－b2＝0.下列說法正確的是()A．橢圓C的蒙日圓的方程為x2＋y2＝3b2B．對直線l上任意一點P，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))>0C．記點A到直線l的距離為d，則d－|AF2|的最小值為eq\f(4\r(3),3)bD．若矩形MNGH的四條邊均與橢圓C相切，則矩形MNGH面積的最大值為6b2答案AD解析對于A，過點Q(a，b)可作橢圓的兩條互相垂直的切線x＝a，y＝b，∴點Q(a，b)在蒙日圓上，∴蒙日圓方程為x2＋y2＝a2＋b2，由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2)得a2＝2b2，∴橢圓C的蒙日圓方程為x2＋y2＝3b2，A正確；對于B，由l方程知，l過點P(b，a)，又點P滿足蒙日圓方程，∴點P(b，a)在圓x2＋y2＝3b2上，當(dāng)A，B恰為過點P所作橢圓兩條互相垂直的切線的切點時，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，B錯誤；對于C，∵點A在橢圓上，∴|AF1|＋|AF2|＝2a，∴d－|AF2|＝d－(2a－|AF1|)＝d＋|AF1|－2a，當(dāng)F1A⊥l時，d＋|AF1|取得最小值，最小值為F1到直線l的距離，由A知，a2＝2b2，則c2＝a2－b2＝b2，即c＝b，∴F1到直線l的距離d′＝eq\f(|－bc－a2－b2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|－b2－2b2－b2|,\r(3)b)＝eq\f(4\r(3),3)b，∴(d－|AF2|)min＝eq\f(4\r(3),3)b－2a，C錯誤；對于D，當(dāng)矩形MNGH的四條邊均與橢圓C相切時，蒙日圓為矩形MNGH的外接圓，∴矩形MNGH的對角線為蒙日圓的直徑，設(shè)矩形MNGH的長和寬分別為x，y，則x2＋y2＝12b2，∴矩形MNGH的面積S＝xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝6b2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\r(6)b時取等號)，即矩形MNGH面積的最大值為6b2，D正確．1．“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓．若橢圓C：eq\f(x2,a＋1)＋eq\f(y2,a)＝1(a>0)的離心率為eq\f(1,2)，則橢圓C的蒙日圓方程為()A．x2＋y2＝9 B．x2＋y2＝7C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝4答案B解析因為橢圓C：eq\f(x2,a＋1)＋eq\f(y2,a)＝1(a>0)的離心率為eq\f(1,2)，所以eq\f(1,\r(a＋1))＝eq\f(1,2)，解得a＝3，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，根據(jù)蒙日圓的定義知，蒙日圓的半徑r＝eq\r(22＋\r(3)2)＝eq\r(7)，所以橢圓C的蒙日圓方程為x2＋y2＝7.2．在圓(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上總存在點P，使得過點P能作橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1的兩條互相垂直的切線，則r的取值范圍是()A．(3,7)B．[3,7]C．(1,9)D．[1,9]答案B解析根據(jù)蒙日圓的定義得橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1的蒙日圓方程為x2＋y2＝4，其圓心為(0,0)，半徑為2，依題意，點P在圓x2＋y2＝4上，又點P在圓(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上，且其圓心為(3,4)，所以|2－r|≤eq\r(3－02＋4－02)≤2＋r，即|2－r|≤5≤2＋r，所以r∈[3,7]．3．阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有△ABC，AC＝6，sinC＝2sinA，則當(dāng)△ABC的面積最大時，|BC|等于()A．12B．20C．2eq\r(5)D．5eq\r(2)答案C解析如圖所示，以AC的中點為原點，AC邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，因為|AC|＝6，所以A(－3,0)，C(3,0)，設(shè)B(x，y)，因為sinC＝2sinA，由正弦定理可得|AB|＝2|BC|，所以(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，化簡得(x－5)2＋y2＝16，且x≠1，x≠9，圓的位置如圖所示，圓心為(5,0)，半徑r＝4，觀察可得，在三角形底邊長|AC|不變的情況下，當(dāng)B點位于圓心D的正上方或正下方時，高最大，此時△ABC的面積最大，B點坐標(biāo)為(5,4)或(5，－4)，所以|BC|＝eq\r(5－32＋42)＝2eq\r(5).4．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點A(1,0)，B(4,0)，若直線x－y＋m＝0上存在點P使得|PA|＝eq\f(1,2)|PB|，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．(－∞，－2eq\r(2)]∪[2eq\r(2)，＋∞)D．[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]答案D解析設(shè)P(x，y)，則|PA|＝eq\r(x－12＋y－02)，|PB|＝eq\r(x－42＋y－02)，因為|PA|＝eq\f(1,2)|PB|，所以eq\r(x－12＋y－02)＝eq\f(1,2)eq\r(x－42＋y－02)，同時平方，化簡得x2＋y2＝4，故點P的軌跡為圓心為(0,0)，半徑為2的圓，又點P在直線x－y＋m＝0上，故圓x2＋y2＝4與直線x－y＋m＝0必須有公共點，所以eq\f(|m|,\r(1＋1))≤2，解得－2eq\r(2)≤m≤2eq\r(2).5．畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的蒙日圓方程為x2＋y2＝a2＋b2，M為蒙日圓上一個動點，過點M作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若△MPQ面積的最大值為4b2，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),3)答案A解析由已知條件可得MP⊥MQ，則PQ為圓x2＋y2＝a2＋b2的一條直徑，則|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝4(a2＋b2)，所以S△MPQ＝eq\f(1,2)|MP|·|MQ|≤eq\f(|MP|2＋|MQ|2,4)＝a2＋b2，當(dāng)且僅當(dāng)|MP|＝|MQ|時，等號成立．所以a2＋b2＝4b2，所以a2＝3b2＝3(a2－c2)，即2a2＝3c2，所以e＝eq\f(\r(6),3).6．阿波羅尼斯圓指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為λ(λ>0，且λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓O：x2＋y2＝1，點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))和點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，M為圓O上的動點，則2|MA|－|MB|的最大值為()A.eq\f(5,2)B.eq\f(\r(17),2)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(2),2)答案B解析設(shè)點M(x，y)，令2|MA|＝|MC|，則eq\f(|MA|,|MC|)＝eq\f(1,2)，由題知圓x2＋y2＝1是關(guān)于點A，C的阿波羅尼斯圓，且λ＝eq\f(1,2)，設(shè)點C(m，n)，則eq\f(|MA|,|MC|)＝eq\f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋y2),\r(x－m2＋y－n2))＝eq\f(1,2)，整理得x2＋y2＋eq\f(2m＋4,3)x＋eq\f(2n,3)y＝eq\f(m2＋n2－1,3)，比較兩方程可得eq\f(2m＋4,3)＝0，eq\f(2n,3)＝0，eq\f(m2＋n2－1,3)＝1，即m＝－2，n＝0，點C(－2,0)，當(dāng)點M位于圖中M1的位置時，2|MA|－|MB|＝|M1C|－|M1B|，此時取得最大值，最大值為|BC|＝eq\f(\r(17),2).7．(多選)在平面直角坐標(biāo)系中，A(－1,0)，B(2,0)，動點C滿足eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(1,2)，直線l：mx－y＋m＋1＝0，則()A．動點C的軌跡方程為(x＋2)2＋y2＝4B．直線l與動點C的軌跡一定相交C．動點C到直線l距離的最大值為eq\r(2)＋1D．若直線l與動點C的軌跡交于P，Q兩點，且|PQ|＝2eq\r(2)，則m＝－1答案ABD解析對于A選項，設(shè)C(x，y)．因為eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(\r(x＋12＋y2),\r(x－22＋y2))＝eq\f(1,2)，整理得x2＋y2＋4x＝0，即(x＋2)2＋y2＝4，所以動點C的軌跡為以N(－2,0)為圓心，2為半徑的圓，軌跡方程為(x＋2)2＋y2＝4，故A正確；對于B選項，因為直線l過定點M(－1,1)，而點M(－1,1)在圓N內(nèi)，所以直線l與圓N相交，故B正確；對于C選項，當(dāng)直線l與NM垂直時，動點C到直線l的距離最大，且最大值為r＋|NM|＝2＋eq\r(2)，故C錯誤；對于D選項，記圓心N到直線l的距離為d，則d＝eq\f(|m－1|,\r(m2＋1)).因為|PQ|2＝4(r2－d2)＝8.又r＝2，所以d＝eq\r(2).由eq\f(m－12,m2＋1)＝2，得m＝－1，故D正確．8．(多選)法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的蒙日圓方程為C：x2＋y2＝eq\f(3,2)a2，過C上的動點M作Γ的兩條互相垂直的切線，分別與C交于P，Q兩點，直線PQ交Γ于A，B兩點，則()A．橢圓Γ的離心率為eq\f(\r(2),2)B．△MPQ面積的最大值為eq\f(3,2)a2C．M到Γ的左焦點的距離的最小值為(2－eq\r(2))aD．若動點D在Γ上，將直線DA，DB的斜率分別記為k1，k2，則k1k2＝－eq\f(1,2)答案ABD解析依題意，過橢圓Γ的上頂點作y軸的垂線，過橢圓Γ的右頂點作x軸的垂線(圖略)，則這兩條垂線的交點在圓C上，所以a2＋b2＝eq\f(3,2)a2，即a2＝2b2，所以橢圓Γ的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2)，故A正確；因為點M，P，Q都在圓C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ為圓C的直徑，所以|PQ|＝2×eq\r(\f(3,2)a2)＝eq\r(6)a，所以△MPQ面積的最大值為eq\f(1,2)|PQ|·eq\r(\f(3,2)a2)＝eq\f(\r(6)a,2)·eq\r(\f(3,2)a2)＝eq\f(3,2)a2，故B正確；設(shè)M(x0，y0)，Γ的左焦點為F(－c,0)，連接MF(圖略)，因為c2＝a2－b2＝eq\f(1,2)a2，所以|MF|2＝(x0＋c)2＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋2x0c＋c2＝eq\f(3,2)a2＋2x0·eq\f(\r(2),2)a＋eq\f(1,2)a2＝2a2＋eq\r(2)ax0，又－eq\f(\r(6),2)a≤x0≤eq\f(\r(6),2)a，所以|MF|2∈[(2－eq\r(3))a2，(2＋eq\r(3))a2]，則M到Γ的左焦點的距離的最小值為eq\f(\r(6)－\r(2)a,2)，故C不正確；由直線PQ經(jīng)過坐標(biāo)原點，易得點A，B關(guān)于原點對稱，設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，則B(－x1，－y1)，k1＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，k2＝eq\f(y1＋y2,x1＋x2)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),2b2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),2b2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))所以eq\f(x\o\