第二章　§2.12　函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用-2025高中數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版

§2.12函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用重點(diǎn)解讀函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的分布、個(gè)數(shù)等，題目難度較大，一般出現(xiàn)在壓軸題位置．題型一由零點(diǎn)分布求值(范圍)命題點(diǎn)1二次函數(shù)的零點(diǎn)分布例1(1)(2023·揚(yáng)州模擬)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的兩根都大于2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－5，－4]∪[4，＋∞)B．(－5，－4]C．(－5，＋∞)D．[－4，－2)∪[4，＋∞)答案B解析方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的兩根都大于2，則二次函數(shù)f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在x＝2的右側(cè)，根據(jù)圖象得，方程的判別式Δ≥0；f(2)>0；函數(shù)圖象的對(duì)稱軸－eq\f(m－2,2)>2.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－22－45－m≥0，,4＋2m－2＋5－m>0，,－\f(m－2,2)>2，))解得－5<m≤－4.(2)(2023·蘇州模擬)若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))答案C解析根據(jù)題意有，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1·f0<0，,f1·f2<0，))解得eq\f(1,4)<m<eq\f(1,2).命題點(diǎn)2其他函數(shù)的零點(diǎn)分布例2已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f(2－x)＋f(x)＝0，當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝－log2x，若函數(shù)F(x)＝f(x)－sinπx在區(qū)間[－1，m]上有10個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是()A．[3.5,4) B．(3.5,4]C．(5,5.5] D．[5,5.5)答案A解析由f(2－x)＋f(x)＝0?f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x)是一個(gè)周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝－log2x，因此f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－log2eq\f(1,2)＝1，f(1)＝0，所以f(0)＝0，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，f(－1)＝0，且g(x)＝sinπx的周期為T＝eq\f(2π,π)＝2，且g(－1)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，g(0)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，g(1)＝0，求F(x)＝f(x)－sinπx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖為f(x)與g(x)在區(qū)間[－1,1]的圖象，因?yàn)閒(x)與g(x)均為周期為2的周期函數(shù)，因此交點(diǎn)也呈周期出現(xiàn)，若在區(qū)間[－1，m]上有10個(gè)零點(diǎn)，則第10個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為(3.5，－1)，第11個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，因此3.5≤m<4.思維升華對(duì)于二次函數(shù)零點(diǎn)分布的研究一般從以下幾個(gè)方面入手(1)開口方向；(2)對(duì)稱軸，主要討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；(3)判別式，決定函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；(4)區(qū)間端點(diǎn)值．跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)a為實(shí)數(shù)，若方程x2－2ax＋a＝0在區(qū)間(－1,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(－1,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(1，＋∞)答案C解析令g(x)＝x2－2ax＋a，由方程x2－2ax＋a＝0在區(qū)間(－1,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－4a>0，,－1<a<1，,g－1>0，,g1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－1<a<1，,a>－\f(1,3)，,a<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,－1<a<1，,a>－\f(1,3)，,a<1，))解得－eq\f(1,3)<a<0.(2)(2023·郴州模擬)(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋1，x<0，,|lnx－2|，x>0，))若方程f(x)＝k(k∈R)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，它們從小到大依次記為x1，x2，x3，x4，則()A．0<k<1 B．x1＋x2＝－1C．e<x3<e2 D．0<x1x2x3x4<e4答案ACD解析畫出函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝k的圖象如圖所示，f(x)在(－∞，－1]上單調(diào)遞減，值域?yàn)閇0，＋∞)；在[－1,0)上單調(diào)遞增，值域?yàn)閇0,1)；在(0，e2]上單調(diào)遞減，值域?yàn)閇0，＋∞)；在[e2，＋∞)上單調(diào)遞增，值域?yàn)閇0，＋∞)．則有x1＋x2＝－2，lnx3－2＋lnx4－2＝0，即x3x4＝e4，故B錯(cuò)誤；方程f(x)＝k(k∈R)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則有0<k<1，故A正確；由f(x)在(0，e2]上單調(diào)遞減，值域?yàn)閇0，＋∞)，f(e)＝|lne－2|＝1，f(e2)＝|lne2－2|＝0，可知e<x3<e2，故C正確；由x1<x2<0<x3<x4，可知x1x2x3x4>0，又x1x2x3x4＝e4x1x2＝e4(－x1)(－x2)<e4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－x1＋－x2,2)))2＝e4.則有0<x1x2x3x4<e4，故D正確．題型二復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)命題點(diǎn)1復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判定例3已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－x－2，x≤1，,|lnx－1|，x>1，))則函數(shù)g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．4B．5C．6D．7答案B解析令t＝f(x)，g(x)＝0，則f(t)－2t＋1＝0，即f(t)＝2t－1，分別作出函數(shù)y＝f(t)和直線y＝2t－1的圖象，如圖所示，由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為t1，t2，則t1＝0,1<t2<2，對(duì)于t＝f(x)，分別作出函數(shù)y＝f(x)和直線y＝t2的圖象，如圖所示，由圖象可得，當(dāng)f(x)＝t1＝0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝0有兩個(gè)不相等的根，當(dāng)t2＝f(x)時(shí)，函數(shù)y＝f(x)和直線y＝t2有三個(gè)交點(diǎn)，即方程t2＝f(x)有三個(gè)不相等的根，綜上可得g(x)＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)為5，即函數(shù)g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5.命題點(diǎn)2根據(jù)復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)例4(2024·駐馬店模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2\r(3)x＋2，x≥0，,ln－x，x<0，))若函數(shù)g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．(2,4] B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4))答案C解析設(shè)t＝f(x)，則由g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1，可設(shè)y＝h(t)＝t2－at＋1，畫出f(x)的圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)t<－1時(shí)，t＝f(x)有且僅有一個(gè)解；當(dāng)t＝－1或t>2時(shí)，t＝f(x)有兩個(gè)不同的解；當(dāng)－1<t≤2時(shí)，t＝f(x)有三個(gè)不同的解，令h(t)＝0，即t2－at＋1＝0，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)有6個(gè)零點(diǎn)，故需t2－at＋1＝0在(－1,2]內(nèi)有兩個(gè)不同的根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4>0，,h－1＝1＋a＋1>0，,h2＝4－2a＋1≥0，,－1<\f(a,2)<2，))解得2<a≤eq\f(5,2)，即a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).思維升華對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，求解思路如下：(1)確定內(nèi)層函數(shù)u＝g(x)和外層函數(shù)y＝f(u)；(2)確定外層函數(shù)y＝f(u)的零點(diǎn)u＝ui(i＝1,2,3，…，n)；(3)確定直線u＝ui(i＝1,2,3，…，n)與內(nèi)層函數(shù)u＝g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為a1，a2，a3，…，an，則函數(shù)y＝f(g(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為a1＋a2＋a3＋…＋an.跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x＋1，x≤0，))且關(guān)于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．答案(0,1]解析由題意，f(x)的圖象如圖所示，因?yàn)閇f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7個(gè)實(shí)數(shù)解，設(shè)f(x)＝t，則方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2個(gè)不相等的實(shí)根t1＝m，t2＝m＋1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2.當(dāng)1≤t1<2，t2＝2時(shí)，m＝1，滿足題意；當(dāng)0<t1<1≤t2<2時(shí)，0<m<1≤m＋1<2，解得m∈(0,1)．綜上，m∈(0,1]．課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．若方程－x2＋ax＋4＝0的兩實(shí)根中一個(gè)小于－1，另一個(gè)大于2，則a的取值范圍是()A．(0,3) B．[0,3]C．(－3,0) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案A解析令f(x)＝－x2＋ax＋4，則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于2，另一個(gè)小于－1，由二次函數(shù)的圖象可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2>0，,f－1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－22＋a·2＋4>0，,－－12＋a·－1＋4>0，))解得0<a<3.2．若關(guān)于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[0，＋∞)B．(－∞，－8]C．(－∞，－8]∪[0，＋∞)D．(－∞，－8)∪(0，＋∞)答案B解析令t＝3x>0，則9x＝t2，由9x＋(a＋4)·3x＋4＝0，得t2＋(a＋4)t＋4＝0.則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0在t>0時(shí)有實(shí)數(shù)根．由t2＋(a＋4)t＋4＝0，可得－(a＋4)＝t＋eq\f(4,t)，由基本不等式得－(a＋4)＝t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(t·\f(4,t))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)，等號(hào)成立，所以－(a＋4)≥4，解得a≤－8.因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－8]．3．(2023·南京師大附中模擬)設(shè)m是不為0的實(shí)數(shù)，已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x≤2，,x2－10x＋24，x>2，))若函數(shù)F(x)＝2[f(x)]2－mf(x)有7個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是()A．(－2,0)∪(0,16)B．(0,16)C．(0,2)D．(－2,0)∪(0，＋∞)答案C解析f(x)的圖象如圖所示，由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0，當(dāng)f(x)＝0時(shí)，f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)2f(x)－m＝0時(shí)，f(x)＝eq\f(m,2)，即y＝f(x)與y＝eq\f(m,2)有4個(gè)交點(diǎn)，所以0<eq\f(m,2)<1，解得0<m<2.4．若存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) B．(－∞，0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))答案A解析令t＝2x(t>0)，則t是增函數(shù)，令y＝t＋eq\f(1,t)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知y＝t＋eq\f(1,t)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝1時(shí)，ymin＝2，此時(shí)x＝0，因此f(x)有唯一零點(diǎn)，則零點(diǎn)為x＝0，f(0)＝－ma2＋a－1＝0，當(dāng)m＝0時(shí)，a＝1有解；當(dāng)m≠0時(shí)，Δ＝1－4m≥0，m≤eq\f(1,4)且m≠0.綜上，m≤eq\f(1,4).5．已知f(x)是定義域?yàn)?0，＋∞)的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log2x)＝3，則函數(shù)y＝2f(x)－eq\f(1,x)的零點(diǎn)為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．2D．3答案A解析因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?0，＋∞)的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log2x)＝3，故可設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)C∈(0，＋∞)，使得f(C)＝3，則f(x)－log2x＝C，所以f(x)＝log2x＋C，所以f(C)＝log2C＋C＝3，則log2C＝3－C，由于函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝3－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又log22＝1＝3－2，所以C＝2，故f(x)＝log2x＋2＝log2(4x)，再令2f(x)－eq\f(1,x)＝0，x∈(0，＋∞)，得4x－eq\f(1,x)＝0，解得x＝eq\f(1,2)(負(fù)值舍去)．則函數(shù)y＝2f(x)－eq\f(1,x)的零點(diǎn)為eq\f(1,2).6．(2024·濟(jì)南模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，若在區(qū)間(－2,6]內(nèi)方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(1,2] B．(2，＋∞)C．(1，eq\r(3,4)) D．(eq\r(3,4)，2)答案D解析根據(jù)函數(shù)f(x＋4)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期T＝4，由f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1可得當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，－x∈[－2,0)，所以f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x－1＝2x－1＝f(x)，畫出函數(shù)f(x)部分周期內(nèi)的圖象如圖粗實(shí)線所示，若在區(qū)間(－2,6]內(nèi)方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)f(x)的圖象與y＝loga(x＋2)(a>1)的圖象在(－2,6]內(nèi)有三個(gè)交點(diǎn)，y＝loga(x＋2)(a>1)的圖象如圖中細(xì)實(shí)線所示，則需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＋2<f2＝3，,loga6＋2>f6＝3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga4<3，,loga8>3，))解得eq\r(3,4)<a<2.二、多項(xiàng)選擇題7．若關(guān)于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<x2，則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)m＝0時(shí)，x1＝2，x2＝3B．m>－eq\f(1,4)C．當(dāng)m>0時(shí)，2<x1<x2<3D．二次函數(shù)y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零點(diǎn)為2和3答案ABD解析對(duì)于A，易知當(dāng)m＝0時(shí)，(x－2)(x－3)＝0的根為x1＝2，x2＝3，故A正確；對(duì)于B，設(shè)y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，因?yàn)閥＝(x－2)(x－3)的圖象與直線y＝m有兩個(gè)交點(diǎn)，所以m>－eq\f(1,4)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)m>0時(shí)，y＝(x－2)(x－3)－m的圖象由y＝(x－2)(x－3)的圖象向下平移m個(gè)單位長度得到，則x1<2<3<x2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由(x－2)(x－3)＝m展開得x2－5x＋6－m＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝5，x1x2＝6－m，代入y＝(x－x1)(x－x2)＋m可得y＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋m＝x2－5x＋6－m＋m＝x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，所以二次函數(shù)y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零點(diǎn)為2和3，故D正確．8．(2023·湖州模擬)若f(x)和g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且方程f(g(x))＝x有實(shí)數(shù)解，則下列式子中可以為g(f(x))的是()A．x2＋2x B．x＋1C．ecosx D．ln(|x|＋1)答案ACD解析由方程f(g(x))＝x有實(shí)數(shù)解可得g(f(g(x)))＝g(x)，再用x替代g(x)，即x＝g(f(x))有實(shí)數(shù)解．對(duì)于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有實(shí)數(shù)解，故A正確；對(duì)于B，x＝x＋1，即0＝1，方程無實(shí)數(shù)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)ecosx＝x時(shí)，令h(x)＝ecosx－x，因?yàn)閔(0)＝e>0，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1－eq\f(π,2)<0，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al